Přeskočit na obsah

Determinant

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
(přesměrováno z Determinant matice)
Absolutní hodnota determinantu matice udává obsah rovnoběžníku, jehož hrany určují sloupce (nebo řádky) matice.

Determinant čtvercové matice je skalár, který je funkcí prvků matice. Charakterizuje některé vlastnosti matice a s ní souvisejícího lineárního zobrazení. Determinant je nenulový, právě když je matice regulární a zobrazení je isomorfismus. Determinant součinu matic je součinem jejich determinantů.

Determinant matice s prvky se značí [1] nebo pomocí svislých čar kolem zápisu prvků matice:

Mezi další zápisy patří zkrácená forma , případně . Je-li parametrem jen jedna matice, není třeba psát závorky: .

Determinanty se vyskytují v mnoha oblastech matematiky. Pokud je matice tvořena koeficienty soustavy lineárních rovnic, má soustava jednoznačné řešení, právě když je determinant nenulový. V tomto případě je možné vyjádřit každou složku řešení podílem dvou determinantů (Cramerovo pravidlo). Determinanty se používají pro definici charakteristického polynomu matice a k následnému určení vlastních čísel a vlastních vektorů. Při substituci ve vícerozměrném integrálu umožňuje determinant Jacobiho matice provést přechod z kartézských do křivočarých souřadnic. V geometrii vyjadřuje absolutní hodnota determinantu obsah rovnoběžníku a objem rovnoběžnostěnu. Pomocí determinantu je v praxi zapisován vektorový součin a s ním související pojmy, například rotace vektorového pole.

Determinant čtvercové matice řádu s prvky z libovolného tělesa (např. reálných či komplexních čísel) nebo komutativního okruhu lze nadefinovat různými způsoby.

Leibnizova formule

[editovat | editovat zdroj]

Gottfried Leibniz definoval determinant výrazem:

Součet se počítá přes všechny permutace čísel a značí znaménko permutace : sudé permutace mají znaménko , a liché .

Tento vzorec obsahuje (faktoriál) sčítanců, což jej s růstem rychle činí prakticky nepoužitelným pro výpočet. V praxi se proto používají jiné způsoby výpočtu.

Vzorec lze také vyjádřit pomocí Levi-Civitova symbolu jako

Pro okrajový případ prázdné matice řádu 0 se determinant definuje 1 (existuje právě jedna permutace prázdné množiny a prázdný součin je 1).

Rekurentní předpis

[editovat | editovat zdroj]

Determinant matice řádu 1 je roven jejímu jedinému prvku, neboli .

Determinant matice řádu je dán rekurentně předpisem:

,

kde je determinant matice řádu , která vznikne z matice vynecháním i-tého řádku a prvního sloupce

Uvedený postup se nazývá Laplaceův rozvoj podle prvního sloupce.

Axiomatická definice

[editovat | editovat zdroj]

Zobrazení z prostoru čtvercových matic do příslušného tělesa zobrazuje libovolnou matici zapsanou po sloupcích na její determinant, pokud splňuje následující tři Weierstrassovy axiomy:

  • Je multilineární, tj. lineární v každém sloupci:
Pro všechny vektory platí:
Pro všechny vektory a všechny skaláry platí:
  • Je alternující (střídavá), tj. pokud se dva sloupce matice shodují, je determinant roven 0:
Pro všechny vektory a všechny dvojice indexů :
Z toho vyplývá, že při záměně dvou sloupců se znaménko změní:
Pro všechny vektory a všechny dvojice indexů :
Tento vztah se často používá k definici střídavosti, ale ekvivalentní s výše uvedeným, jen pokud má příslušné těleso charakteristiku různou od 2.
.

Karl Weierstrass dokázal v roce 1864, ale patrně již dříve,[2] že normalizovaná alternující multilineární forma na algebře čtvercových matic řádu vždy existuje a je jednoznačná.


Matice řádu 2

[editovat | editovat zdroj]

Na dvouprvkové množině jsou dvě permutace: sudá identita a lichá transpozice . Podle Leibnizovy formule i rekurentního předpisu dostáváme vzorec pro determinant:

Ukázka výpočtu determinantu:

Výpočet determinantu Sarrusovým pravidlem

Matice řádu 3

[editovat | editovat zdroj]

Pro matici řádu 3 má Leibnizův vzorec šest členů. Tři odpovídají sudým permutacím , , , zatímco zbývající tři lichým , , :

Permutace odpovídá sčítanci , zatímco odpovídá členu apod.

