Wikipedista:Jirka Fiala/Pískoviště

V lineární algebře, spektrální rozklad je faktorizace matice do kanonické formy, whereby matice je reprezentována v podmínkách jeho eigenvalues a eigenvectors . Tímto způsobem lze faktorizovat pouze diagonalizovatelné matice . Když je matice faktorizovaná normální nebo skutečná symetrická matice, rozklad se nazývá „spektrální rozklad“, odvozený ze spektrální věty.

Základní teorie maticových vlastních vektorů a vlastních čísel

(Nenulový) vektor ${\boldsymbol {v}}$ dimenze ${\boldsymbol {N}}$ je vlastním vektorem čtvercové ${\boldsymbol {N}}\times N$ matice ${\boldsymbol {\boldsymbol {A}}}$, pokud splňuje lineární rovnici tvaru ${\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {v}}=\lambda {\boldsymbol {v}}$pro nějaké skalární $\lambda$ . Potom se $\lambda$ nazývá vlastní hodnota odpovídající ${\boldsymbol {v}}$ . Geometricky řečeno, vlastní vektory ${\boldsymbol {\boldsymbol {A}}}$ jsou vektory, které ${\boldsymbol {\boldsymbol {A}}}$ pouze prodlužuje nebo zmenšuje, a velikost, o kterou se prodlužují/zmenšují, je vlastní hodnota. Výše uvedená rovnice se nazývá rovnice vlastních čísel nebo problém vlastních čísel.

To dává rovnici pro vlastní čísla $p\left(\lambda \right)=\det \left({\boldsymbol {A}}-\lambda {\boldsymbol {I}}\right)=0.$Charakteristickým polynomem nazýváme $p$(\lambda )</math> a rovnice, zvaná charakteristická rovnice, je rovnice polynomu ${\boldsymbol {N}}$ -tého řádu v neznámé $\lambda$ . Tato rovnice bude mít ${\boldsymbol {N}}_{\lambda }$ odlišných řešení, kde $1\leq ''N_{\lambda }''\leq <math>{\boldsymbol {N}}$ . Množina řešení, tedy vlastní čísla, se nazývá spektrum ${\boldsymbol {\boldsymbol {A}}}$</ref>

Pokud je pole skalárů algebraicky uzavřené, pak můžeme faktor $p$ jako $p(\lambda )=\left(\lambda -\lambda _{1}\right)^{n_{1}}\left(\lambda -\lambda _{2}\right)^{n_{2}}\cdots \left(\lambda -\lambda _{N_{\lambda }}\right)^{n_{N_{\lambda }}}=0.$Celé číslo $n_{i}$ se nazývá algebraická násobnost vlastní hodnoty $\lambda _{i}$ . Součet algebraických násobků k ${\boldsymbol {N}}$ : ${\textstyle \sum _{i=1}^{N_{\lambda }}{n_{i}}=N.}$

Pro každé vlastní číslo $\lambda _{i}$ máme specifickou rovnici vlastního čísla $\left({\boldsymbol {A}}-\lambda _{i}{\boldsymbol {I}}\right){\boldsymbol {v}}=0.$Pro každou rovnici vlastních čísel bude existovat $1\leq <math>m$_{$i$} \le $n$_{$i$}</math> lineárně nezávislých řešení. Lineární kombinace $m$_{$i$}</math> (kromě toho, které dává nulový vektor) jsou vlastní vektory spojené s vlastní hodnotou $\lambda _{i}$. Celé číslo $m$_{$i$}</math> se nazývá geometrická násobnost $\lambda _{i}$ . Je důležité mít na paměti, že algebraická násobnost $n$_{$i$}</math> a geometrická násobnost $m$_{$i$}</math> se mohou a nemusí rovnat, ale vždy platí $m$_{$i$} \le $n$_{$i$}</math> . Nejjednodušší případ je samozřejmě, když $1=<math>m$_{$i$} = $n$_{$i$} = 1</math> . Celkový počet lineárně nezávislých vlastních vektorů, ${\boldsymbol {N}}$_{'$v$'}</math>, lze vypočítat sečtením geometrických násobků $\sum _{i=1}^{N_{\lambda }}{m_{i}}=N_{\boldsymbol {v}}.$Vlastní vektory lze indexovat vlastními čísly pomocí dvojitého indexu, přičemž ${\boldsymbol {v}}$'_{ij}</math> je $j$ tým vlastním vektorem $i$ té vlastní hodnoty. Vlastní vektory lze také indexovat pomocí jednoduššího zápisu jediného indexu ${\boldsymbol {v}}$'_{$k$}</math>, kde $1=<math>k$ = 1, 2, ..., ${\boldsymbol {N}}$_{'$v$'}1=$k$ = 1, 2, ..., ${\boldsymbol {N}}$_{'$v$'}</math> .

