V matematice , a zvlášť v tenzorovém počtu , se Levi-Civitův symbol (pojmenovaný po italském matematikovi Tullio Levi-Civitovi ), také nazývaný permutační symbolantisymetrický symbol , definuje následovně:
Levi-Civitův symbol
ε
i
j
k
=
{
+
1
je-li
(
i
,
j
,
k
)
rovno
(
1
,
2
,
3
)
,
(
2
,
3
,
1
)
nebo
(
3
,
1
,
2
)
,
−
1
je-li
(
i
,
j
,
k
)
rovno
(
3
,
2
,
1
)
,
(
1
,
3
,
2
)
nebo
(
2
,
1
,
3
)
,
0
jindy, tj.:
i
=
j
nebo
j
=
k
nebo
k
=
i
,
{\displaystyle \varepsilon _{ijk}={\begin{cases}+1&{\mbox{je-li }}(i,j,k){\mbox{ rovno }}(1,2,3),(2,3,1){\mbox{ nebo }}(3,1,2),\\-1&{\mbox{je-li }}(i,j,k){\mbox{ rovno }}(3,2,1),(1,3,2){\mbox{ nebo }}(2,1,3),\\0&{\mbox{jindy, tj.: }}i=j{\mbox{ nebo }}j=k{\mbox{ nebo }}k=i,\end{cases}}}
tj. hodnota je 1 jestliže (i , j , k ) je sudá permutace (1,2,3) a −1 jestliže je lichá.
Je pojmenován po italském matematikovi Civitovi . Používá se v mnoha oblastech matematiky a fyziky .
Například v algebře lze determinant 3×3 matice A napsat jako
∑
i
,
j
,
k
=
1
3
ε
i
j
k
a
1
i
a
2
j
a
3
k
{\displaystyle \sum _{i,j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{1i}a_{2j}a_{3k}}
(a podobně pro čtvercové matice libovolné velikosti, viz níže)
a vektorový součin dvou vektorů lze napsat jako determinant:
a
×
b
=
|
e
1
e
2
e
3
a
1
a
2
a
3
b
1
b
2
b
3
|
=
∑
i
,
j
,
k
=
1
3
ε
i
j
k
e
i
a
j
b
k
{\displaystyle \mathbf {a\times b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e_{1}} &\mathbf {e_{2}} &\mathbf {e_{3}} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{vmatrix}}=\sum _{i,j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\mathbf {e_{i}} a_{j}b_{k}}
nebo jednodušeji:
a
×
b
=
c
,
c
i
=
∑
j
,
k
=
1
3
ε
i
j
k
a
j
b
k
{\displaystyle \mathbf {a\times b} =\mathbf {c} ,\ c_{i}=\sum _{j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}}
Toto lze dále zjednodušit užitím Einsteinovy konvence .
Levi-Civitův symbol lze zobecnit na vyšší dimenze:
ε
i
j
k
ℓ
…
=
{
+
1
je-li
(
i
,
j
,
k
,
ℓ
,
…
)
suda permutace
(
1
,
2
,
3
,
4
,
…
)
−
1
je-li
(
i
,
j
,
k
,
ℓ
,
…
)
licha permutace
(
1
,
2
,
3
,
4
,
…
)
0
jsou-li si 2 indexy rovny
{\displaystyle \varepsilon _{ijk\ell \dots }=\left\{{\begin{matrix}+1&{\mbox{je-li }}(i,j,k,\ell ,\dots ){\mbox{ suda permutace}}(1,2,3,4,\dots )\\-1&{\mbox{je-li }}(i,j,k,\ell ,\dots ){\mbox{ licha permutace }}(1,2,3,4,\dots )\\0&{\mbox{jsou-li si 2 indexy rovny}}\end{matrix}}\right.}
Tudíž je rovno znaménku permutace v případě permutace, a nule jindy.
Tenzor , jehož komponenty jsou dány Levi-Civitovým symbolem (tenzor kovariantního rozsahu n), se někdy nazývá permutační tenzor . Ve skutečnosti se jedná o pseudotenzor , protože mění znaménko při nepřímé ortogonální transformaci (s jakobiánem −1, tj. rotace složené se zrcadlením). Protože Levi-Civitův symbol je pseudotenzor, výsledek vektorového součinu je pseudovektor a ne vektor.