Ukázka výpočtu determinantu:

Rekurentní předpis dává stejný výsledek:

Mnemotechnická pomůcka sloužící k zapamatování postupu výpočtu determinantu třetího řádu se nazývá Sarrusovo pravidlo.

Vlastnosti

[editovat | editovat zdroj]
.
  • Determinant matice je roven determinantu transponované matice :
.
  • Pokud je jeden z řádků nebo sloupců nulový, je celý determinant roven nule.
  • Pokud lze prvky i-tého řádku matice zapsat jako , pak platí:
,
tzn. determinant je homogenní funkcí (stupně jedna) svých řádků (i sloupců).
  • Speciální případ předchozí vlastnosti nastane u matice , jejíž prvky lze vyjádřit vynásobením prvků čtvercové matice řádu číslem , takže . V tomto případě platí:
  • Pro součet determinantů dvou matic, které se vzájemně liší v jednom řádku platí:
,
neboli determinant je aditivní funkcí svých řádků (i sloupců).
  • Aditivita spolu s homogenitou znamenají, že determinant je multilineární formou svých řádků i sloupců.
  • Determinant je alternující forma vzhledem k záměně dvou řádků, popř. sloupců, což znamená, že při záměně dvou řádků nebo dvou sloupců se znaménko determinantu změní na opačné.
  • Pokud má matice dva řádky nebo dva sloupce shodné, pak je .
  • Obecněji, pokud je jeden řádek (nebo sloupec) jako lineární kombinací ostatních řádků (sloupců), čili matice je singulární, je její determinant nulový.
  • Regulární matice mají nenulový determinant.
  • Determinant inverzní matice splňuje .
  • Determinant součinu čtvercových matic stejného řádu je roven součinu jejich determinantů:
.
  • Součinem determinantů a je determinant , pro který platí
,

kde prvky matice jsou dány jedním z následujících vztahů

, tzn. násobí se řádky matice s řádky matice ,
, tzn. násobí se sloupce matice s řádky matice ,
, tzn. násobí se řádky matice se sloupci matice ,
, tzn. násobí se sloupce matice se sloupci matice .
  • Determinant v euklidovském prostoru je pseudoskalár, při změně ortonormální báze mění znaménko podle toho, zdali se mění orientace báze či nikoliv.

Geometrický význam determinantu

[editovat | editovat zdroj]

Matice řádu 2

[editovat | editovat zdroj]
Výpočet obsahu rovnoběžníku pomocí determinantu matice .

Matice řádu dva

má determinant

.

Jeho absolutní hodnotu lze interpretovat jako obsah rovnoběžníku s vrcholy v bodech , , a , jak je znázorněno na přiloženém diagramu. Znaménko determinantu určuje vzájemnou orientaci vektorů a a to tak, že je kladný, pokud úhel mezi vektory a měřený v kladném směru (tedy proti směru hodinových ručiček) je menší než , a je záporný, pokud je tento úhel větší než .

Namísto řádkových vektorů lze vzít i sloupcové.

Objem rovnoběžnostěnu je absolutní hodnotou determinantu matice jejíž řádky (nebo sloupce) jsou vektory , a .

Matice řádu 3

[editovat | editovat zdroj]

Podobný geometrický význam jako i determinant matic řádu tři. Řádkové vektory

určují v třídimenzionálním prostoru rovnoběžnostěn, jehož objem je roven . Pokud je kladný, tak je posloupnost vektorů , , pravotočivá, a je-li záporný, pokud je levotočivá.

Matice vyšších řádů

[editovat | editovat zdroj]

V Eukleidovských prostorech vyšších dimenzí lze determinant chápat jako (orientovaný) objem obecného -rozměrného rovnoběžnostěnu, a jeho znaménko jako indikátor orientace (pravotočivosti, respektive levotočivosti) posloupnosti vektorů .

Z geometrické interpretace vyplývá, že v případě nulového determinantu má příslušný rovnoběžnostěn nulový objem. To nastane, právě když lze alespoň jeden z vektorů vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních. Vektory (ať už řádkové nebo sloupcové) v tomto případě generují prostor dimenze nižší, než je řád matice. Taková matice se nazývá singulární. Naopak matice, jejíž determinant je nenulový, je regulární.

