Schurův rozklad je rozklad čtvercové matice
ve tvaru
, kde
je unitární matice a
je horní trojúhelníková matice, která má na diagonále vlastní čísla matice
. V numerické lineární algebře se tento rozklad velmi často využívá, a to především k výpočtu vlastních čísel matice.
Je-li navíc matice
normální, tj.
(speciálně je-li matice
symetrická, hermitovská, antisymetrická, antihermitovská, ortogonální, nebo unitární), pak
![{\displaystyle {\begin{array}{rl}(QRQ^{*})(QRQ^{*})^{*}&=(QRQ^{*})^{*}(QRQ^{*}),\\(QRQ^{*})(QR^{*}Q^{*})&=(QR^{*}Q^{*})(QRQ^{*}),\\QRR^{*}Q^{*}&=QR^{*}RQ^{*},\\RR^{*}&=R^{*}R,\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/760383d66da8e1790bc97215e50bd687fee54619)
je také matice
normální. Porovnáním (diagonálních) prvků matic
a
zjistíme, že matice
je diagonální.
Porovnáním prvních prvků prvního řádku rovnosti
![{\displaystyle [RR^{*}]_{1,1}=|r_{1,1}|^{2}+\sum _{j=2}^{n}|r_{1,j}|^{2}=|r_{1,1}|^{2}=[R^{*}R]_{1,1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8e64fb61e1bad6064114de795fe4004d39def72)
dostaneme
,
. Analogicky postupujeme dále.
Pro libovolnou matici
existuje unitární matice
tak, že
je horní trojúhelníková matice s vlastními čísly matice
na diagonále v libovoném předepsaném pořadí.
Je-li navíc matice
normální, je matice
diagonální.
K výpočtu Schurova rozkladu se využívá QR algoritmu, který je založen na QR rozkladu. Avšak pro matici řádu většího nebo rovno 5 nelze obecně spočíst tento rozklad v konečném počtu kroků.