Limita (teorie kategorií)

Limita je pojem v teorii kategorií, což je odvětví matematiky zkoumající vztahy mezi matematickými strukturami, které lze popsat pouze pomocí pojmů „objekt“, „morfismus“, „skládání“ a „identický morfismus“.

Je-li v kategorii $\mathbb {K}$ dán diagram $\mathbb {D}$, tedy množina některých objektů a některých morfismů z $\mathbb {K}$, pak objekt $L$ z $\mathbb {K}$ (který obvykle není prvkem diagramu) spolu se sadou morfismů $\pi$ zvaných projekce, z nichž do každého objektu diagramu vede z $L$ právě jeden, nazýváme limitou diagramu, platí-li následující:

1. Projekce komutují se všemi morfismy z $\mathbb {D}$, tj. pro každé objekty diagramu $O,P$ a morfismus diagramu $f:O\to P$ platí $\pi _{P}=\pi _{O}\circ f$.
2. Pro každý jiný objekt $R$ a sadu $\rho$ projekcí z $R$ do všech objekt diagramu, které takto komutují s morfismy diagramu, existuje právě jeden morfismus $\phi :R\to L$, který komutuje s každou projekcí, tj. $\pi _{O}\circ \phi =\rho _{O}$ pro všechny objekty diagramu $O$.

Pro morfismy $f:A\to B$ a $g:B\to C$ značíme složený morfismus z $A$ do $C$ symbolem $g\circ f$ (oproti méně časté konvenci, která je značí $f\circ g$). U konkrétní kategorie, kde morfismy jsou zobrazení, takové složené zobrazení prvku $x\in A$ přiřadí $g(f(x))\in C$

Definice kolimity je duální, tedy obdobná až na obrácení směru šipek. Malá limita je taková, jejíž diagram $\mathbb {D}$ je množina, nikoli vlastní třída.

Limity a kolimity nemusejí vždy existovat: kategorie, v níž každý diagram má limitu, nazveme úplná kategorie. Obdobně existují-li v ní všechny kolimity, nazveme ji koúplná.

Volbou různých diagramů $\mathbb {D}$ lze obdržet různé konstrukce, jako například

• Produkty (součiny), které v mnoha kategoriích z několika objektů vytvoří jejich kartézský součin s příslušnou strukturou.
• Kosoučiny, které u komutativních objektů s nulou (např. okruhy, vektorové prostory atd.) často dají direktní součet.
• Ekvalizéry a koekvalizéry
• Pullbacky, které většinou definují průnik, a k nim duální pushouty, které často definují sjednocení (nebo nejmenší objekt obsahující toto sjednocení, např. lineární obal u vektorových prostorů).

Motivace

Pojem limity sjednocuje práci s pojmy z teorie kategorií jako pullback, součin apod.

Např. kategoriální pojem „součin“ je motivován tím, že následující tvrzení platí pro vektorové prostory a jejich homomorfismy, grupy a grupové homomorfismy, okruhy a okruhové homomorfismy a mnoho dalších struktur:

• Direktní součin $A\times B$ je izomorfní s každým objektem $C$, pro který existuje homomorfismus $a:A\to C$ a $b:B\to C$, takové, že pro každý objekt $D$ a homomorfismy $f:D\to A$ a $g:D\to B$ existuje právě jeden homomorfismus $h:D\to C$, který s nimi komutuje, tj. pro složené zobrazení platí $a\circ h=f$ a $b\circ h=g$.

Pojem „direktní součin“ umožňuje jednotně pracovat se všemi strukturami, které toto splňují (včetně např. kartézského součinu v kategorii množin) a zkoumat, které vlastnosti mají společné.

Za podobným účelem vznikly pojmy „kosoučin“, „ekvalizér“, „pullback“ apod. Významná část v jejich definicích je společná: „... takové, že pro každý objekt s touž vlastností existuje právě jeden morfismus, který komutuje s projekcemi.“

Tuto podobnost vystihuje pojem limity, který umožňuje pracovat s nimi všemi jednotně a zkoumat jejich společné vlastnosti.

Příklad

V kategorii množin Set, kde objekty jsou všechny množiny a morfismy jsou všechna zobrazení mezi nimi, limity vhodných typů diagramů odpovídají průnikům:

Bez dodatečné informace nelze průnik definovat jazykem teorie kategorií: v každé takové definici by průnik např. $\{1,2,3\}\cap \{2,3,4\}$ byl izomorfní s průnikem $\{11,12,13\}\cap \{22,23,24\}$, jelikož všechny tříprvkové množiny jsou izomorfní – v kategorii Set jsou izomorfismy právě všechny bijekce.