Metody výpočtu

[editovat | editovat zdroj]

Řádkové a sloupcové úpravy matice

[editovat | editovat zdroj]

Metoda spočívá v provedení úprav matice, které nemění hodnotu determinantu nezmění nebo změní kontrolovaným způsobem a přitom některé prvky matice redukuje na 0, čímž se zjednoduší výpočet hodnoty determinantu. Cílem prováděných úprav je získat horní trojúhelníkovou matici (tedy pro je ), neboť pro tu platí:

,

neboli determinant trojúhelníkové matice je roven součinu prvků na hlavní diagonále matice.

Například determinant matice , kterou získáme z matice tak, že k libovolnému řádku matice přičteme násobek některého z ostatních řádků matice , je roven determinantu matice , neboli . Obecněji, přičteme-li k řádku lineární kombinaci ostatních řádků, hodnota determinantu se nezmění. Podobně lze postupovat i pro sloupce.

Kromě toho lze použít i další pravidla, která však mění hodnotu determinantu:

  • Pokud vznikne z výměnou dvou řádku nebo sloupců, potom .
  • Pokud vznikne z vynásobením řádku nebo sloupce skalárem c, potom .

Gaussova eliminace udává postup, jak s použitím uvedených pravidel převedeme matici na horní trojúhelníkovou matici. Navíc je garantováno, že stačí provést nejvýše kvadraticky mnoho řádkových úprav vzhledem k řádu matice.

Následující konkrétní ukázka ilustruje výpočet determinantu matice pomocí elementárních řádkových úprav:

Výpočet determinantu matice
Matice
Získaná úpravou přičtení druhého řádku k třetímu přičtení trojnásobku prvního řádku k druhému záměna druhého a třetího řádku přičtení násobku druhého řádku k třetímu
Determinant

Z posloupnosti provedených úprav vyplývá

Laplaceův rozvoj

[editovat | editovat zdroj]

Metoda odpovídá rekurentní definici determinantu. Je vhodná pro řídké matice neboli matice s mnoha nulovými prvky. Rozvoj podle -tého řádku je dán vzorcem:

kde je determinant matice, která vznikne z odstraněním -tého řádku a -tého sloupce. Takto získaná matice se nazývá podmatice, determinant k ní příslušný se nazývá subdeterminant a člen se nazývá kofaktor.

Rozvoj podle -tého sloupce je dán vzorcem:

(Jediná změna je v použitém sumačním indexu.)

Výpočetní a bitová složitost

[editovat | editovat zdroj]

Výpočetní složitost výpočtu determinantu matice řádu z definice Leibnizovou formulí nebo rekurentní aplikací Laplaceova rozvoje je asymptoticky , zatímco běžná Gaussova eliminace má složitost pouze a v některých případech lze postupovat ještě rychleji (viz například Strassenův algoritmus). Proto je výpočetně smysluplné pro rozvoj využívat pouze řádky nebo sloupce, které obsahují jen jeden nenulový prvek, neboť už u dvou prvků v řádku či sloupci je výpočetně efektivnější jeden z nich eliminovat řádkovou nebo sloupcovou úpravou (až na malé matice řádů nejvýše tři).

Kromě složitosti algoritmu lze k porovnání algoritmů použít i další kritéria. Zejména pro aplikace týkající se matic nad okruhy existují algoritmy, které počítají determinant bez jakéhokoli dělení. (Naproti tomu Gaussova eliminace vyžaduje dělení.) Jeden takový algoritmus, který má složitost , je založen na následující myšlence: Permutace (jako v Leibnizově pravidle) nahradíme takzvanými uzavřenými uspořádanými sledy, v nichž se mohou prvky opakovat. Výsledný součet má více členů než v Leibnizově pravidle, ale v procesu lze několik z těchto součinů znovu použít, takže je efektivnější než naivní výpočet s Leibnizovým pravidlem.[3] Algoritmy lze také hodnotit podle jejich bitové složitosti, tj. kolik bitů přesnosti je potřeba k uložení dočasných hodnot vyskytujících se ve výpočtu. Například metoda Gaussova eliminace (nebo LU rozklad) má výpočetní složitost , ale bitová délka mezihodnot může být exponenciálně dlouhá.[4] Pro srovnání, Bareissův algoritmus, je metoda s přesným dělením (používá tedy dělení, ale pouze v případech, kdy je lze provést beze zbytku), má asymptoticky stejnou výpočetní složitost, ale bitová složitost zhruba odpovídá -násobku bitové velikosti zápisu původní matice.[5]

Souvislosti s jinými pojmy

[editovat | editovat zdroj]

Vlastní čísla a charakteristický polynom

[editovat | editovat zdroj]
Podrobnější informace naleznete v článku Vlastní vektory a vlastní čísla.

