Forsing

Forsing (používá se též anglický termín forcing) je v matematice obecná důkazová technika, která je základní metodou pro dokazování relativních konzistencí v teorii množin. Poprvé ji použil roku 1962 americký matematik Paul Cohen. O rok později užitím forsingu dokázal bezespornost negace hypotézy kontinua s axiomy Zermelo-Fraenkelovy teorie množin. Ještě v 60. letech 20. století byla rozpracována Dana Scottem, Robertem Solovayem a Petrem Vopěnkou do teorie booleovsky ohodnocených modelů. Forsing je v současné době v podstatě univerzální metodou pro dokazování relativních konzistencí v teorii množin.

Princip forsingu

Tento odstavec obsahuje velmi zjednodušené podání základní myšlenky forsingu, které má pouze motivační smysl a je matematicky zcela nepřesné. Přesný popis metody forsingu je v následujících odstavcích.

Metoda forsingu spočívá v rozšiřování modelů teorie množin do modelů nových přidáním prvků, které zajistí platnost požadovaného tvrzení v takto rozšířeném modelu.

V obecné výchozí situaci je tedy dán nějaký model $M$ teorie množin, o kterém díky Löwenheim-Skolemově větě můžeme předpokládat, že je spočetný (to je čistě technický požadavek, který je možno obejít). Předpokládejme, že je dán nějaký model teorie množin $N$ rozšiřující $M$, tj. $M\subseteq N$. V této situaci mohou existovat prvky modelu $N$, které nejsou prvky $M$, ale jsou podmnožinami $M$, tj. taková $x$, že $x\in N\setminus M$ a $x\subseteq M$ (taková x jsou pak „polomnožinami“ v $M$). Cílem forsingu je sestrojit nějaký model $M[G]$ ležící mezi $M$ a $N$, tj. takový, který obsahuje všechny prvky $M$ a navíc i některé podmnožiny $M$, které v $M$ neleží, ale leží v $N$.

Myšlenku konstrukce modelu $M[G]$ lze velmi zjednodušeně vyjádřit následovně. Ty podmnožiny $M$, které v novém modelu $M[G]$ mají být, lze ohodnotit číslem $1$ a zbylé množiny číslem $0$. Protože však předem nevíme, které množiny musí v $M[G]$ být, aby byl modelem teorie množin, nestačí ohodnocovat pouze pomocí nul a jedniček, ale je nutné použít strukturu nějaké Booleovy algebry $B\in M$. Každé podmnožině $M$ pak je přiřazena nějaká booleovská hodnota $b\in B$, která určuje „míru“ jejího náležení do $M[G]$. Ty množiny, které do $M[G]$ nakonec budou skutečně zařazeny, lze určit pomocí nějakého filtru $G\in N$ na $B$. Přesněji $x\in M[G]$ právě tehdy když je booleovská hodnota $x$ v $G$.

Pozadí

Zermelova–Fraenkelova axiomatizace teorie množin (značená ZF) byla vytvořena jako pokus reprezentovat matematickou pravdu (to, co opravdu „platí“) ve všech disciplínách matematiky. Ukázalo se, že bez AC (axiom výběru) v ní nelze dokázat některé důležité věty i evidentně pravdivá tvrzení. Zároveň však AC vedl k řadě paradoxů a potíží: nekonstruktivní důkazy, Banachův–Tarského paradox atd.

Matematiky proto počátkem 20. století rozdělovala otázka, zda AC přijmout, tj. pokládat za pravdu vše, co z něho plyne. Zkoumali, zda z axiomů ZF je AC dokazatelný (tj. „ZF + negace AC“ je sporná) nebo je dokazatelná jeho negace, tj. je sporná teorie „ZF+AC“, zvaná též „ZFC“. Ve 30. letech Kurt Gödel dokázal pomocí konstruovatelných množin, že ZFC je relativně bezesporná vůči ZF – tj. je bezesporná, pokud je bezesporná ZF (což je nemožné ověřit vzhledem k druhé Gödelově větě o neúplnosti).

Otázka, zda ZF s negací AC je bezesporná (relativně vůči ZF), odolávala úsilí matematiků mnohem déle, protože chyběly prostředky, jak tvořit nové modely. Tuto potřebu forsing naplnil mj. tím, že

• Prokázal relativní bezespornost teorie „ZF + non AC“ a teorie „ZFC + non GC“.
• Flexibilita forsingu dává značnou míru kontroly nad vlastností kontinua a dalších kardinálů. Je možné (je-li ZF bezesporná) forsingem vytvořit model, ve kterém prvním kardinálem, na němž GCH (zobecněná hypotéza kontinua) neplatí, je $\aleph _{0}$ (Alef 0), tedy neplatí ani samotná hypotéza kontinua. Lze vytvořit model, kde je jím $\aleph _{1}$, $\aleph _{2}$ atd.; model, kde je jím $\aleph _{\omega }$, $\aleph _{\omega +1}$ atd. (Teorie je bezesporná, právě když má nějaký model - Gödelova věta o úplnosti predikátové logiky.)
• Lze vytvořit modely, kde je AC porušen konkrétním způsobem, tj. v nichž neplatí některé konkrétní důsledky AC, jako např. Banachův–Tarského paradox nebo existence lebesgueovsky neměřitelné množiny atd.

Konstrukce generických rozšíření

Pro sestrojení rozšíření $M[G]$ k danému modelu $M$ se používá technika booleovských jmen.

Odkazy

Související články

• Paul Cohen
• Hypotéza kontinua
• Model (logika)

Externí odkazy

• Timothy Y. Chow: A beginner’s guide to forcing (PDF, PostScript; anglicky), oai:arXiv.org:0712.1320

Původní Cohenovy články obsahující důkaz nezávislosti hypotézy kontinua v ZFC:

• Paul J. Cohen: The Independence of the Continuum Hypothesis, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, Vol. 50, No. 6. (Dec. 15, 1963), pp. 1143–1148.
• Paul J. Cohen: The Independence of the Continuum Hypothesis, II, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, Vol. 51, No. 1. (Jan. 15, 1964), pp. 105-110.

Literatura

• BALCAR, Bohuslav; ŠTĚPÁNEK, Petr. Teorie množin. 2. opr. a rozš. vyd. [s.l.]: Academia, 2001. ISBN 80-200-0470-X. 
• KUNEN, Kenneth. Set theory: An Introduction to Independence Proofs. [s.l.]: North-Holland, 1980. Dostupné online. ISBN 0-444-85401-0.