Trojúhelníková matice

Trojúhelníková matice je v matematice speciální druh čtvercové matice. Horní trojúhelníková matice má všechny prvky pod hlavní diagonálou rovny nule. Podobně dolní trojúhelníková matice má všechny prvky nad hlavní diagonálou nulové.

Maticové rovnice s trojúhelníkovými maticemi jsou snadněji řešitelné, a proto jsou trojúhelníkové matice důležité zejména v numerické matematice. Řešení soustav lineárních rovnic pomocí LU rozkladu je založeno na rozkladu matice na součin dolní trojúhelníkové matice ${\boldsymbol {L}}$ a horní trojúhelníkové matice ${\boldsymbol {U}}$ . Regulární matice má LU rozklad, právě když má všechny vedoucí hlavní subdeterminanty nenulové.

Definice

Horní trojúhelníková matice řádu $n$ je matice tvaru:

{\boldsymbol {U}}={\begin{pmatrix}u_{11}&u_{12}&u_{13}&\ldots &u_{1n}\\0&u_{22}&u_{23}&\ldots &u_{2n}\\0&0&\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ddots &u_{n-1,n}\\0&0&0&0&u_{nn}\end{pmatrix}}

Formálně prvky horní trojúhelníkové matice splňují: $u_{ij}=0$ pro $i>j$ .

Dolní trojúhelníková matice je matice tvaru:

{\boldsymbol {L}}={\begin{pmatrix}l_{11}&0&0&0&0\\l_{21}&l_{22}&0&0&0\\l_{31}&l_{32}&\ddots &0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &0\\l_{n1}&l_{n2}&\ldots &l_{n,n-1}&l_{nn}\end{pmatrix}}

Formálně prvky dolní trojúhelníkové matice splňují: $l_{ij}=0$ pro $i<j$ .

Speciálním případem je diagonální matice, která je horní i dolní trojúhelníkovou maticí zároveň.

Horní trojúhelníkové matice se v literatuře obvykle značí ${\boldsymbol {U}}$ z angl. upper, případně ${\boldsymbol {R}}$ - right, zatímco pro dolní trojúhelníkové se používá symbol ${\boldsymbol {L}}$ - lower, resp. left.

Striktně horní a striktně dolní trojúhelníkové matice

Hodnoty prvků na hlavní diagonále nejsou u trojúhelníkových matic nijak omezeny. Jsou-li všechny prvky na hlavní diagonále trojúhelníkové matice rovny nule, jde o striktně horní, resp. striktně dolní trojúhelníkovou matici. Striktně horní i striktně dolní trojúhelníkové matice patří mezi nilpotentní matice.

Ukázky

Matice

{\begin{pmatrix}3&2&3&4\\0&5&5&6\\0&0&0&7\\0&0&0&9\end{pmatrix}}

je horní trojúhelníková, zatímco

{\begin{pmatrix}1&0&0\\2&96&0\\4&9&69\\\end{pmatrix}}

je dolní trojúhelníková.

Matice

{\begin{pmatrix}0&0\\-5&0\\\end{pmatrix}}

je striktně dolní trojúhelníková.

Dopředná a zpětná substituce

Soustavy lineárních rovnic ve tvaru ${\boldsymbol {L}}{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {b}}$ a ${\boldsymbol {U}}{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {b}}$ jsou řešitelné dopřednou substitucí pro dolní trojúhelníkové matice s nenulovou diagonálou a analogicky zpětnou substitucí pro horní trojúhelníkové matice. Název odpovídá postupu, kdy pro dolní trojúhelníkové matice se z první rovnice soustavy nejprve určí $x_{1}$ , to se pak dosadí do následující rovnice, aby bylo možné určit $x_{2}$ , a tento postup se opakuje až pro $x_{n}$ . U horní trojúhelníkové matici se postupuje obráceně, nejprve se z poslední rovnice soustavy určí $x_{n}$ , to se pak dosadí do předchozí rovnice, z níž se určí $x_{n-1}$ , atd. až se dojde k $x_{1}$ .

Ani v jednom z uvedených postupů není třeba invertovat matici soustavy.

Dopředná substituce

Maticová rovnice ${\boldsymbol {L}}{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {b}}$ s dolní trojúhelníkovou maticí ${\boldsymbol {L}}$ s nenulovými prvky na diagonále odpovídá následující soustavě lineárních rovnic:

{\begin{matrix}l_{11}x_{1}&&&&&&&=&b_{1}\\l_{21}x_{1}&+&l_{22}x_{2}&&&&&=&b_{2}\\\vdots &&\vdots &&\ddots &&&&\vdots \\l_{n1}x_{1}&+&l_{n2}x_{2}&+&\cdots &+&l_{nn}x_{n}&=&b_{n}\\\end{matrix}}

První rovnice $l_{11}x_{1}=b_{1}$ obsahuje jedinou neznámou $x_{1}$ , a tak z ní lze přímo určit první složku řešení $x_{1}$ . Druhá rovnice se týká jen neznámých $x_{1}$ a $x_{2}$ , a proto ji lze jednoznačně vyřešit, jakmile se do $x_{1}$ dosadí hodnota získaná z první rovnice. Obecně, $j$ -tá rovnice obsahuje pouze neznámé $x_{1},\dots ,x_{j}$ , a proto z ní lze určit $x_{j}$ pomocí již dříve získaných hodnot neznámých $x_{1},\dots ,x_{j-1}$ . Postupu odpovídají následující vzorce pro výpočet řešení:

{\begin{aligned}x_{1}&={\frac {b_{1}}{l_{11}}},\\x_{2}&={\frac {b_{2}-l_{21}x_{1}}{l_{22}}},\dots \\x_{j}&={\frac {b_{j}-\sum \limits _{i=1}^{j-1}l_{ji}x_{i}}{l_{jj}}},\dots \\x_{n}&={\frac {b_{n}-\sum \limits _{i=1}^{n-1}l_{ni}x_{i}}{l_{nn}}}.\end{aligned}}

Maticovou rovnici s horní trojúhelníkovou maticí ${\boldsymbol {U}}$ lze vyřešit podobně, pouze v obráceném pořadí rovnic i neznámých.