Levi-Civitův symbol má vztah ke Kroneckerovu delta . Ve třech dimenzích je vztah dán následujícími rovnicemi:
ε
i
j
k
ε
l
m
n
=
δ
i
l
δ
j
m
δ
k
n
+
δ
i
m
δ
j
n
δ
k
l
+
δ
i
n
δ
j
l
δ
k
m
−
δ
i
l
δ
j
n
δ
k
m
−
δ
i
n
δ
j
m
δ
k
l
−
δ
i
m
δ
j
l
δ
k
n
{\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon _{lmn}=\delta _{il}\delta _{jm}\delta _{kn}+\delta _{im}\delta _{jn}\delta _{kl}+\delta _{in}\delta _{jl}\delta _{km}-\delta _{il}\delta _{jn}\delta _{km}-\delta _{in}\delta _{jm}\delta _{kl}-\delta _{im}\delta _{jl}\delta _{kn}}
∑
i
=
1
3
ε
i
j
k
ε
i
m
n
=
δ
j
m
δ
k
n
−
δ
j
n
δ
k
m
{\displaystyle \sum _{i=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{imn}=\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}}
∑
i
,
j
=
1
3
ε
i
j
k
ε
i
j
n
=
2
δ
k
n
{\displaystyle \sum _{i,j=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{ijn}=2\delta _{kn}}
Navíc zřejmě platí, že
∑
i
,
j
,
k
,
⋯
=
1
n
ε
i
j
k
…
2
=
n
!
{\displaystyle \sum _{i,j,k,\dots =1}^{n}\varepsilon _{ijk\dots }^{2}=n!}
vždy platí v n dimenzích (sčítáme přes všechny permutace třídy n).
1. Determinant
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
A
=
(
a
i
j
)
{\displaystyle A=(a_{ij})}
det
A
=
ε
i
1
⋯
i
n
a
1
i
1
⋯
a
n
i
n
,
{\displaystyle \det A=\varepsilon _{i_{1}\cdots i_{n}}a_{1i_{1}}\cdots a_{ni_{n}},}
kde každé
i
l
{\displaystyle i_{l}}
1
,
…
,
n
.
{\displaystyle 1,\ldots ,n.}
Ekvivalentně můžeme napsat
det
A
=
1
n
!
ε
i
1
⋯
i
n
ε
j
1
⋯
j
n
a
i
1
j
1
⋯
a
i
n
j
n
,
{\displaystyle \det A={\frac {1}{n!}}\varepsilon _{i_{1}\cdots i_{n}}\varepsilon _{j_{1}\cdots j_{n}}a_{i_{1}j_{1}}\cdots a_{i_{n}j_{n}},}
kde nyní každé
i
l
{\displaystyle i_{l}}
j
l
{\displaystyle j_{l}}
1
,
…
,
n
{\displaystyle 1,\ldots ,n}
2. Jestliže
A
=
(
A
1
,
A
2
,
A
3
)
{\displaystyle A=(A^{1},A^{2},A^{3})}
B
=
(
B
1
,
B
2
,
B
3
)
{\displaystyle B=(B^{1},B^{2},B^{3})}
R
3
{\displaystyle R^{3}}
i
{\displaystyle i}
(
A
×
B
)
i
=
ε
i
j
k
A
j
B
k
.
{\displaystyle (A\times B)^{i}=\varepsilon ^{ijk}A^{j}B^{k}.}
například první komponenta
A
×
B
{\displaystyle A\times B}
A
2
B
3
−
A
3
B
2
{\displaystyle A^{2}B^{3}-A^{3}B^{2}}
A
×
B
=
−
B
×
A
{\displaystyle A\times B=-B\times A}
C
=
(
C
1
,
C
2
,
C
3
)
{\displaystyle C=(C^{1},C^{2},C^{3})}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
A
⋅
(
B
×
C
)
=
ε
i
j
k
A
i
B
j
C
k
.
{\displaystyle A\cdot (B\times C)=\varepsilon ^{ijk}A^{i}B^{j}C^{k}.}
Z tohoto výrazu lze vidět, že trojčlenný skalární součin je antisymetrický vzhledem k výměně sousedních argumentů. Například
A
⋅
(
B
×
C
)
=
−
B
⋅
(
A
×
C
)
{\displaystyle A\cdot (B\times C)=-B\cdot (A\times C)}
3. Předpokládejme, že
F
=
(
F
1
,
F
2
,
F
3
)
{\displaystyle F=(F^{1},F^{2},F^{3})}
vektorové pole definované na nějaké otevřené množině
R
3
{\displaystyle R^{3}}
x
=
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
{\displaystyle x=(x^{1},x^{2},x^{3})}
i
{\displaystyle i}
F
{\displaystyle F}
(
∇
×
F
)
i
(
x
)
=
ε
i
j
k
∂
∂
x
j
F
k
(
x
)
.
{\displaystyle (\nabla \times F)^{i}(x)=\varepsilon ^{ijk}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}F^{k}(x).}