Diagram $\mathbb {D}$, jehož limitou je průnik, bude proto tvořen třemi objekty $A=\{1,2,3\},B=\{2,3,4\},C=\{1,2,3,4,5\}$, a dvěma morfismy $a\in A\to C,b\in B\to C$ takovými, že $a(x)=x,b(x)=x$, tj. které jsou v množinovém (byť ne kategoriálním) smyslu identickým zobrazením.

Limita takového diagramu (který se skládá ze dvou morfismů vedoucích do téhož objektu) se nazývá pullback. V tomto případě je limitou množina $L=\{2,3\}$ spolu s identickými projekcemi $\pi _{A},\pi _{B},\pi _{C}$ z $L$ do $A,B,C$ – a samozřejmě všechny objekty s ní izomorfní.

První podmínka v definici limity (že projekce musí komutovat s každým morfismem v $\mathbb {D}$) je splněna: například složením $\pi _{B}:L\to B$ se zobrazením $b:B\to C$ získáme právě $\pi _{C}:L\to C$. Tuto podmínku však splňuje i množina $R=\{2\}$ s identickými projekcemi $\rho$, která limitou $\mathbb {D}$ není.

Zobrazení $\phi$ z $R$ do $L$ vyžadované druhou podmínkou existuje: je jím identické zobrazení. To se všemi projekcemi komutuje, tj. platí $\pi _{A}\circ \phi =\rho _{A}$ a podobně i pro $B$ a $C$, neboť na obou stranách je zobrazení, které dvojce přiřadí dvojku. $L$ je tedy limitou diagramu $\mathbb {D}$, protože pro každé $R$ s projekcemi, které komutují s morfismy v $\mathbb {D}$, existuje právě jedno zobrazení $\phi$ komutující s těmito projekcemi.

Uvedená jednoprvková množina $R$ ovšem limitou $\mathbb {D}$ není. K důkazu lze použít libovolný objekt s projekcemi; právě dvouprvková $L$ je vhodnou volbou, protože neexistuje $\phi :L\to R$, které by komutovalo s projekcemi. Muselo by platit např. $\pi _{A}=\rho _{A}\circ \phi$, ovšem na pravé straně by vždy bylo zobrazení s jednoprvkovým oborem hodnot, zatímco na levé nikoli.

Ani žádná tříprvková množina není limitou $\mathbb {D}$, protože tam takových zobrazení existuje naopak více, zatímco podmínka 2 vyžaduje právě jedno. Např. pro množinu {11,12,13} s projekcemi, které zobrazí 11 a 12 na 2 a 13 na 3, budou komutující zobrazení do dvouprvkové $L$ existovat dvě: obě zobrazí 3 na 13, ale číslo 2 je možno zobrazit na 11 nebo 12.

Limitou diagramu $\mathbb {D}$ je proto průnik $A\cap B$ s identickými projekcemi.

Méně formální definice

Řečeno méně formálně, v mnoha běžných kategoriích je limitou obecného diagramu $\mathbb {D}$ „nejmenší“ objekt mezi takovými,

• z nichž lze do objektů $\mathbb {D}$ vést „šipky“ (tj. morfismy zvané „projekce“), které „nekolidují“ (tj. komutují) s morfismy $\mathbb {D}$,
• a které „nedegenerují“ svým skládáním projekce jiných objektů s komutujícími projekcemi.

V předchozím příkladu byla jednoprvková množina „příliš malá“, protože z projekcí dvouprvkové množiny skládáním vytvořila "degenerovaná" zobrazení s nedostatečně velkým oborem hodnot. Naproti tomu tříprvková nebyla „nejmenším“ takovým objektem, protože stačí množina dvouprvková. Tříprvková proto měla zbytečnou „volnost“ v tom, jak se zobrazit na dvouprvkovou.

Tato neformální definice platí i pro limity jiných diagramů. Např. již zmíněný součin je limitou diagramu, který neobsahuje morfismy. Charakter výsledného objektu (limity) silně závisí na charakteru diagramu – součin dvojrozměrného a třírozměrného vektorového prostoru bude prostor pětirozměrný – ovšem neformální definice zůstane v platnosti: čtyřrozměrný prostor je příliš malý, protože by "degeneroval" obor hodnot projekcí na pětirozměrný prostor. A šestirozměrný by měl nenulovou „volnost“ v tom, jak se zobrazit na pětirozměrný. Druhá podmínka limity vyžaduje, aby právě jeden morfismus existoval pro každé $R$, proto pro důkaz, že není splněna, lze zvolit např. pětirozměrné $R$.

