Wikipedista:Jirka Fiala/Pískoviště

V matematice se antisymetrickou maticí rozumí čtvercová matice, jejíž transpozicí se pouze změní znaménko u všech jejích prvků.

Antisymetrické matice se používají v lineární algebře mimo jiné k charakterizaci antisymetrických bilineárních forem .

S maticemi úzce souvisí tenzory druhého řádu, které jsou důležitým matematickým nástrojem v přírodních vědách a inženýrství, zejména v mechanice kontinua.

Definice

Čtvercová matice ${\boldsymbol {A}}\in T^{n\times n}$ nad tělesem $K$ se nazývá antisymetrická , pokud pro ni platí:

${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }=-{\boldsymbol {A}}$

Jinými slovy, její prvky na pozicích souměrných podle diagonály jsou navzájem opačné, čili splňují:

$a_{ij}=-a_{ji}$

pro všechny dvojice indexů $i,j\in \{1,\dots ,n\}$.

Ukázka

Reálná matice ${\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}0&7&23\\-7&0&-4\\-23&4&0\end{pmatrix}}$ je antisymetrická, protože ${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }={\begin{pmatrix}0&-7&-23\\7&0&4\\23&-4&0\end{pmatrix}}=-{\boldsymbol {A}}$ .

Vlastnosti

• V tělese charakteristiky 2 splývají antisymetrické matice se symetrickými.
• Součet dvou antisymetrických matic je antisymetrická matice.
• Skalární násobek antisymetrické matice je antisymetrická matice.
• Antisymetrické matice nad tělesy charakteristiky různé od 2 mají na diagonále nuly, a proto je nulová i jejich stopa.
• Determinant reálné antisymetrické matice ${\boldsymbol {A}}$ je nezáporný: $\det {\boldsymbol {A}}\geq 0$.
• Vlastní čísla reálné antisymetrická matice jsou ryze imaginární nebo rovny $0$.
• Pokud je ${\boldsymbol {A}}$ reálná antisymetrická matice, potom $\mathbf {I} +{\boldsymbol {A}}$ je regulární matice, kde $\mathbf {I}$ je jednotková matice.
• Druhá mocnina ${\boldsymbol {A}}^{2}$ reálné antisymetrická matice ${\boldsymbol {A}}$ je negativně semidefinitní.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Skew-symmetric matrix na anglické Wikipedii.

V tomto článku byly použity překlady textů z článků Skew-symmetric matrix na anglické Wikipedii a Schiefsymmetrische Matrix na německé Wikipedii.

Literatura

• BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1. 
• HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. 
• OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 

Související články

Portály: Matematika

[[Kategorie:Matice]]