spektrální rozklad matice

Nechť ${\boldsymbol {\boldsymbol {A}}}$ je čtvercová matice $n\times n$ s $n$ lineárně nezávislými vlastními vektory $q_{i}$ (kde $1=<math>i$ = 1, ..., $n$ ). Potom ${\boldsymbol {\boldsymbol {A}}}$ lze faktorizovat jako ${\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {Q}}{\boldsymbol {\Lambda }}{\boldsymbol {Q}}^{-1}$kde ${\boldsymbol {\boldsymbol {Q}}}$ je čtvercová matice $n\times n$, jejíž $i$ tý sloupec je vlastním vektorem $q_{i}'<math>{\boldsymbol {A}}$, a $'''\lambda '''$ je diagonální matice, jejíž diagonální prvky jsou odpovídající vlastní hodnoty, $1=''\lambda _{ii}''=''\lambda _{i}''$ . Všimněte si, že tímto způsobem lze faktorizovat pouze diagonalizovatelné matice . Například vadná matrice $\left[{\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}}\right]$ (což je smyková matice ) nelze diagonalizovat.

$n$ vlastních vektorů $q_{i}$ je obvykle normalizováno, ale nemusí být. Nenormalizovaná množina $n$ vlastních vektorů, $v_{i}$ může být také použita jako sloupce ${\boldsymbol {\boldsymbol {Q}}}$ . To lze pochopit, když si všimneme, že velikost vlastních vektorů v ${\boldsymbol {\boldsymbol {Q}}}$ se při rozkladu ruší přítomností ${\boldsymbol {\boldsymbol {Q}}}$'^{−1}</math> . Jestliže jedno z vlastních čísel $\lambda _{i}$ má více lineárně nezávislých vlastních vektorů (to znamená, že geometrická násobnost $\lambda _{i}$ je větší než 1), pak tyto vlastní vektory pro toto vlastní číslo $\lambda _{i}$ mohou být vybrány jako vzájemně ortogonální ; pokud však dva vlastní vektory patří dvěma různým vlastním číslům, může být nemožné, aby byly navzájem ortogonální (viz příklad níže). Jedním speciálním případem je, že pokud ${\boldsymbol {\boldsymbol {A}}}$ je normální matice, pak podle spektrální věty je vždy možné diagonalizovat ${\boldsymbol {\boldsymbol {A}}}$ v ortonormální bázi {q_{i}} .

Rozklad lze odvodit ze základní vlastnosti vlastních vektorů: ${\begin{aligned}{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {v}}&=\lambda {\boldsymbol {v}}\\{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {Q}}&={\boldsymbol {Q}}{\boldsymbol {\Lambda }}\\{\boldsymbol {A}}&={\boldsymbol {Q}}{\boldsymbol {\Lambda }}{\boldsymbol {Q}}^{-1}.\end{aligned}}$Lineárně nezávislé vlastní vektory $q_{i}$ s nenulovými vlastními hodnotami tvoří základ (ne nutně ortonormální) pro všechny možné součiny ${\boldsymbol {A}}$'$x$, pro ${\boldsymbol {x}}$' ∈ '${\boldsymbol {C}}$'^{$n$}</math>, který je stejný jako obraz (nebo rozsah ) příslušné transformace matice, a také sloupcový prostor matice ${\boldsymbol {\boldsymbol {A}}}$ . Počet lineárně nezávislých vlastních vektorů $q_{i}$ s nenulovými vlastními čísly je roven hodnosti matice ${\boldsymbol {\boldsymbol {A}}}$ a také rozměru obrazu (nebo rozsahu) příslušné transformace matice a také jejímu sloupcovému prostoru.

