Jordanova normální forma

Jordanova normální forma (často též Jordanův kanonický tvar) je v lineární algebře zvláštní tvar čtvercové matice užitečný mimo jiné při výpočtu maticových funkcí defektních matic. Matice v Jordanově tvaru je blokově diagonální a na diagonále má tzv. Jordanovy bloky (nazývané též Jordanovy buňky), což je speciální typ horní trojúhelníkové matice.

Důležitou vlastností Jordanova tvaru je, že pro každou matici $A$ existuje Jordanův tvar $J$, který jí je podobný, tedy existuje taková regulární matice $R$, že $A=R^{-1}J\,R$. Takový přepis se nazývá Jordanův rozklad matice $A$. Objevil ho Camille Jordan roku 1870, a po něm se proto Jordanova normální forma jmenuje.

Podoba Jordanova tvaru

Matice $J\in \mathbb {C} ^{n\times n}$v Jordanově tvaru je blokově diagonální taková, že:

$J={\begin{pmatrix}J_{k_{1}}(\lambda _{1})\ &\;&\;\\\;&\ddots &\;\\\;&\;&J_{k_{n}}(\lambda _{n})\end{pmatrix}},$

kde $J_{k}(\lambda )\in \mathbb {C} ^{k\times k}$, tzv. Jordanův blok vlastního čísla $\lambda$ dimenze $k$, je horní trojúhelníková matice ve tvaru:

$J_{k}(\lambda )={\begin{pmatrix}\lambda &1&\;&\;\\\;&\lambda &\ddots &\;\\\;&\;&\ddots &1\\\;&\;&\;&\lambda \end{pmatrix}}.$

Matice v Jordanově tvaru má tedy na diagonále obecná komplexní čísla, těsně nad diagonálou 1 nebo 0 a všude jinde nuly.

Pozn.: Nuly v maticovém zápisu Jordanova tvaru zpravidla vynecháváme, jinak by se zápis stal nepřehledným. Automaticky můžete předpokládat, že všechna prázdná místa v maticích budou vyplněna nulami.

Příklad 1

Následující matice je v Jordanově tvaru:

$J={\begin{pmatrix}5&1&&&&\\&5&&&&\\&&8&&&\\&&&8&1&\\&&&&8&1\\&&&&&8\end{pmatrix}}.$

Skládá ze tří Jordanových bloků $J_{2}(5),\,J_{1}(8),\,J_{3}(8)$ velikosti 2×2, 1×1 a 3×3 odpovídajících (ne nutně různým) vlastním číslům 5, 8 a 8.

Příklad 2

Jakákoliv n×n diagonální matice $D=\mathrm {diag} (\lambda _{1},\,...,\,\lambda _{n})$ je v Jordanově tvaru: má n bloků $J_{1}(\lambda _{i})$ o rozměru 1×1.

Souvislost s vlastními čísly

Jordanova forma má úzký vztah k algebraické a geometrické násobnosti vlastních čísel. Připomeňme si stručně tyto pojmy:

• Vlastní číslo matice je takové $\lambda$, které pro nějaký nenulový vektor $v$ splňuje $Av=\lambda v$. Tato podmínka se dá snadno přepsat jako $(A-\lambda I)\,v=0$.
• Máme-li matici $A$ a její vlastní číslo $\lambda$, hodnota $\dim \mathrm {Ker} \,(A-\lambda I)$ se nazývá geometrickou násobností vlastního čísla $\lambda$.
• Polynom $p_{A}(\lambda )=\det(A-\lambda I)$se nazývá charakteristický polynom matice $A$ a jeho kořeny jsou vlastními čísly $A$. Termínem algebraická násobnost se označuje násobnost $\lambda$ jako kořene tohoto polynomu.

Z těchto definic je zřejmé, že Jordanův blok $J_{k}(\lambda )$ má vlastní číslo $\lambda$ s algebraickou násobností $k$ a geometrickou násobností 1. Lze ukázat, že se násobnosti bloků v Jordanově tvaru sčítají, matice s vlastním číslem $\lambda$ s algebraickou násobností $a$ a geometrickou násobností $g$ bude tedy mít pro toto vlastní číslo $g$ Jordanových bloků, jejichž součet dimenzí bude $a$.

