Konstruovatelná množina

Konstruovatelná množina je matematický pojem z oblasti teorie množin. Používá se pro označení „slušně se chovajících“ množin v tom smyslu, že je lze pomocí několika základních množinových operací získat transfinitní rekurzí z prázdné množiny.

Definice

Konstruovatelné množiny jsou definovány pomocí několika pomocných pojmů - pro přehlednost se tento článek neodkazuje na samostatné články pro jednotlivé pojmy, ale zavádí je všechny zde:

Uzavřenost na základní operace

Označme symboly $F_{1},F_{2},\ldots ,F_{7}\,\!$ následující množinové funkce:

• $F_{1}(x)=Dom(x)\,\!$
• $F_{2}(x)=\{[a,b]\in x:a\in b\}\,\!$
• $F_{3}(x)=\{[a,b]:[b,a]\in x\}\,\!$
• $F_{4}(x)=\{[a,b,c]:[a,c,b]\in x\}\,\!$
• $F_{5}(x,y)=\{x,y\}\,\!$
• $F_{6}(x,y)=x-y\,\!$
• $F_{7}(x,y)=x\times y\,\!$

Funkce $F_{1},\ldots ,F_{7}$ se nazývají základní operace či gödelovské operace. Řekneme, že množina $S\,\!$ je uzavřená na základní operace, pokud s každými dvěma množinami obsahuje i jejich obrazy podle výše uvedených sedmi funkcí, tj.
$(\forall x,y\in S)(F_{1}(x),F_{2}(x),F_{3}(x),F_{4}(x),F_{5}(x,y),F_{6}(x,y),F_{7}(x,y)\in S)$

Uzávěr na základní operace

Máme-li množinu $S\,\!$, definujme posloupnost množin $S_{0},S_{1},\ldots ,\,\!$ takto:

• $S_{0}=S\,\!$
• $S_{n+1}=S_{n}\cup \{x:(\exists u,v\in S_{n})(x\in \{F_{1}(u),F_{2}(u),F_{3}(u),F_{4}(u),F_{5}(u,v),F_{6}(u,v),F_{7}(u,v)\})\}\,\!$

Definujme uzávěr množiny S na základní operace jako:
$Df(S)=\bigcup \{S_{n}:n<\omega \}$

Vypadá to sice hrozivě, ale není na tom nic tak strašného - přeříkáno „po lidsku“ je uzávěr množina, která k prvkům původní množiny $S\,\!$ přidá všechny výsledky libovolně nakombinovaných základních operací provedených pro prvky z $S\,\!$.
Není příliš složité si uvědomit, že uzávěr je množina uzavřená na základní operace, a že je to nejmenší taková nadmnožina pro $S\,\!$. Speciálně: pokud je $S\,\!$ uzavřená na základní operace, platí $Df(S)=S\,\!$, to znamená, že množina uzavřená na základní operace je sama sobě uzávěrem.

Na závěr ještě označme $Df^{+}(S)=Df(S\cup \{S\})\cap \mathbb {P} (S)$
Důvodem této (čistě pomocné) definice je, že při vytváření konstruovatelných množin nás nebudou zajímat uzávěry jako takové, ale pouze ty prvky uzávěru, které jsou podmnožinou původní množiny.

Konstruovatelné množiny

Definujme transfinitní rekurzí množinové zobrazení $L\,\!$ pro všechna ordinální čísla $\alpha \,\!$ takto:
$L_{0}=\emptyset \,\!$, tj. prázdná množina

• $L_{\alpha +1}=Df^{+}(L_{\alpha })\,\!$, tj. „modifikovaný“ uzávěr předchozího člena posloupnosti
• $L_{\alpha }=\bigcup \{L_{\beta }:\beta <\alpha \}\,\!$ pro limitní ordinál $\alpha \,\!$

Třída konstruovatelných množin $\mathbb {L}$ je definována jako:
$\mathbb {L} =\bigcup L_{\alpha }$
Její prvky nazýváme konstruovatelné množiny.

Motivace a vlastnosti

Nabízí se otázka, co jsme to vlastně nadefinovali.
Představme si třídu všech ordinálních čísel $On\,\!$ jako nekonečně vysoký sloup nebo kmen nekonečně vysokého stromu - s ohledem na to, že je tato třída dobře uspořádaná, není tato představa úplně od věci.
Třída $\mathbb {L}$ přidává k tomuto kmeni patro po patru nějaké větve a listy a to tak, aby výsledek byl smysluplný (tj. pokud a,b leží uvnitř stromu, tak tam leží i {a,b} nebo a $\cup$ b), ale zároveň co nejmenší - přidám vždy jen to nejnutnější.

Jiným příkladem konstrukce takového stromu, která si zdaleka nedává takový pozor na to, kolik toho přidá (a vytváří tedy mnohem širší a rozsochatější strom), je konstrukce fundovaného jádra, se kterým je $\mathbb {L}$ porovnávána v následujícím odstavci.

Srovnání s fundovaným jádrem

Konstrukce třídy konstruovatelných množin $\mathbb {L}$ nápadně připomíná konstrukci fundovaného jádra $\mathbb {WF}$. Podstatný rozdíl je v tom, že zatímco v případě fundovaného jádra je další vrstva tvořena pomocí potenční množiny předchozí vrstvy, v případě $\mathbb {L}$ si vybírám pouze velice malou část potenční množiny. Snadno se dá ukázat, že
$|L_{\omega +1}|=\omega \,\!$
zatímco pro vrstvu fundovaného jádra je
$|V_{\omega +1}|=2^{\omega }>\omega \,\!$

V této analogii můžeme jít ještě dál:
Axiom fundovanosti v podstatě tvrdí (následující tvrzení je s ním ekvivalentní), že
$\mathbb {WF} =\mathbb {V}$ - každá množina patří do fundovaného jádra.
Obdobně axiom konstruovatelnosti tvrdí, že
$\mathbb {L} =\mathbb {V}$ - každá množina patří do třídy konstruovatelných množin (nebo jinak: každá množina je konstruovatelná).

Z definice $\mathbb {L}$ přímo plyne $\mathbb {L} \subseteq \mathbb {WF}$.

Vnitřní model teorie množin

Axiom konstruovatelnosti je bezesporný s axiomy Zermelo-Fraenkelovy teorie množin a je dokonce nezávislý - i jeho negace $\mathbb {L} \neq \mathbb {V}$ je bezesporná s axiomy ZF.

Důvodem, proč je axiom fundovanosti součástí standardní axiomatiky ZF, zatímco axiom konstruovatelnosti nikoliv, je přílišná „síla“ axiomu konstruovatelnosti, který příliš zjednodušuje strukturu světa teorie množin.
Z axiomu konstruovatelnosti mimo jiné vyplývá axiom výběru (dokonce jeho silná verze) a také zobecněná hypotéza kontinua.

Třída konstruovatelných množin tvoří vnitřní model teorie množin - platí na ní všechny axiomy teorie množin (přesněji podoba těchto axiomů relativizovaná do $\mathbb {L}$. Je to tedy vhodný nástroj pro testování nezávislosti a bezespornosti různých hypotéz - pokud totiž nějaká hypotéza platí v modelu $\mathbb {L}$, pak je bezesporná s axiomy ZF.

Související články

• Axiom konstruovatelnosti
• Axiom výběru
• Fundované jádro
• Zermelo-Fraenkelova teorie množin