Aplikace

Dopředná substituce se používá v ekonometrii ke konstrukci výnosové křivky.

Další vlastnosti

Matice je dolní trojúhelníková, právě když její transpozice je horní trojúhelníková matice.
Součin dvou trojúhelníkových matic stejného typu je trojúhelníková matice téhož typu.
Součin dvou striktně trojúhelníkových matic stejného typu je striktně trojúhelníková matice téhož typu.
Trojúhelníková matice s nenulovými prvky na diagonále je regulární a matice k ní inverzní je trojúhelníková matice stejného typu.
Pro trojúhelníkovou matici platí, že její determinant i permanent jsou rovny součinu prvků na hlavní diagonále.
Vlastní čísla trojúhelníkové matice jsou prvky na hlavní diagonále. Počet výskytů vlastního čísla na diagonále je jeho algebraická násobnost, čili jeho násobnost jako kořene charakteristického polynomu $p_{\boldsymbol {A}}(x)=\det({\boldsymbol {A}}-x\mathbf {I} )$ matice ${\boldsymbol {A}}$ . Jinými slovy, charakteristický polynom trojúhelníkové matice ${\boldsymbol {A}}$ řádu $n$ je roven

p_{\boldsymbol {A}}(x)=(a_{11}-x)(a_{22}-x)\cdots (a_{nn}-x)

,

což je polynom stupně

n

, jehož kořeny jsou prvky na diagonále matice

{\boldsymbol {A}}

(včetně násobností). Uvedený vztah vyplývá ze skutečnosti, že

{\boldsymbol {A}}-x\mathbf {I}

je také trojúhelníková matice a tudíž její determinant

\det({\boldsymbol {A}}-x\mathbf {I} )

je součinem prvků na její diagonále, což jsou právě

a_{11}-x,a_{22}-x,\ldots ,a_{nn}-x

.

Algebraické vlastnosti

Množina všech horních trojúhelníkových matic tvoří řešitelnou Lieovu algebru. Množina všech nilpotentních horních trojúhelníkových matic tvoří nilpotentní Lieovu algebru .
Množina všech regulárních horních trojúhelníkových matic tvoří řešitelnou grupu. Množina všech unipotentních horních trojúhelníkových matic, což jsou horní trojúhelníkové matice s 1 na diagonále, tvoří nilpotentní grupu.
Trojúhelníková matice řádu $n$ může mít nejvýše ${\tfrac {n(n+1)}{2}}$ nenulových prvků, což je také dimenze odpovídající Lieovy grupy, resp. algebraické grupy.

Stejné vlastnosti mají i dolní trojúhelníkové matice.

Aplikace

Pro své speciální vlastnosti se trojúhelníkové matice používají v různých oblastech matematiky, zejména v numerické matematice. V následujících tvrzeních jsou uvažovány matice nad tělesem komplexních čísel $\mathbb {C}$ :

Gaussova eliminace provedená na regulární matrici ${\boldsymbol {A}}$ odpovídá výpočtu vhodné permutační matice ${\boldsymbol {P}}$ a LU rozkladu ${\boldsymbol {PA}}={\boldsymbol {LU}}$ , kde ${\boldsymbol {L}}$ je dolní trojúhelníková matice s 1 na diagonále a ${\boldsymbol {U}}$ je horní trojúhelníková.
QR rozklad ${\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {QR}}$ matice ${\boldsymbol {A}}$ na součin unitární matice ${\boldsymbol {Q}}$ a horní trojúhelníkové matrici ${\boldsymbol {R}}$ lze vypočítat mimo jiné pomocí Householderových transformací, Givensových rotací nebo Gramovy–Schmidtovy ortogonalizace .
V Jordanově normální formě je matice podobnostně převedena na téměř diagonální trojúhelníkový tvar.
Při Schurově rozkladu je daná matice vyjádřena coby matice unitárně podobná vhodné trojúhelníkové matici. Schurův rozklad lze získat např. pomocí QR algoritmu.

Odkazy

Reference

V tomto článku byly použity překlady textů z článků Triangular matrix na anglické Wikipedii a Dreiecksmatrix na německé Wikipedii.

Literatura

BÄRTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. Praha: Academia, 2006. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. Kapitola Matice, s. 180–198.
BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1.
ZDENĚK, Dostál; VÍT, Vondrák. Lineární algebra [online]. Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava a Západočeská univerzita v Plzni, 2012-04-24 [cit. 2022-04-05]. Kapitola 7.2 Trojúhelníkové matice, s. 51. Dostupné online.
HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5.
OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online.
MOTL, Luboš; ZAHRADNÍK, Miloš. Pěstujeme lineární algebru [online]. [cit. 2023-02-20]. Dostupné online.