Vlastní číslo s algebraickou násobností 1 se nazývá jednoduché. Vlastní číslo, které není jednoduché, se nazývá násobné.

Jordanův kanonický tvar je jednoznačný, až na uspořádání jednotlivých Jordanových bloků na diagonále. Matice $A$, jejíž Jordanův kanonický tvar $J$

• obsahuje pouze Jordanovy bloky dimenze 1, se nazývá diagonalizovatelná nebo také jednoduchá (ekvivalentně, všechna vlastní čísla mají stejnou geometrickou i algebraickou násobnost).
• Matice, která není diagonalizovatelná, ze nazývá defektní (ekvivalentně, obsahuje alespoň jeden Jordanův blok dimenze větší než jedna).
• Matice, která má alespoň jedno vlastní číslo s geometrickou násobností větší než jedna, se v angličtině nazývá „derogatory“ (ekvivalentně, existují alespoň dva Jordanovy bloky odpovídající stejnému vlastnímu číslu).
• A naopak, matice se v angličtině nazývá „nonderogatory“ pokud všechna její vlastní čísla mají geometrickou násobnost rovnou jedné (ekvivalentně, v Jordanově kanonickém tvaru dvěma různým indexům $r\neq q$ odpovídají různá vlastní čísla $\lambda _{r}\neq \lambda _{q}$).

Vlastnosti

Každá matice $A\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ je podobná matici s Jordanovou normální formou. Tj. existuje matice přechodu mezi bázemi P tak, že PA = JP. Jelikož Jordanova matice je trojúhelníková, její vlastní čísla jsou na diagonále, a jelikož A a J jsou podobné, jejich vlastní čísla jsou stejná.

Příklad Jordanova rozkladu a funkce matice

Demonstrujme si Jordanův rozklad na jednoduchém příkladu. Máme rozložit matici

$\quad A={\begin{pmatrix}{\frac {\pi }{6}}+2&4\\-1&{\frac {\pi }{6}}-2\end{pmatrix}}.$

Nejprve určíme vlastní čísla této matice, například pomocí determinantu

$\det(A-\lambda I)={\begin{vmatrix}{\frac {\pi }{6}}+2-\lambda &4\\-1&{\frac {\pi }{6}}-2-\lambda \end{vmatrix}}=0.$

Dostáváme

$\det(A-\lambda I)=\lambda ^{2}-{\frac {\pi }{3}}\lambda +{\frac {\pi ^{2}}{36}}=\left(\lambda -{\frac {\pi }{6}}\right)^{2}=0.$

Nalezli jsme tedy vlastní číslo $\lambda _{1}={\frac {\pi }{6}}$ s algebraickou násobností 2.

Vlastní vektory odpovídající tomuto vlastnímu číslu jsou všechna nenulová řešení $x$ homogenní soustavy $(A-\lambda _{1}I)x=0$. Zřejmě

$A-\lambda _{1}I={\begin{pmatrix}2&4\\-1&-2\end{pmatrix}}$

a jedním z hledaných řešení je například vektor $x_{1}=(2,-1)^{T}$. Všimněme si, že matice $A-\lambda _{1}I$ má hodnost jedna a dimenze jejího jádra (nulového prostoru) je také jedna. Žádný jiný lineárně nezávislý vlastní vektor matice $A$ nemá. Vlastní číslo má geometrickou násobnost jedna.

Pro výpočet Jordanova rozkladu musíme sestavit matici $X$. Jejím prvním sloupcem bude právě vlastní vektor $x_{1}$, druhým sloupcem $x_{2}$ bude tzv. zobecněný vlastní vektor, pro který v tomto případě platí

$Ax_{2}=x_{1}+\lambda x_{2}.$

Snadno se přesvědčíme, že $x_{2}=(1,0)^{T}$. Zadanou matici nyní můžeme zapsat pomocí Jordanova rozkladu

${\begin{pmatrix}{\frac {\pi }{6}}+2&4\\-1&{\frac {\pi }{6}}-2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\-1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\frac {\pi }{6}}&1\\0&{\frac {\pi }{6}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&1\\-1&0\end{pmatrix}}^{-1},$

kde prostřední matice je Jordanův kanonický tvar matice $A$. Obsahuje jediný Jordanův blok velikosti 2.