Lineárně nezávislé vlastní vektory $q_{i}$ s vlastní hodnotou nula tvoří základ (který lze zvolit jako ortonormální) pro nulový prostor (také známý jako jádro) maticové transformace ${\boldsymbol {\boldsymbol {A}}}$ .

Příklad

Reálná matice ${\boldsymbol {\boldsymbol {A}}}$ 2 × 2 ${\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}1&0\\1&3\\\end{pmatrix}}$lze rozložit na diagonální matici násobením nesingulární matice ${\boldsymbol {\boldsymbol {B}}}$ ${\boldsymbol {B}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2\times 2}.$Pak ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}1&0\\1&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x&0\\0&y\end{pmatrix}},$pro nějakou skutečnou diagonální matici $\left[{\begin{smallmatrix}x&0\\0&y\end{smallmatrix}}\right]$ .

Vynásobením obou stran rovnice vlevo ${\boldsymbol {\boldsymbol {B}}}$ : ${\begin{pmatrix}1&0\\1&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x&0\\0&y\end{pmatrix}}.$Výše uvedená rovnice se dá rozložit na dvě simultánní rovnice : ${\begin{cases}{\begin{pmatrix}1&0\\1&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ax\\cx\end{pmatrix}}\\[1.2ex]{\begin{pmatrix}1&0\\1&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b\\d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}by\\dy\end{pmatrix}}\end{cases}}.$Rozložení vlastních hodnot $x$ a $y$ : ${\begin{cases}{\begin{pmatrix}1&0\\1&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}}=x{\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}}\\[1.2ex]{\begin{pmatrix}1&0\\1&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b\\d\end{pmatrix}}=y{\begin{pmatrix}b\\d\end{pmatrix}}\end{cases}}$Pronájem ${\boldsymbol {a}}={\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}},\quad {\boldsymbol {b}}={\begin{pmatrix}b\\d\end{pmatrix}},$to nám dává dvě vektorové rovnice: ${\begin{cases}{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {a}}=x{\boldsymbol {a}}\\{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {b}}=y{\boldsymbol {b}}\end{cases}}$A může být reprezentován jedinou vektorovou rovnicí zahrnující dvě řešení jako vlastní čísla: ${\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {u}}=\lambda {\boldsymbol {u}}$kde $\lambda$ představuje dvě vlastní čísla $x$ a $y$ a ${\boldsymbol {u}}$ představuje vektory ${\boldsymbol {a}}$ a ${\boldsymbol {b}}$ .

Posunutí $''\lambda '''<math>u$ na levou stranu a vyloučení ${\boldsymbol {u}}$ $\left({\boldsymbol {A}}-\lambda {\boldsymbol {I}}\right){\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {0}}$Protože ${\boldsymbol {\boldsymbol {B}}}$ je nesingulární, je důležité, aby ${\boldsymbol {u}}$ bylo nenulové. Proto, $\det({\boldsymbol {A}}-\lambda {\boldsymbol {I}})=0$Tím pádem $(1-\lambda )(3-\lambda )=0$což nám dává řešení vlastních hodnot pro matici ${\boldsymbol {\boldsymbol {A}}}$ jako $1=\lambda =1$ nebo $1=\lambda =3$ a výsledná diagonální matice z vlastního rozkladu ${\boldsymbol {\boldsymbol {A}}}$ je tedy {{Nowrap|$\left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&3\end{smallmatrix}}\right]$

Uvedení řešení zpět do výše uvedených simultánních rovnic ${\begin{cases}{\begin{pmatrix}1&0\\1&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}}=1{\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}}\\[1.2ex]{\begin{pmatrix}1&0\\1&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b\\d\end{pmatrix}}=3{\begin{pmatrix}b\\d\end{pmatrix}}\end{cases}}$Řešení rovnic máme $a=-2c\quad {\text{and}}\quad b=0,\qquad c,d\in \mathbb {R} .$Matice ${\boldsymbol {\boldsymbol {B}}}$ potřebná pro spektrální rozklad ${\boldsymbol {\boldsymbol {A}}}$ je tedy ${\boldsymbol {B}}={\begin{pmatrix}-2c&0\\c&d\end{pmatrix}},\qquad c,d\in \mathbb {R} ,$to je: ${\begin{pmatrix}-2c&0\\c&d\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}1&0\\1&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-2c&0\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&3\end{pmatrix}},\qquad c,d\in \mathbb {R}$

