Podmíněnost matice

Podmíněnost matice nebo též číslo podmíněnosti matice, je číslo, které kvalitativně charakterizuje danou matici a do značné míry determinuje chování (zejména přesnost) řady numerických maticových algoritmů.

Čtvercová regulární matice

Nechť $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ je čtvercová regulární matice, pak číslo

$\kappa _{p}(A)=\|A\|_{p}\|A^{-1}\|_{p},$

kde $\|\cdot \|_{p}$ značí libovolnou maticovou normu, nazveme podmíněností matice $A$ vzhledem k této normě (v praxi se nejčastěji používá $\|\cdot \|_{2}$ spektrální a $\|\cdot \|_{F}$ Frobeniova norma).

Uvažujme podmíněnost indukovanou spektrální normou. Je-li matice $A$ symetrická pozitivně definitní (tj. normální matice s kladnými vlastními čísly), pak

$\kappa _{2}(A)={\frac {\lambda _{\max }(A)}{\lambda _{\min }(A)}},$

kde podíl vpravo je podíl největšího a nejmenšího vlastního čísla matice $A$.

Je-li regulární matice $A$ normální (tedy $A^{T}A=AA^{T}$), pak

$\kappa _{2}(A)={\frac {\max\{|\lambda |;\lambda \in \mathrm {sp} (A)\}}{\min\{|\lambda |;\lambda \in \mathrm {sp} (A)\}}},$

kde $\mathrm {sp} (A)$ je spektrum matice $A$; podmíněnost je tedy podíl v absolutní hodnotě největšího a v absolutní hodnotě nejmenšího vlastního čísla matice $A$.

Pro obecnou čtvercovou regulární matici $A$ je podmíněnost

$\kappa _{2}(A)={\frac {\sigma _{1}}{\sigma _{n}}}={\frac {\sigma _{\max }(A)}{\sigma _{\min }(A)}},$

dána podílem největšího a nejmenšího singulárního čísla matice $A$ (singulární čísla normálních matic jsou absolutní hodnoty vlastních čísel).

Zřejmě obecně platí

$\kappa _{2}(A)=\kappa _{2}(A^{T})=\kappa _{2}(A^{-1})=\kappa _{2}(\alpha A),\qquad \kappa _{2}(AA^{T})=\kappa _{2}(A^{T}A)=\kappa _{2}(AA)=\kappa _{2}^{2}(A).$

Příklady

Ortogonální matice

Je-li matice $A$ ortogonální, pak zřejmě $\kappa _{2}(A)=1$. Obecně platí

$A^{T}A=AA^{T}=\alpha ^{2}I_{n}\qquad \Longleftrightarrow \qquad \kappa _{2}(A)=1,$

kde $\alpha \neq 0$.

Vzdálenost od nejbližší singulární matice

Je-li matice $A$ regulární, a matice $E$ je nějaká její perturbace tak, že

${\frac {\|E\|_{2}}{\|A\|_{2}}}<{\frac {1}{\kappa _{2}(A)}}$

pak je i matice $A+E$ regulární. Důkaz jen naznačíme. Podmínku

${\frac {\|E\|}{\|A\|}}<{\frac {1}{\kappa (A)}}={\frac {1}{\|A\|\|A^{-1}\|}}$

lze zapsat ve tvaru $\|A^{-1}\|\|E\|<1$. Místo tvrzení původního lze snadno dokázat tvrzení opačné: je-li $A+E$ singulární, pak $\|A^{-1}\|\|E\|\geq 1$. Nechť tedy existuje $v\neq 0$ tak, že $(A+E)v=0$, tedy $v=-A^{-1}Ev$, pak

$\|v\|=\|A^{-1}Ev\|\leq \|A^{-1}\|\|E\|\|v\|.$

Protože $\|v\|\neq 0$ můžeme nerovnost dělit $\|v\|$ a dostáváme shora uvedené tvrzení. (Všimněme si, že důkaz a tedy i tvrzení platí pro libovolnou multiplikativní maticovou normu a jí indukovanou podmíněnost, nejen pro normu spektrální.)

Podmíněnost (respektive její převrácená hodnota) tedy vyjadřuje vzdálenost od nejbližší singulární matice.

Podmíněnost versus determinant

Pro rozlišení singulárních a regulárních matic se často používá determinantu matice. Velkou nevýhodou determinantu, ve srovnání s číslem podmíněnosti, je fakt, že je-li determinant nenulový ale velmi blízký nule, o vzdálenosti dané matice od nejbližší matice singulární to nic nevypovídá. V praktických výpočtech je tudíž determinant naprosto nepoužitelný. Uvažujme pro příklad skalární násobek jednotkové (tedy ortogonální a bezesporu regulární) matice

$A=\alpha I_{n}\in \mathbb {R} ^{n\times n},\qquad \alpha =10^{-1},\;n=1000,$

pak

$\det(A)=\alpha ^{n}=10^{-1000},\qquad \kappa _{2}(A)={\frac {\alpha }{\alpha }}=1.$

V běžně používané konečné aritmetice s plovoucí řádovou čárkou (double, $\epsilon _{M}\approx 2.22\times 10^{-16}$) je determinant této matice nulový.

Podmíněnost singulární matice jako limita

Nechť $A(t)$ je matice jejíž koeficienty spojitě závisí na parametru $t$ a nechť všechna singulární čísla matice $A(t)$ jsou jednoduchá pro všechna $t$ (pak jsou též spojitými funkcemi parametru $t$). Nechť je matice $A(t)$ regulární všude v nějakém okolí bodu $t=t_{0}$ a zároveň $A(t_{0})$ je singulární. Pak

$\lim _{t\rightarrow t_{0}}\kappa _{2}(A(t))=+\infty .$

Obdélníková matice

Uvažujme obdélníkovou matici $A\in \mathbb {R} ^{m\times n}$, která má plnou hodnost, tedy $\mathrm {rank} (A)=r\equiv \min\{m,n\}$. Podmíněnost je pak opět dána podílem největšího a nejmenšího singulárního čísla

$\kappa _{2}(A)={\frac {\sigma _{1}}{\sigma _{r}}}={\frac {\sigma _{\max }(A)}{\sigma _{\min }(A)}}=\|A\|_{2}\|A^{\dagger }\|_{2},$

kde $A^{\dagger }$ je Mooreova–Penroseova pseudoinverze matice $A$.

Podmíněnost obecné matice lze analogicky definovat pomocí součinu normy matice a normy její Mooreovy–Penroseovy pseudoinverze, tedy jako podíl největšího a nejmenšího nenulového singulárního čísla. Takto definovaná podmíněnost je vždy konečné číslo, a je tedy různá od podmíněnosti shora uvedené čtvercové singulární matice, která byla zavedena limitním přechodem. V numerické analýze se ovšem velmi často vyskytují matice regulární, nebo alespoň plné hodnosti. Konečná podmíněnost zcela obecné matice je potřeba řidčeji.

Reference

• J. Duintjer Tebbens, I. Hnětynková, M. Plešinger, Z. Strakoš, P. Tichý: Analýza metod pro maticové výpočty, základní metody. Matfyzpress 2012. ISBN 978-80-7378-201-6.

Portály: Matematika