Pseudoinverzní matice nebo též zobecněná inverze se používá ke zobecnění pojmu inverzní matice v případech, kdy matice
je čtvercová singulární, nebo obdélníková, tedy v případech, kdy klasická inverze neexistuje. Pojem inverze lze zobecnit mnoha různými způsoby. V praxi se nejčastěji setkáme s tzv. Mooreovou–Penroseovou pseudoinverzí, kterou poprvé zavedli Moore (1920) a Penrose (1931) a obvykle se značí
.
Mooreovou–Penroseovou pseudoinverzí matice
nazveme matici, která je jednoznačným řešením soustavy čtyř (nelineárních) rovnic
- (1)
![{\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {X} \mathbf {A} =\mathbf {A} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ee8d78c681f3d7ac3dad96f600b6d5e3021604f)
- (2)
![{\displaystyle \mathbf {X} \mathbf {A} \mathbf {X} =\mathbf {X} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e500dfee5e141145d0aa52f45d544b8aa5b080b)
- (3)
![{\displaystyle (\mathbf {A} \mathbf {X} )^{T}=\mathbf {A} \mathbf {X} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96bf932f5af775c79c3486e2e3b400217d2409c3)
- (4)
![{\displaystyle (\mathbf {X} \mathbf {A} )^{T}=\mathbf {X} \mathbf {A} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21bb645df8f34d10755674fc5e9c5e5c28a9883f)
tzv. Mooreových–Penroseových podmínek. Mooreovu–Penroseovu pseudoinverzi značíme
. (Všimněme si, že pro čtvercovou regulární matici a její inverzi jsou všechny podmínky splněny triviálně.)
Nechť
,
. Uvažujme singulární rozklad
![{\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {U} \mathbf {\Sigma } \mathbf {V} ^{T}=[\mathbf {U} _{r}|\mathbf {U} _{0}]\left[{\begin{array}{c|c}\mathbf {\Sigma } _{r}&0\\\hline 0&0\end{array}}\right][\mathbf {V} _{r}|\mathbf {V} _{0}]^{T}=\mathbf {U} _{r}\mathbf {\Sigma } _{r}\mathbf {V} _{r}^{T},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c59918f92954783dd3cacb2023de76b72a1a9679)
kde
![{\displaystyle \mathbf {U} ^{-1}=\mathbf {U} ^{T},\;\mathbf {V} ^{-1}=\mathbf {V} ^{T},\;\mathbf {\Sigma } _{r}=\mathrm {diag} (\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{r}),\;\sigma _{1}\geq \ldots \geq \sigma _{r}>0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d367e46d1197ad7b6f4576151af24589da2c4bb8)
pak
![{\displaystyle \mathbf {A} ^{+}=\mathbf {V} _{r}\mathbf {\Sigma } _{r}^{-1}\mathbf {U} _{r}^{T}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31e8aa13c9a803f26b4d147cfc3971ad992d0dd6)
Snadno ověříme, že takto zvolená matice splňuje všechny čtyři podmínky.
Chápeme-li původní matici jako lineární zobrazení
a provedeme-li jeho restrikci na
, kde je bijektivní, pak Mooreova–Penroseova pseudoinverze reprezentuje jeho inverzi.
Má-li matice
lineárně nezávislé sloupce, pak
je regulární a
![{\displaystyle \mathbf {A} ^{+}=(\mathbf {A} ^{T}\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {A} ^{T},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67f89478ded10a8b1427e2e14bee8486724d0912)
má-li naopak lineárně nezávislé řádky, pak
je regulární a
![{\displaystyle \mathbf {A} ^{+}=\mathbf {A} ^{T}(\mathbf {A} \mathbf {A} ^{T})^{-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/146cca04d3346de6dcaf7791ade9527068865b8f)
Zřejmě, je-li matice regulární (speciálně má lineárně nezávislé řádky i sloupce), pak
![{\displaystyle \mathbf {A} ^{+}=\mathbf {A} ^{-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72483b1147bd5935ba4c368b82e0b19ca71007db)
Uvažujme lineární aproximační problém
![{\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {X} \approx \mathbf {B} ,\qquad {\text{kde}}\qquad \mathbf {A} \in \mathbb {R} ^{m\times n},\;\mathrm {rank} (\mathbf {A} )=r,\;\mathbf {X} \in \mathbb {R} ^{n\times d},\;\mathbf {B} \in \mathbb {R} ^{m\times d},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/385564a178df0cde248ebcce6c04ce3c330dedb4)
pak
![{\displaystyle \mathbf {X} _{LS}\equiv \mathbf {A} ^{+}\mathbf {B} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d83af93f8c1ab2e7a8a19dce550497c49d53a86b)
je řešení ve smyslu nejmenších čtverců, má-li matice
lineárně závislé sloupce, pak je to navíc řešení minimální v normě. Tedy,
![{\displaystyle \min _{\mathbf {X} }\|\mathbf {B} -\mathbf {A} \mathbf {X} \|_{F}=\|\mathbf {B} -\mathbf {A} \mathbf {X} _{LS}\|_{F},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1db2751ac510f328d639650832b41ffad555a094)
navíc
má minimální normu mezi všemi
, které výraz vlevo minimalizují.
Další zobecněné inverze odvozené od Mooreových–Penroseových podmínek[editovat | editovat zdroj]
Uvažujme Mooreovy–Penroseovy podmínky očíslované tak jak je uvedeno výše. Pro zobecnění pojmu inverzní matice není nezbytně nutné vyžadovat splnění všech čtyř podmínek. Následující zobecněné inverze jsou pojmenované a označené podle toho, které z podmínek splňují:
- (1)-inverze, značíme
,
- (1,2)-inverze, značíme
,
- (1,2,3)-inverze, značíme
,
- (1,2,4)-inverze, značíme
,
- (1,2,3,4)-inverze, značíme
.