Matice inverzní prostřednictvím vlastního rozkladu

Pokud lze matici ${\boldsymbol {\boldsymbol {A}}}$ rozložit a pokud žádné z jejích vlastních hodnot není nulové, pak ${\boldsymbol {\boldsymbol {A}}}$ je invertibilní a její inverzní je dána vztahem ${\boldsymbol {A}}^{-1}={\boldsymbol {Q}}{\boldsymbol {\Lambda }}^{-1}{\boldsymbol {Q}}^{-1}$Li ${\boldsymbol {A}}$ je symetrická matice, protože ${\boldsymbol {Q}}$ je tvořena z vlastních vektorů ${\boldsymbol {A}}$, ${\boldsymbol {Q}}$ je tedy zaručeno, že jde o ortogonální matici ${\boldsymbol {Q}}^{-1}={\boldsymbol {Q}}^{\mathrm {T} }$ . Navíc, protože $'''\lambda '''$ je diagonální matice, její inverzní hodnotu lze snadno vypočítat: $\left[{\boldsymbol {\Lambda }}^{-1}\right]_{ii}={\frac {1}{\lambda _{i}}}$

Praktické důsledky

Když se na matici naměřených reálných dat použije spektrální rozklad, může být inverzní hodnota méně platná, pokud jsou všechna vlastní čísla použita bez úprav ve výše uvedeném tvaru. Je to proto, že jak jsou vlastní čísla relativně malá, jejich příspěvek k inverzi je velký. Ty, které jsou blízko nuly nebo jsou v "šumu" měřicího systému, budou mít nepřiměřený vliv a mohly by bránit řešení (detekci) pomocí inverzní.

Byla navržena dvě zmírnění: zkrácení malých nebo nulových vlastních hodnot a rozšíření nejnižší spolehlivé vlastní hodnoty na hodnoty pod nimi. Viz také Tichonovova regularizace jako statisticky motivovaná, ale neobjektivní metoda pro odvalování vlastních hodnot, když v nich dominuje šum.

První metoda zmírnění je podobná řídkému vzorku původní matrice a odstraňuje složky, které nejsou považovány za cenné. Pokud se však řešení nebo proces detekce blíží úrovni šumu, může zkrácení odstranit komponenty, které ovlivňují požadované řešení.

Druhé zmírnění rozšiřuje vlastní hodnotu, takže nižší hodnoty mají mnohem menší vliv na inverzi, ale stále přispívají, takže řešení blízko šumu budou stále nalezena.

Spolehlivou vlastní hodnotu lze nalézt za předpokladu, že vlastní hodnoty extrémně podobné a nízké hodnoty jsou dobrou reprezentací šumu měření (který se u většiny systémů předpokládá jako nízký).

Pokud jsou vlastní čísla seřazena podle hodnoty, pak lze spolehlivou vlastní hodnotu najít minimalizací Laplaciánu seřazených vlastních hodnot: $\min \left|\nabla ^{2}\lambda _{\mathrm {s} }\right|$kde vlastní hodnoty jsou indexovány s $s$ k označení třídění. Poloha minimalizace je nejnižší spolehlivá vlastní hodnota. V měřicích systémech je druhou odmocninou této spolehlivé vlastní hodnoty průměrný šum na součástech systému.

Funkční kalkul

spektrální rozklad umožňuje mnohem snadnější výpočet mocninných řad matic. Pokud $f$ ($x$)</math> je dáno $f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots$pak to víme $f\!\left({\boldsymbol {A}}\right)={\boldsymbol {Q}}\,f\!\left({\boldsymbol {\Lambda }}\right){\boldsymbol {Q}}^{-1}$Protože $'''\lambda '''$ je diagonální matice, lze funkce $'''\lambda '''$ velmi snadno vypočítat: $\left[f\left({\boldsymbol {\Lambda }}\right)\right]_{ii}=f\left(\lambda _{i}\right)$Mimodiagonální prvky $f$ (\lambda )</math> jsou nula; tedy $f$ (\lambda )</math> je také diagonální matice. Proto výpočet $f$ ('${\boldsymbol {A}}$')</math> redukuje na pouhý výpočet funkce na každém z vlastních čísel.

