Limitní ordinál

Limitní ordinál je ordinální číslo, které nemá předchůdce a není prázdné.

Definice

Ordinální číslo $\alpha \,\!$ je limitní, pokud
$\alpha \neq 0\land (\forall \beta \in On)(\beta \cup \{\beta \}\neq \alpha )$
On zde označuje třídu všech ordinálních čísel.

Příklady

Množina $\omega \,\!$ všech přirozených čísel je limitní - každý menší ordinál je konečný a nemůže být předchůdcem $\omega \,\!$ ve smyslu výše uvedené definice.

Podobně množina $\omega +\omega =\{0,1,2,\ldots ,\omega ,\omega +1,\omega +2,\ldots \}\,\!$ je limitní.

Naproti tomu ordinály $0,1,7,13,\omega +1,\omega .\omega +\omega +15\,\!$ nejsou limitní. 0 není limitní z definice a ostatní mají předchůdce $0,6,12,\omega ,\omega .\omega +\omega +14\,\!$ . Takovým ordinálům říkáme izolované.

Použití

Rozdělení ordinálních čísel na limitní a izolovaná se často používá v důkazech transfinitní indukcí a v konstrukcích transfinitní rekurzí, kde je prováděn zvláštní krok (z předchůdce na následníka) pro izolovaný ordinál a zvláštní krok (z množiny všech menších ordinálů na jejich supremum) pro limitní ordinál.

Limitní ordinály mají některé zajímavé vlastnosti, které nemají izolované ordinály:

Množina všech vlastních podmnožin limitního ordinálu nemá největší prvek, ale má supremum - je to tedy tak trochu obdoba shora otevřeného intervalu v reálných číslech.
Pouze limitní ordinál může být kardinálním číslem.

Související články