Definice

Je-li v kategorii $\mathbb {K}$ dán diagram $\mathbb {D}$, tj. množina objektů $Ob_{\mathbb {D} }$ a morfismů z $\mathbb {K}$, pak objekt $L\in Ob_{\mathbb {K} }$ spolu s množinou morfismů $\{\pi _{O}\in {\text{Hom}}(L,O)\}_{O\in Ob_{\mathbb {D} }}$ se nazývá limitou diagramu $\mathbb {D}$, pokud platí následující dvě podmínky:

1. Pro každou dvojici objektů $O,P\in Ob_{\mathbb {D} }$ a každý morfismus $f:O\to P$ z diagramu $\mathbb {D}$ je splněna rovnost $\pi _{P}=\pi _{O}\circ f$. Říkáme , že každá projekce $\pi _{O}$ komutuje s odpovídajícími morfismy z diagramu.
2. Pro každý objekt $R$ a sadu morfismů $\{\rho _{O}\in {\text{Hom}}(R,O)\}_{O\in Ob_{\mathbb {D} }}$, které splňují podmínku 1 (tj. komutují s morfismy z $\mathbb {D}$), existuje právě jeden morfismus $\phi \in {\text{Hom}}(R,L)$ takový, že pro každé $O\in Ob_{\mathbb {D} }$ platí $\pi _{O}\circ \phi =\rho _{O}$.

Podmínka 2 úzce souvisí s pojmem univerzální vlastnost a zajišťuje, že každé dvě limity libovolného diagramu jsou navzájem izomorfní, tj. že limita, existuje-li, je určena „jednoznačně až na izomorfismus“.

Speciální typy limit

Pullback a pushout

Na tuto kapitolu jsou přesměrována hesla Pullback a Pushout.

Pullback je limita diagramu dvou morfismů, které mají stejnou kodoménu, tj. vedou do stejného objektu. Diagram má tedy tři objekty $A,B,C$ a zobrazení $a:A\to C,b:B\to C$. Duálním pojmem, tj. kolimitou téhož diagramu, je pushout.

V běžných kategoriích má pullback často charakter průniku a pushout charakter "inteligentního sjednocení", tj. "sjednocení", které neporušuje strukturu dané kategorie.

Pro přehlednost předpokládejme, že $A\subseteq C,a(x)=x$ a rovněž $B\subseteq C,b(x)=x$; to v běžných kategoriích vždy "platí až na izomorfismus". Pak v kategorii množin je pullback průnikem $A\cap B$, jak je podrobně vysvětleno výše, a pushout sjednocením $A\cup B$. V kategorii vektorových prostorů, komutativních grup apod. je pullback opět průnikem, protože takový průnik je vždy vektorovým prostorem, resp. komutativní grupou. Ovšem to neplatí pro sjednocení, a proto pushback není přímo sjednocení, nýbrž nejmenší podprostor/podgrupa $C$, která toto sjednocení obsahuje, jinými slovy podprostor/podgrupa generovaná množinou $A\cap B$.

Produkty a koprodukty

Na tuto kapitolu je přesměrováno heslo Koprodukt.

Podrobnější informace naleznete v článku Produkt (teorie kategorií).

Je-li $\mathbb {D}$ diskrétní, tj. neobsahuje-li žádné morfismy (kromě povinných jednotkových automorfismů), je její limitou kategoriální produkt neboli součin. Ten u mnoha struktur odpovídá direktnímu součinu objektů z $\mathbb {D}$.

Kolimitou takového diagramu je pak ko'produkt' neboli kosoučin, který mnohdy odpovídá direktnímu součtu.

Odkazy

Literatura

• MAC LANE, Saunders, 1971. Categories for the Working Mathematician. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8. 
• MAC LANE, Saunders, 1998. Categories for the Working Mathematician. 2. vyd. Svazek 5. New York: Springer, září 1998. (Graduate Texts in Mathematics). Dostupné online. ISBN 0-387-98403-8. 
• STARÝ, Jan, 2024. Úvod do teorie kategorií [online]. 2024-04-05 [cit. 2024-09-21]. Dostupné online. 

Související články

• Produkt (teorie kategorií)

Portály: Matematika