Podobná technika funguje obecněji s holomorfním funkčním kalkulem, using ${\boldsymbol {A}}^{-1}={\boldsymbol {Q}}{\boldsymbol {\Lambda }}^{-1}{\boldsymbol {Q}}^{-1}$shora . Opět to zjišťujeme $\left[f\left({\boldsymbol {\Lambda }}\right)\right]_{ii}=f\left(\lambda _{i}\right)$

Příklady

${\begin{aligned}{\boldsymbol {A}}^{2}&=\left({\boldsymbol {Q}}{\boldsymbol {\Lambda }}{\boldsymbol {Q}}^{-1}\right)\left({\boldsymbol {Q}}{\boldsymbol {\Lambda }}{\boldsymbol {Q}}^{-1}\right)={\boldsymbol {Q}}{\boldsymbol {\Lambda }}\left({\boldsymbol {Q}}^{-1}{\boldsymbol {Q}}\right){\boldsymbol {\Lambda }}{\boldsymbol {Q}}^{-1}={\boldsymbol {Q}}{\boldsymbol {\Lambda }}^{2}{\boldsymbol {Q}}^{-1}\\[1.2ex]{\boldsymbol {A}}^{n}&={\boldsymbol {Q}}{\boldsymbol {\Lambda }}^{n}{\boldsymbol {Q}}^{-1}\\[1.2ex]\exp {\boldsymbol {A}}&={\boldsymbol {Q}}\exp({\boldsymbol {\Lambda }}){\boldsymbol {Q}}^{-1}\end{aligned}}$což jsou příklady funkcí $f(x)=x^{2},\;f(x)=x^{n},\;f(x)=\exp {x}$ . dále $\exp {\boldsymbol {A}}$ je matice exponenciální .

Rozklad pro spektrální matice

Spektrální matice jsou matice, které mají odlišné vlastní hodnoty a kompletní sadu vlastních vektorů. Tato charakteristika umožňuje, aby spektrální matice byly plně diagonální, což znamená, že je lze rozložit na jednodušší formy pomocí vlastního rozkladu. Tento proces rozkladu odhaluje základní poznatky o struktuře a chování matice, zejména v oblastech, jako je kvantová mechanika, zpracování signálu a numerická analýza.

Normální matice

Čtvercová matice s komplexní hodnotou ${\boldsymbol {A}}$ je normální (tzn. ${\boldsymbol {A}}^{*}{\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{*}$, kde ${\boldsymbol {A}}^{*}$ je konjugovaná transpozice ) právě tehdy, když ji lze rozložit jako ${\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {U}}{\boldsymbol {\Lambda }}{\boldsymbol {U}}^{*}$, kde ${\boldsymbol {U}}$ je unitární matice (tj ${\boldsymbol {U}}^{*}={\boldsymbol {U}}^{-1}$ ) a ${\boldsymbol {\Lambda }}=$ diag( $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$</ref> Sloupce ${\boldsymbol {u}}_{1},\cdots ,{\boldsymbol {u}}_{n}$ z ${\boldsymbol {U}}$ tvoří ortonormální základ a jsou vlastními vektory ${\boldsymbol {A}}$ s odpovídajícími vlastními hodnotami $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$ .

Uvažujme například normální matici 2 x 2 ${\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}}$ .

Vlastní hodnoty jsou $\lambda _{1}=3$ a $\lambda _{2}=-1$ .

(Normalizované) vlastní vektory odpovídající těmto vlastním číslům jsou ${\boldsymbol {u}}_{1}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$ a ${\boldsymbol {u}}_{2}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}$ .

Diagonalizace je ${\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {U}}{\boldsymbol {\Lambda }}{\boldsymbol {U}}^{*}$, kde ${\boldsymbol {U}}={\begin{pmatrix}1/{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {2}}\\1/{\sqrt {2}}&-1/{\sqrt {2}}\end{pmatrix}}$, ${\boldsymbol {\Lambda }}={\begin{pmatrix}3&0\\0&-1\end{pmatrix}}$ a ${\boldsymbol {U}}^{*}={\boldsymbol {U}}^{-1}={\begin{pmatrix}1/{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {2}}\\1/{\sqrt {2}}&-1/{\sqrt {2}}\end{pmatrix}}$ .