Determinant úzce souvisí s vlastními čísly a charakteristickým polynomem matice. Charakteristický polynom matice v proměnné je definován výrazem:

kde je jednotková matice stejného řádu jako . Vlastní čísla matice jsou právě všechny kořeny tohoto polynomu, tj. taková čísla ze stejného oboru jako prvky matice, splňující:

Je-li matice řádu s vlastními čísly (zde se rozumí, že vlastní číslo s algebraickou násobností se v tomto seznamu vyskytuje -krát), pak determinant matice je součin všech jejích vlastních čísel:

.

Pozitivně definitní matice

[editovat | editovat zdroj]
Podrobnější informace naleznete v článku Definitnost.

Hermitovská matice je pozitivně definitní, pokud jsou všechna její vlastní čísla kladná. Uvedená vlastnost je podle Sylvesterova kritéria ekvivalentní podmínce, že determinanty podmatic

jsou kladné pro všechna .

Podobné matrice

[editovat | editovat zdroj]
Podrobnější informace naleznete v článku Podobnost matic.

Matice a jsou si navzájem podobné, pokud existuje regulární matice taková, že . Determinanty podobných matic jsou shodné, protože

.

Z uvedeného vyplývá, že je-li lineární zobrazení na vektorovém prostoru konečné dimenze, potom volba báze nijak neovlivní hodnotu determinantu matice tohoto zobrazení.

Podrobnější informace naleznete v článcích Stopa matice a Maticová exponenciála.

Stopa matice je definována jako součtem prvků na diagonále . Pokud počet vlastních čísel (včetně násobnosti) odpovídá řádu matice, je stopa rovna součtu vlastních čísel. Pro matice nad algebraicky uzavřenými tělesy, např. pro komplexní matice proto platí:

a v důsledku pro reálné matice platí také:

Zde označuje maticovou exponenciálu , protože každé vlastní číslo matice odpovídá vlastnímu číslu matice . Konkrétně, pro libovolný logaritmus matice , tedy pro každou matici vyhovující podmínce:

je determinant matice dán vztahem:

.

Například pro matice řádů 2, 3 a 4, resp. platí:

Historicky byly determinanty (lat. determinare "vymezovat", "určovat") používány dlouho před maticemi. Pojem "matice" vznikl až více než 200 let po prvních úvahách o determinantech. Determinant byl původně definován jako vlastnost soustavy lineárních rovnic. Determinant „určuje“, zda má soustava jednoznačné řešení, což nastává právě když je determinant nenulový. V tomto smyslu byly determinanty poprvé použity v čínské učebnici matematiky Devět kapitol matematického umění (九章算術, kolem 3. století před naším letopočtem). V Evropě byla řešení soustav dvou lineárních rovnic vyjádřena Gerolamem Cardanem v roce 1545 entitou podobnou determinantu.[6]

Přibližně o sto let později Gottfried Wilhelm Leibniz a Takakazu Seki nezávisle na sobě studovali soustavy lineárních rovnic o více neznámých.[7] Seki vydal roku 1683 v Japonsku práci, v níž se snažil podat schematické vzorce řešení soustav rovnic pomocí determinantů a objevil pravidlo pro případ tří neznámých, které odpovídá pozdějšímu Sarrusovu pravidlu. Obdobnou práci o determinantech vydal Leibniz v roce 1693. [8] [9]

V 18. století se determinanty staly nedílnou součástí technik pro řešení soustav lineárních rovnic. Při studiích průsečíků dvou algebraických křivek vypočítal Gabriel Cramer v roce 1750 koeficienty obecné kuželosečky

která prochází pěti danými body a zavedl Cramerovo pravidlo (bez důkazu), které je po něm dnes pojmenováno.[10] Tento vzorec používal již Colin Maclaurin pro soustavy rovnic až se čtyřmi neznámými.[11] Několik známých matematiků jako Étienne Bézout, Leonhard Euler, Joseph-Louis Lagrange a Pierre-Simon Laplace se tou dobou primárně zabývalo výpočtem determinantů.

