Polární rozklad

Polární rozklad je rozklad reálné (respektive komplexní) čtvercové matice na součin symetrické (respektive hermitovské) pozitivně semidefinitní matice a matice ortogonální (respektive unitární).

Reálný případ

Uvažujme $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ a její singulární rozklad

$A=U\Sigma V^{T},\qquad U^{-1}=U^{T},\;V^{-1}=V^{T},\;\Sigma =\mathrm {diag} (\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}),$

kde matice $U$ a $V$ jsou ortogonální a matice $\Sigma$ je diagonální s nezápornými čísly na diagonále tak, že platí

$\sigma _{1}\geq \sigma _{2}\geq \sigma _{3}\geq \ldots \geq \sigma _{n}\geq 0.$

Vložením šikovně rozepsané jednotkové matice, $I=U^{T}U=V^{T}V$, na vhodné místo do singulárního rozkladu, získáme hledaný polární rozklad. Možnosti jsou dvě, buď

$A=(U\Sigma U^{T})(UV^{T})=M_{U}Q,$

kde

$M_{U}=U\Sigma U^{T}$

je symetrická pozitivně semidefinitní (je-li $\sigma _{n}>0$, tj. je-li $A$ regulární, pak je symetrická pozitivně definitní) a

$Q=UV^{T}$

je ortogonální. Případně

$A=(UV^{T})(V\Sigma V^{T})=QM_{V},$

kde

$M_{V}=V\Sigma V^{T}$

je opět symetrická pozitivně (semi)definitní.

Komplexní případ

Zcela analogicky uvažujme $A\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ a její singulární rozklad

$A=U\Sigma V^{H},\qquad U^{-1}=U^{H},\;V^{-1}=V^{H},\;\Sigma =\mathrm {diag} (\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}),$

kde matice $U$ a $V$ jsou unitární a matice $\Sigma$ je diagonální s nezápornými čísly na diagonále tak, že platí

$\sigma _{1}\geq \sigma _{2}\geq \sigma _{3}\geq \ldots \geq \sigma _{n}\geq 0.$

Polární rozklad lze opět vyjádřit dvěma způsoby, buď

$A=(U\Sigma U^{H})(UV^{H})=M_{U}Q,$

kde

$M_{U}=U\Sigma U^{H}$

je hermitovská pozitivně semidefinitní (je-li $\sigma _{n}>0$, tj. je-li $A$ regulární, pak je hermitovská pozitivně definitní) a

$Q=UV^{H}$

je unitární. Případně

$A=(UV^{H})(V\Sigma V^{H})=QM_{V},$

kde

$M_{V}=V\Sigma V^{H}$

je opět hermitovská pozitivně (semi)definitní.

Rozšíření na obdélníkový případ

Je-li matice obdélníková, $A\in \mathbb {R} ^{m\times n}$ ($\mathbb {C} ^{m\times n}$) a $m<n$, matice má tedy více sloupců než řádků, lze ji, zcela analogickým postupem jako v předchozích případech zapsat jako součin

$A=M_{U}Q$

kde $M_{U}$ je symetrická (hermitovská) pozitivně (semi)definitní a matice $Q$ má ortonormální řádky.

Pokud je $m>n$, tedy matice má více sloupců než řádků, lze ji zapsat jako součin

$A=QM_{V}$

kde $M_{V}$ je symetrická (hermitovská) pozitivně (semi)definitní a matice $Q$ má ortonormální sloupce.

Matice $M_{U}$, respektive $M_{V}$ je regulární, pokud má matice $A$ má lineárně nezávislé řádky, respektive sloupce.

Maticové identity

Následující vztahy uvádíme pouze pro komplexní případ, reálný případ je zcela analogický.

Obecně, je-li matice $A$ čtvercová, nebo obdélníková s více sloupci než řádky, platí

$M_{U}={\sqrt {AA^{H}}}={\sqrt {(M_{U}Q)(M_{U}Q)^{H}}}={\sqrt {(M_{U}Q)(Q^{H}M_{U}^{H})}}={\sqrt {M_{U}M_{U}}}={\sqrt {M_{U}^{2}}}.$

Je-li matice čtvercová, nebo obdélníková s více řádky než sloupci, platí

$M_{V}={\sqrt {A^{H}A}}={\sqrt {(QM_{V})^{H}(QM_{V})}}={\sqrt {(M_{V}^{H}Q^{H})(QM_{V})}}={\sqrt {M_{V}M_{V}}}={\sqrt {M_{V}^{2}}}.$

Viz definici odmocniny z matice.

Rozklady

$M_{U}=U\Sigma U^{H}\qquad {\text{a}}\qquad M_{V}=V\Sigma V^{H}$

představují zároveň Schurovy i Jordanovy rozklady matic $M_{U}$ a $M_{V}$.

Singulární čísla $\sigma _{j}$, $j=1,\ldots ,\min\{m,n\}$ matice $A$ tedy představují vlastní čísla matic $M_{U}$ a $M_{V}$.

Aplikace

Polární rozklad (reálné čtvercové regulární matice) nachází uplatnění zejména v klasické mechanice, kde slouží, v maticovém popisu, k oddělení deformace tělesa (reprezentované symetrickou pozitivně definitní maticí) od pohybu tuhého tělesa, přesněji změny souřadného systému (reprezentované ortogonální maticí).

Související články

• Singulární rozklad
• Maticová funkce
• Schurův rozklad
• Jordanův rozklad

Literatura

• J. Duintjer Tebbens, I. Hnětynková, M. Plešinger, Z. Strakoš, P. Tichý: Analýza metod pro maticové výpočty, základní metody. Matfyzpress 2012. ISBN 978-80-7378-201-6. (Kapitola 5.8, Polární rozklad a exponenciální tvar čtvercové matice, str. 142-143)
• M. Fiedler: Speciální matice a jejich užití v numerické matematice. SNTL, Státní nakladatelství technické literatury, edice TKI, Teoretická knižnice inženýra, 1981. (Věta 2.29, str. 63)

Portály: Matematika