Ověření je ${\boldsymbol {U}}{\boldsymbol {\Lambda }}{\boldsymbol {U}}^{*}={\begin{pmatrix}1/{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {2}}\\1/{\sqrt {2}}&-1/{\sqrt {2}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&0\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1/{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {2}}\\1/{\sqrt {2}}&-1/{\sqrt {2}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}}={\boldsymbol {A}}$ .

Tento příklad ilustruje proces diagonalizace normální matice ${\boldsymbol {A}}$ nalezením vlastních čísel a vlastních vektorů, které tvoří unitární matici ${\boldsymbol {U}}$, diagonální matice ${\boldsymbol {\Lambda }}$ a ověření rozkladu.

Podmnožiny důležitých tříd matic

Reálné symetrické matice

Speciálním případem je, že pro každých $n\times n$ reálných symetrických matic jsou vlastní čísla reálná a vlastní vektory lze vybrat reálné a ortonormální . Reálnou symetrickou matici ${\boldsymbol {\boldsymbol {A}}}$ lze tedy rozložit jako ${\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {Q}}{\boldsymbol {\Lambda }}{\boldsymbol {Q}}^{\mathsf {T}}$, kde ${\boldsymbol {\boldsymbol {Q}}}$ je ortogonální matice, jejíž sloupce jsou skutečné, ortonormální vlastní vektory ${\boldsymbol {\boldsymbol {A}}}$, a $'''\lambda '''$ je diagonální matice, jejíž vstupy jsou vlastní čísla ${\boldsymbol {\boldsymbol {A}}}$</ref>

Diagonalizovatelné matice

Diagonalizovatelné matice lze rozložit pomocí vlastního rozkladu za předpokladu, že mají úplnou sadu lineárně nezávislých vlastních vektorů. Mohou být vyjádřeny jako ${\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {P}}{\boldsymbol {D}}{\boldsymbol {P}}^{-1}$, kde ${\boldsymbol {P}}$ je matice, jejíž sloupce jsou vlastními vektory ${\boldsymbol {A}}$ a ${\boldsymbol {D}}$ je diagonální matice skládající se z odpovídajících vlastních hodnot ${\boldsymbol {A}}$ .

Pozitivní určité matice

Kladně definitní matice jsou matice, pro které jsou všechna vlastní čísla kladná. Lze je rozložit jako ${\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {L}}{\boldsymbol {L}}^{\mathsf {T}}$ pomocí Choleského rozkladu, kde ${\boldsymbol {L}}$ je nižší trojúhelníková matice.

Unitární a hermitovské matice

Unitární matice vyhovují ${\boldsymbol {U}}{\boldsymbol {U}}^{*}={\boldsymbol {I}}$ (skutečný případ) popř ${\boldsymbol {U}}{\boldsymbol {U}}^{\dagger }={\boldsymbol {I}}$ (složitý případ), kde ${\boldsymbol {U}}^{*}$ označuje konjugovanou transpozici a ${\boldsymbol {U}}^{\dagger }$ označuje konjugovanou transpozici. Diagonalizují pomocí unitárních transformací .

Hermitovské matrice vyhovují ${\boldsymbol {H}}={\boldsymbol {H}}^{\dagger }$, kde ${\boldsymbol {H}}^{\dagger }$ označuje konjugovanou transpozici. Mohou být diagonalizovány pomocí unitárních nebo ortogonálních matic .

Užitečná fakta

Užitečná fakta týkající se vlastních čísel

• Součin vlastních čísel se rovná determinantu ${\boldsymbol {\boldsymbol {A}}}$ $\det \left({\boldsymbol {A}}\right)=\prod _{i=1}^{N_{\lambda }}{\lambda _{i}^{n_{i}}}$
• Součet vlastních čísel se rovná stopě ${\boldsymbol {\boldsymbol {A}}}$ $\operatorname {tr} \left({\boldsymbol {A}}\right)=\sum _{i=1}^{N_{\lambda }}{{n_{i}}\lambda _{i}}$
• Pokud jsou vlastní hodnoty ${\boldsymbol {\boldsymbol {A}}}$'\lambda _{$i$}</math> a ${\boldsymbol {\boldsymbol {A}}}$ je invertibilní, pak jsou vlastní hodnoty ${\boldsymbol {\boldsymbol {A}}}$'^{−1}</math> jednoduše Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle ''\lambda ''{{su|b=<math>i} |p=−1</math></br> Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle ''\lambda ''{{su|b=<math>i} |p=−1</math>
• Jestliže vlastní čísla ${\boldsymbol {\boldsymbol {A}}}$ jsou $\lambda _{i}$, pak vlastní čísla $f$ ('${\boldsymbol {A}}$')</math> jsou prostě $f$ (\lambda _{$i$})</math> pro jakoukoli holomorfní funkci $f$ .

