Normální matice

V lineární algebře se čtvercová komplexní matice ${\boldsymbol {A}}\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ nazývá normální matice, pokud komutuje se svou hermitovsky sdruženou maticí, tj. pokud má vlastnost:

${\boldsymbol {A^{\mathrm {H} }A}}={\boldsymbol {AA^{\mathrm {H} }}}$

Reálná matice ${\boldsymbol {B}}\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ je proto normální, právě když komutuje se svou transponovanou maticí:

${\boldsymbol {B^{\mathrm {T} }B}}={\boldsymbol {BB}}^{\mathrm {T} }$

Podle spektrální věty je matice normální, právě když je unitárně diagonalizovatelná (resp. pro reálné matice ortogonálně diagonalizovatelná).

Ukázka

Reálná matice ${\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\\\end{pmatrix}}$ je normální, protože:

${\boldsymbol {A^{\mathrm {T} }A}}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\\\end{pmatrix}}={\boldsymbol {AA^{\mathrm {T} }}}$

Reálná matice ${\boldsymbol {B}}={\begin{pmatrix}0&1\\4&0\\\end{pmatrix}}$ není normální, protože:

${\boldsymbol {B^{\mathrm {T} }B}}={\begin{pmatrix}0&4\\1&0\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\4&0\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}16&0\\0&1\\\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}1&0\\0&16\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\4&0\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&4\\1&0\\\end{pmatrix}}={\boldsymbol {BB^{\mathrm {T} }}}$

Vlastnosti

Speciálními případy reálných normálních matic jsou symetrické, antisymetrické a ortogonální matice. V komplexním oboru mezi normální matice patří hermitovské, antihermitovské a unitární matice.

Spektrální věta

Matice ${\boldsymbol {A}}\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ normální, právě když existují unitární matice ${\boldsymbol {U}}$ a diagonální matice ${\boldsymbol {D}}$ takové, že ${\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {UDU}}^{\mathrm {H} }$. Jinými slovy, normální matice jsou unitárně diagonalizovatelné, neboli mají Schurův rozklad s diagonální maticí. Sloupce ${\boldsymbol {U}}$ tvoří ortonormální bázi složenou z vlastních vektorů ${\boldsymbol {A}}$. Prvky na diagonále ${\boldsymbol {D}}$ jsou vlastní čísla ${\boldsymbol {A}}$.

Ukázky

Vlastní čísla reálné matice ${\boldsymbol {A}}$ mohou být komplexní, a tím pádem i prvky matic ${\boldsymbol {U}}$ a ${\boldsymbol {D}}$, jak ilustruje ukázka:

${\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\\\end{pmatrix}}\implies {\boldsymbol {U}}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&1\\i&-i\\\end{pmatrix}},\quad {\boldsymbol {D}}={\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\\\end{pmatrix}}$

Pouze pro speciální případ reálné symetrické matice ${\boldsymbol {A}}\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ jsou matice ${\boldsymbol {U}}$ i ${\boldsymbol {D}}$ také reálné.

Existují matice, které jsou diagonalizovatelné, ale nejsou normální. Tyto matice nelze unitárně diagonalizovat, neboli mají rozklad ${\boldsymbol {RDR}}^{-1}$, kde ${\boldsymbol {R}}$ je regulární ale nikoli unitární.

Ukázkou takové matice je

${\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {RDR}}^{-1}={\begin{pmatrix}-1&1\\2&2\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-2&0\\0&2\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-{\tfrac {1}{2}}&{\tfrac {1}{4}}\\{\tfrac {1}{2}}&{\tfrac {1}{4}}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\4&0\\\end{pmatrix}}$

Další vlastnosti

• Normální matice je unitární, právě když všechna její vlastní čísla (její spektrum) jsou komplexní jednotky.

• Normální matice je hermitovská, právě když má všechna vlastní čísla reálná.

• Součet ani součin dvou normálních matic nemusí být normální. Pro normální matice, jejichž součin komutuje, však platí následující:

Jsou-li ${\boldsymbol {A}}$ a ${\boldsymbol {B}}$ normální, přičemž ${\boldsymbol {AB}}={\boldsymbol {BA}}$, pak jsou normální i matice ${\boldsymbol {AB}}$ a ${\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {B}}$. Dále existuje unitární matice ${\boldsymbol {U}}$ taková, že ${\boldsymbol {UAU}}^{\mathrm {H} }$ a ${\boldsymbol {UBU}}^{\mathrm {H} }$ jsou diagonální matice. Jinými slovy, ${\boldsymbol {A}}$ a ${\boldsymbol {B}}$ jsou současně diagonalizovatelné.

V tomto speciálním případě jsou sloupce ${\boldsymbol {U}}^{\mathrm {H} }$ vlastními vektory ${\boldsymbol {A}}$ i ${\boldsymbol {B}}$ a tvoří ortonormální bázi v $\mathbb {C} ^{n}$. Jde o kombinaci tvrzení, že nad algebraicky uzavřeným tělesem jsou komutující matice současně triangularizovatelné a že normální matice jsou diagonalizovatelné. Zde je navíc možné obojí provést současně.

Odkazy

Reference

V tomto článku byly použity překlady textů z článků Normal matrix na anglické Wikipedii a Normale Matrix na německé Wikipedii.

Literatura

• BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1. 
• HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. 
• OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 

Související články

• Diagonalizovatelná matice
• Unitární matice
• Schurův rozklad

Portály: Matematika