Determinanty jako samostatné funkce studoval jako první Alexandre-Théophile Vandermonde ve své práci o teorii eliminace, dokončené v roce 1771 a zveřejněné v roce 1776. V ní formuloval některá základní tvrzení o determinantech a je proto považován za zakladatele teorie determinantů. Mezi tyto výsledky patřilo například tvrzení, že sudý počet záměn dvou sousedních sloupců nebo řádků nemění znaménko determinantu, zatímco znaménko determinantu se změní s lichým počtem záměn. Pierre-Simon Laplace uvedl v roce 1772 obecnou metodu rozvoje determinantu pomocí doplňkových subdeterminantů.[12] Lagrange se bezprostředně poté zabýval determinanty matic druhého a třetího řádu, aplikoval je na problémy z teorie eliminace a dokázal mnoho speciálních případů obecných identit.

Během svých studií binárních a ternárních kvadratických forem používal Carl Friedrich Gauss schematický zápis matice, aniž jej tak však nazýval. Jako vedlejší efekt svých výzkumů definoval dnešní maticový součin, dospěl k pojmu reciprokých (inverzních) determinantů a pro určité speciální případy ukázal roku 1801 větu o determinantu součinu matic. Zavedl také slovo „determinant“ (Laplace jej nazýval „resultant“), i když ne v současném významu, ale spíše jako diskriminant polynomu pátého stupně.[10]

Dalším významným přispěvatelem je Jacques Philippe Marie Binet, který formálně vyslovil větu o součinu dvou matic o sloupcích a řádcích. Ve speciálním případě se tato věta redukuje na větu o součinu. Ve stejný den (30. listopadu 1812), kdy Binet přednesl Akademii svůj příspěvek, přednášel na stejné téma i Augustin-Louis Cauchy. Cauchy začal používat slovo "determinant" v jeho dnešním významu a významně přispěl k tomu, že pro tento pojem termín „determinant“ nakonec převládl. Cauchy dále systematizoval teorii determinantu, shrnul a zjednodušil to, co bylo v té době na toto téma známo, zdokonalil zápis. Zavedl například kofaktory a jasně rozlišoval mezi jednotlivými prvky determinantu a dílčími determinanty různých řádů. Formuloval a dokázal některé věty o determinantech, jako je věta o součinu determinantů nebo její zobecnění, Binetova-Cauchyho formule. Proto lze i Cauchyho považovat za zakladatele teorie determinantu.

Carl Gustav Jacob Jacobi zavedl roku 1841 determinant matice parciálních derivací, který James Joseph Sylvester později nazval Jakobiánem.[8] Ve svých vzpomínkách v Crelle's Journal za rok 1841 se Jacobi speciálně zabývá tímto tématem, stejně jako třídou střídavých funkcí, které Sylvester nazval "alternanty". Přibližně v době vydání posledních Jacobiho pamětí se maticemi začali zabývat Sylvester a Arthur Cayley. Cayley 1841 zavedl moderní zápis determinantu pomocí svislých čar.

Axiomatický popis determinantu jako funkce nezávislých proměnných jako první podal Karl Weierstrass ve svých berlínských přednáškách (nejpozději z roku 1864 a možná ještě před tím), na které pak navázal Ferdinand Georg Frobenius ve svých berlínských přednáškách v letním semestru 1874 a mimo jiné byl pravděpodobně první, kdo systematicky odvodil Laplaceův rozvoj z této axiomatiky.[2]

Na dokončení obecné teorie determinantu navázalo studium speciálních forem determinantů, např. osově symetrických determinantů, cirkulantů, Pfaffiánů, Wronského determinantů, Jakobiánů, Hessiánů a dalších.

V tomto článku byly použity překlady textů z článků Determinant na anglické Wikipedii a Determinante na německé Wikipedii.