Užitečná fakta o vlastních vektorech

• Je-li ${\boldsymbol {\boldsymbol {A}}}$ hermitovské a plné, může být základ vlastních vektorů vybrán tak, aby byl vzájemně ortogonální . Vlastní hodnoty jsou skutečné.
• Vlastní vektory ${\boldsymbol {\boldsymbol {A}}}$'^{−1}</math> jsou stejné jako vlastní vektory ${\boldsymbol {\boldsymbol {A}}}$ .
• Vlastní vektory jsou definovány pouze do multiplikativní konstanty. To znamená, že pokud $1='''Av'''=''\lambda '''<math>v$'$c$'$v$ je také vlastní vektor pro jakékoli skalární $c\neq 0$ . Zejména Nelze pochopit (syntaktická chyba): {\displaystyle −'<math>v} a $e$^{iθ}'$v$ (pro libovolné θ ) jsou také vlastní vektory.
• V případě degenerovaných vlastních čísel (vlastní hodnota mající více než jeden vlastní vektor) mají vlastní vektory další volnost lineární transformace, to znamená, že jakákoli lineární (ortonormální) kombinace vlastních vektorů sdílejících vlastní hodnotu (v degenerovaném podprostoru) je sama sebou. vlastní vektor (v podprostoru).

Užitečná fakta týkající se vlastního rozkladu

• ${\boldsymbol {\boldsymbol {A}}}$ can be eigendecomposed if and only if the number of linearly independent eigenvectors, ${\boldsymbol {N}}$_{'$v$'}</math>, equals the dimension of an eigenvector: $1=<math>{\boldsymbol {N}}$_{'$v$'} = ${\boldsymbol {N}}$
• If the field of scalars is algebraically closed and if $p$(\lambda )</math> has no repeated roots, that is, if ${\boldsymbol {N}}_{\lambda }=N,$ then ${\boldsymbol {\boldsymbol {A}}}$ can be eigendecomposed.
• The statement "${\boldsymbol {\boldsymbol {A}}}$ can be eigendecomposed" does not imply that ${\boldsymbol {\boldsymbol {A}}}$ has an inverse as some eigenvalues may be zero, which is not invertible.
• The statement "${\boldsymbol {\boldsymbol {A}}}$ has an inverse" does not imply that ${\boldsymbol {\boldsymbol {A}}}$ can be eigendecomposed. A counterexample is $\left[{\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}}\right]$, which is an invertible defective matrix.

Užitečná fakta o inverzní matici

• ${\boldsymbol {\boldsymbol {A}}}$ can be inverted if and only if all eigenvalues are nonzero: $\lambda _{i}\neq 0\quad \forall \,i$
• If $\lambda _{i}\neq 0$ and $1=<math>{\boldsymbol {N}}$_{'$v$'} = ${\boldsymbol {N}}$, the inverse is given by ${\boldsymbol {A}}^{-1}={\boldsymbol {Q}}{\boldsymbol {\Lambda }}^{-1}{\boldsymbol {Q}}^{-1}$

Numerické výpočty

Numerický výpočet vlastních čísel

Předpokládejme, že chceme vypočítat vlastní čísla dané matice. Pokud je matice malá, můžeme je spočítat symbolicky pomocí charakteristického polynomu . To je však u větších matic často nemožné, v takovém případě musíme použít numerickou metodu .