Uvažujeme-li shora uvedený singulární rozklad matice
, pak platí
![{\displaystyle \mathbf {A} ^{(1)}=[\mathbf {V} _{r}|\mathbf {V} _{0}]\left[{\begin{array}{c|c}\mathbf {\Sigma } _{r}^{-1}&\mathbf {K} \\\hline \mathbf {L} &\mathbf {M} \end{array}}\right][\mathbf {U} _{r}|\mathbf {U} _{0}]^{T},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/557a8c582174b6cdb89c6d0d287e6b4a204f9542)
pro libovolné matice
,
,
.
(1,2)-inverze je taková (1)-inverze, pro kterou platí
.
![{\displaystyle \mathbf {A} ^{(1,2)}=[\mathbf {V} _{r}|\mathbf {V} _{0}]\left[{\begin{array}{c|c}\mathbf {\Sigma } _{r}^{-1}&\mathbf {K} \\\hline \mathbf {L} &\mathbf {L} \mathbf {\Sigma } \mathbf {K} \end{array}}\right][\mathbf {U} _{r}|\mathbf {U} _{0}]^{T},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dca2a73e379d24fce3ce3200419b80688e68e22)
(1,2,3)-inverze je taková (1,2)-inverze, pro kterou
, tedy
![{\displaystyle \mathbf {A} ^{(1,2,3)}=[\mathbf {V} _{r}|\mathbf {V} _{0}]\left[{\begin{array}{c|c}\mathbf {\Sigma } _{r}^{-1}&0\\\hline \mathbf {L} &0\end{array}}\right][\mathbf {U} _{r}|\mathbf {U} _{0}]^{T}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61467cabf4a3a22ea6059de6b36a3b6606e072a6)
(1,2,4)-inverze je taková (1,2)-inverze, pro kterou
, tedy
![{\displaystyle \mathbf {A} ^{(1,2,3)}=[\mathbf {V} _{r}|\mathbf {V} _{0}]\left[{\begin{array}{c|c}\mathbf {\Sigma } _{r}^{-1}&\mathbf {K} \\\hline 0&0\end{array}}\right][\mathbf {U} _{r}|\mathbf {U} _{0}]^{T}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a98128421353ce871a5b4545845206e8375ff787)
(1,2,3,4)-inverze je výše zmíněná Mooreova–Penroseova pseudoinverze.
V obecném případě je zřejmě (1,2,3,4)-inverze jediná zobecněná inverze z výše uvedených, která je dána jednoznačně.
Drazinova, grupová a spektrální zobecněná inverze[editovat | editovat zdroj]
Je-li navíc matice
čtvercová (singulární), lze zobecnit i další vztahy, které klasická inverze přirozeně splňuje, například
- (1k)
![{\displaystyle \mathbf {A} ^{k}\mathbf {X} \mathbf {A} =\mathbf {A} ^{k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3701dca2d45a5cdcc567dc3d54f97f94a5b986f7)
- (5)
![{\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {X} =\mathbf {X} \mathbf {A} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/894dc7282a7e1b309d307efd5849f1258ef0d167)
- (5k)
![{\displaystyle \mathbf {A} ^{k}\mathbf {X} =\mathbf {X} \mathbf {A} ^{k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/642904bc12ae0783af06e6b1c43159755b780c73)
- (6k)
![{\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {X} ^{k}=\mathbf {X} ^{k}\mathbf {A} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/380905e03a4c7f9f9638668670e6cb8deb2f11d6)
Zobecněná inverzní matice, dle předchozí konvence (1k,2,5)-inverze, je tzv. Drazinova inverze. Podmínky (1k), (2) a (5) jsou ekvivalentní podmínkám
![{\displaystyle \mathbf {A} ^{k+1}\mathbf {X} =\mathbf {A} ^{k},\quad \mathbf {A} \mathbf {X} =\mathbf {X} \mathbf {A} ,\quad \mathbf {A} \mathbf {X} ^{2}=\mathbf {X} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/932170e5fe61ffd78130683b552adc627ec722ff)
Drazinova inverze pro
, tedy (1,2,5)-inverze, se nazývá grupová inverze a značí se
.
Je-li čtvercová singulární matice
diagonalizovatelná, tj.
, kde
je diagonální s vlastními čísly na diagonále. Zobecněnou inverzi můžeme definovat pomocí vztahu
![{\displaystyle \mathbf {X} =\mathbf {P} \mathbf {\Lambda } ^{+}\mathbf {P} ^{-1},\qquad {\text{kde}}\qquad \mathbf {\Lambda } ^{+}=\mathrm {diag} \left({\frac {1}{\lambda _{1}}},\ldots {\frac {1}{\lambda _{r}}},0,\ldots ,0\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5677065c9d02b74ee1dad875108a9f8115a9711d)
Tato inverze zřejmě splňuje podmínky (1), (2), (5), je tedy grupovou inverzí, a nazývá se spektrální inverze.
Je-li navíc matice
normální, tj.
,
pak její spektrální inverze a Mooreova–Penroseova pseudoinverze splývají.
- Adi Ben-Israel, Thomas N. E. Greville, Generalized inverses, Theory and a applications, Springer Verlag, Berlin, 2003 (Second Edition).
- M. Zuhair Nashed (Ed.), Generalized inverses and applications, Academic Press, New York, 1976.