  1. ČSN EN ISO 80000-2 (011300). Veličiny a jednotky - Část 2: Matematika. Česká agentura pro standardizaci, 2020-11-01. detail.
  2. a b FROBENIUS, Ferdinand Georg. Zur Theorie der linearen Gleichungen. J. Reine Ang. Math. (Crelles Journal). 1905, čís. 129, s. 179–180. 
  3. ROTE, Günter. Division-Free Algorithms for the Determinant and the Pfaffian: Algebraic and Combinatorial Approaches. Příprava vydání Helmut Alt. Berlin, Heidelberg: Springer Dostupné online. ISBN 978-3-540-45506-6. DOI 10.1007/3-540-45506-x_9. S. 119–135. (anglicky) DOI: 10.1007/3-540-45506-X_9. 
  4. FANG, Xin Gui; HAVAS, George. On the worst-case complexity of integer Gaussian elimination. In: Proceedings of the 1997 international symposium on Symbolic and algebraic computation. New York, NY, USA: Association for Computing Machinery, 1997-07-01. Dostupné online. ISBN 978-0-89791-875-6. DOI 10.1145/258726.258740. S. 28–31.
  5. FISIKOPOULOS, Vissarion; PEÑARANDA, Luis. Faster geometric algorithms via dynamic determinant computation. Computational Geometry. 2016-04-01, roč. 54, s. 1–16. Dostupné online [cit. 2023-04-10]. ISSN 0925-7721. DOI 10.1016/j.comgeo.2015.12.001. (anglicky) 
  6. Companion encyclopedia of the history and philosophy of the mathematical sciences. Johns Hopkins paperbacks ed. vyd. Baltimore: Johns Hopkins University Press 2 volumes (xiv, 1806 pages) s. Dostupné online. ISBN 0-8018-7396-7, ISBN 978-0-8018-7396-6. OCLC 51178107 
  7. Gottfried Wilhelm Leibniz : das Wirken des grossen Philosophen und Universalgelehrten als Mathematiker, Physiker, Techniker : Vorträge und Katalog der Erstausstellung an der Universität Hannover anlässlich der Jahrestagung der Gesellschaft für Angewandte Mathematik und Mechanik (GAMM) vom 9. bis 12. April 1990. Hannover: Gottfried-Wilhelm-Leibniz-Gesellschaft 151 pages s. Dostupné online. ISBN 3-9800978-4-6, ISBN 978-3-9800978-4-0. OCLC 23984373 
  8. a b EVES, Howard. An introduction to the history of mathematics. 6th ed. vyd. Philadelphia: Saunders College Pub xviii, 775 pages s. Dostupné online. ISBN 0-03-029558-0, ISBN 978-0-03-029558-4. OCLC 20842510 
  9. A Brief History of Linear Algebra and Matrix Theory at: Archivovaná kopie [online]. [cit. 2023-04-11]. Dostupné v archivu pořízeném dne 2012-09-10. 
  10. a b KLEINER, Israel. A history of abstract algebra. Boston, Mass.: Birkhäuser 1 online resource (xiii, 168 pages) s. Dostupné online. ISBN 978-0-8176-4685-1, ISBN 0-8176-4685-X. OCLC 187165155 
  11. 4000 Jahre Algebra Geschichte, Kulturen, Menschen. Berlin: [s.n.] XIV, 653 S s. Dostupné online. ISBN 978-3-540-43554-9, ISBN 3-540-43554-9. OCLC 248734867 
  12. MUIR, Thomas. The Theory of Determinants in the Historical Order of its Development. Proceedings of the Royal Society of Edinburgh. 1890, roč. 16, s. 207–234. Dostupné online [cit. 2023-04-11]. ISSN 0370-1646. DOI 10.1017/s0370164600006325. 

Literatura

[editovat | editovat zdroj]
  • Slovník školské matematiky. Praha: SPN, 1981. 240 s. 
  • BÄRTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. Praha: Academia, 2006. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. Kapitola Matice, s. 180–198. 
  • BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1. 
  • BEČVÁŘ, Jindřich. Z historie lineární algebry. Praha: Matfyzpress 519 s. Dostupné online. ISBN 978-80-7378-036-4, ISBN 80-7378-036-4. OCLC 845576335 
  • HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. S. 39. 
  • OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 
  • MOTL, Luboš; ZAHRADNÍK, Miloš. Pěstujeme lineární algebru [online]. [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 

Související články

[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy

[editovat | editovat zdroj]