V praxi se vlastní čísla velkých matic nepočítají pomocí charakteristického polynomu. Výpočet polynomu je sám o sobě nákladný a přesné (symbolické) kořeny polynomu vysokého stupně může být obtížné vypočítat a vyjádřit: Abel-Ruffiniho teorém naznačuje, že kořeny polynomů vysokého stupně (5 nebo více) obecně nemohou být vyjádřen jednoduše pomocí $n$ -tých kořenů. Proto jsou obecné algoritmy k nalezení vlastních vektorů a vlastních hodnot iterativní .

Iterativní numerické algoritmy pro aproximaci kořenů polynomů existují, jako je Newtonova metoda, ale obecně je nepraktické vypočítat charakteristický polynom a poté tyto metody aplikovat. Jedním z důvodů je, že malé zaokrouhlovací chyby v koeficientech charakteristického polynomu mohou vést k velkým chybám ve vlastních číslech a vlastních vektorech: kořeny jsou extrémně špatně podmíněnou funkcí koeficientů.

Jednoduchou a přesnou iterační metodou je mocninná metoda : vybere se náhodný vektor ${\boldsymbol {v}}$ a posloupnost jednotkových vektorů se vypočítá jako ${\frac {{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {v}}}{\left\|{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {v}}\right\|}},{\frac {{\boldsymbol {A}}^{2}{\boldsymbol {v}}}{\left\|{\boldsymbol {A}}^{2}{\boldsymbol {v}}\right\|}},{\frac {{\boldsymbol {A}}^{3}{\boldsymbol {v}}}{\left\|{\boldsymbol {A}}^{3}{\boldsymbol {v}}\right\|}},\ldots$Tato posloupnost bude téměř vždy konvergovat k vlastnímu vektoru odpovídajícímu vlastní hodnotě největší velikosti za předpokladu, že ${\boldsymbol {v}}$ má nenulovou složku tohoto vlastního vektoru v bázi vlastního vektoru (a také za předpokladu, že existuje pouze jedna vlastní hodnota největší velikosti). Tento jednoduchý algoritmus je užitečný v některých praktických aplikacích; například Google jej používá k výpočtu hodnocení stránek dokumentů v jejich vyhledávači. Výkonová metoda je také výchozím bodem pro mnoho sofistikovanějších algoritmů. Například tím, že ponecháme nejen poslední vektor v sekvenci, ale místo toho se podíváme na rozsah všech vektorů v sekvenci, můžeme získat lepší (rychlejší konvergující) aproximaci vlastního vektoru, a tato myšlenka je základem Arnoldiho iterace . Alternativně je důležitý QR algoritmus také založen na jemné transformaci mocninné metody.

Numerický výpočet vlastních vektorů

Jakmile jsou vlastní čísla vypočtena, lze vlastní vektory vypočítat řešením rovnice $\left({\boldsymbol {A}}-\lambda _{i}{\boldsymbol {I}}\right){\boldsymbol {v}}_{i,j}={\boldsymbol {0}}$pomocí Gaussovy eliminace nebo jakékoli jiné metody pro řešení maticových rovnic .

V praktických metodách vlastních čísel ve velkém měřítku se však vlastní vektory obvykle počítají jinými způsoby, jako vedlejší produkt výpočtu vlastních čísel. Například při mocninné iteraci je vlastní vektor ve skutečnosti vypočítán před vlastní hodnotou (která se obvykle vypočítává pomocí Rayleighova podílu vlastního vektoru). V QR algoritmu pro hermitovskou matici (nebo jakoukoli normální matici) jsou ortonormální vlastní vektory získány jako součin ${\boldsymbol {\boldsymbol {Q}}}$ matic z kroků v algoritmu. (U obecnějších matic poskytuje algoritmus QR nejprve Schurův rozklad, ze kterého lze získat vlastní vektory zpětným substitučním postupem. ) Pro hermitovské matice je algoritmus vlastních hodnot Divide-and-conquer efektivnější než algoritmus QR. pokud jsou požadovány jak vlastní vektory, tak vlastní hodnoty.

Viz také

• Poruchy vlastní hodnoty
• Frobeniova kovarianta
• Transformace domácnosti
• Jordan normální forma
• Seznam matrik
• Maticový rozklad
• Dekompozice singulární hodnoty
• Sylvesterův vzorec

[[Kategorie:Maticové rozklady]] [[Kategorie:Teorie matic]] [[Kategorie:Údržba:Články s nekontrolovanými překlady]]