Iniciální a terminální objekt

Iniciální objekt kategorie $C$ je v matematickém oboru teorie kategorií objekt $I$ v $C$ takový, že pro každý objekt $X$ v $C$ , existuje právě jeden morfismus $I \to X$ .

Duálním pojmem je terminální objekt (také nazývaný terminální prvek): $T$ je terminální, pokud pro každý objekt $X$ v $C$ existuje právě jeden morfismus $X \to T$ . Iniciální objekty se také nazývají koterminál nebo univerzální, a terminální objekty se také nazývají finální.

Objekt, který je jak iniciální tak terminální, se nazývá nulový objekt.

Striktně iniciální objekt $I$ je takový objekt, pro který každý morfismus do $I$ je izomorfismem.

Příklady

Prázdná množina je jediným iniciálním objektem v kategorii množin Set. Každá jednoprvková množina (singleton) je v této kategorii terminálním objektem; v kategorii Set neexistují žádné nulové objekty. Podobně je prázdný prostor jediným iniciálním objektem v kategorii topologických prostorů Top a každý jednobodový prostor je terminálním objektem v této kategorii.
V kategorii množin a relací Rel je prázdná množina jediným iniciálním objektem a jediným terminálním objektem, a je tedy jediným nulovým objektem.
V kategorii grup Grp je libovolná triviální grupa nulovým objektem. Triviální objekt je nulovým objektem také v kategorii Abelových grup Ab, v kategorii pseudookruhů Rng, v kategorii modulů nad okruhem R-Mod a v kategorii vektorových prostorů nad tělesem K-Vect. Detaily viz Nulový objekt (algebra). Odtud pochází termín „nulový objekt“.
V kategorii okruhů Ring s jednotkou a s jednotkou zachovávajícími morfismy je okruh celých čísel Z iniciálním objektem. Nulový okruh sestávající pouze z jediného prvku $0 = 1$ je terminálním objektem.
V kategorii polookruhů Rig, s jednotkou a s jednotkou zachovávajícími morfismy je iniciálním objektem polookruh přirozených čísel N. Nulový polookruh, který je nulovým okruhem sestávajícím pouze z jediného prvku $0 = 1$ , je terminálním objektem.
V kategorii polí (komutativních těles) Field neexistují žádné iniciální nebo terminální objekty. V podkategorii polí pevné charakteristiky je však prvotěleso iniciálním objektem.
Libovolnou uspořádanou množinu $(P, \leq)$ lze interpretovat jako kategorii: jejími objekty jsou prvky množiny $P$ , a existuje jediný morfismus $x$ do $y$ právě tehdy, když $x \leq y$ . Tato kategorie má iniciální objekt právě tehdy, když $P$ má nejmenší prvek; a terminální objekt právě tehdy, když $P$ má největší prvek.
Kategorie malých kategorií Cat s funktory jako morfismy má prázdnou kategorii, 0 (bez objektů a bez morfismů), jako iniciální objekt a terminální kategorie, 1 (s jediným objektem s jediný identickým morfismem), jako terminální objekt.
V kategorii schémat Spec(Z) je prvočíselné spektrum okruhu celých čísel terminálním objektem. Prázdné schéma (rovné prvočíselnému spektru nulového okruhu) je iniciálním objektem.
Limita diagramu F může být charakterizována jako terminální objekt v kategorii kuželů do F. Obdobně kolimita diagramu F může být charakterizována jako iniciální objekt v kategorii ko-kuželů z F.
V kategorii Ch_R řetězových komplexů nad komutativním okruhem R, nulový komplex je nulovým objektem.
V krátké exaktní posloupnost tvaru 0 → a → b → c → 0 je iniciálním a terminálním objektem anonymní nulový objekt. Toho se často používá v teorii kohomologií.

Vlastnosti

Existence a jednoznačnost

Iniciální a terminální objekty nemusí v určité kategorii vůbec existovat. Pokud však existují, jsou v podstatě jedinečné. Speciálně pokud $I 1$ a $I 2$ jsou dva různé iniciální objekty, pak mezi nimi existuje jediný izomorfismus. Pokud navíc $I$ je iniciálním objektem, pak libovolný objekt izomorfní s $I$ je také iniciální objekt. Totéž platí pro terminální objekty.

Pro úplné kategorie existuje věta o existenci iniciálních objektů. Speciálně (lokálně malá) úplná kategorie $C$ má iniciální objekt právě tehdy, když existuje množina $I$ (nikoli vlastní třída) a $I$ -indexovaná rodina $(K i)$ objektů kategorie $C$ taková, že pro libovolný objekt $X$ kategorie $C$ , existuje alespoň jeden morfismus $K i \to X$ pro nějaké $i \in I$ .

Ekvivalentní formulace

Terminální objekty v kategorii $C$ je možné definovat také jako limity jedinečného prázdného diagramu $0 \to C$ . Protože prázdná kategorie je prázdná diskrétní kategorie, terminální objekt si lze představit jako prázdný součin (součin je skutečně limitou diskrétního diagramu $\{X_{i}\}$ , obecně). A naopak, iniciální objekt je kolimitou prázdného diagramu $0 \to C$ a lze si jej představit jako prázdný koprodukt nebo kategoriální součet.

Z toho plyne, že libovolný funktor, který zachovává limity, bude zobrazovat terminální objekty na terminální objekty, a libovolný funktor, který zachovává kolimity, bude zobrazovat iniciální objekty na iniciální objekty. Například iniciálním objektem v libovolné konkrétní kategorii s volnými objekty bude volný objekt generovaný prázdnou množinou (volný funktor zachovává kolimity, protože je zleva adjungovaný k zapomínajícímu funktoru do kategorie Set).

Iniciální a terminální objekty lze charakterizovat také z hlediska univerzální vlastnosti a adjungovaného funktoru. Nechť 1 je diskrétní kategorie s jediným objektem (označovaným symbolem •), a nechť $U : C \to 1$ je jedinečný (konstantní) funktor na 1. Pak

Iniciální objekt $I$ v $C$ je univerzální morfismus z • do $U$ . Funktor, který zobrazuje • do $I$ , je zleva adjungovaný na U.
Terminální objekt $T$ v $C$ je univerzální morfismus $U$ do •. Funktor, který zobrazuje • do $T$ , je zprava adjungovaný na $U$ .

Vztah k jiným kategoriálním konstrukcím

Mnoho přirozených konstrukcí v teorie kategorií lze formulovat z hlediska hledání iniciálního nebo terminálního objekt ve vhodné kategorii.

Univerzální morfismus objektu $X$ do funktoru $U$ lze definovat jako iniciální objekt v čárkové kategorii $(X ↓ U)$ . A naopak, univerzální morfismus $U$ do $X$ je terminálním objektem v $(U ↓ X)$ .
Limita diagramu $F$ je terminálním objektem v $Cone(F)$ kategorie kuželů do $F$ . A naopak, kolimita diagramu $F$ je iniciálním objektem v kategorii kuželů z $F$ .
Reprezentace funktoru $F$ do Set je iniciálním objektem v kategorii prvků funktoru $F$ .
Pojem terminálního funktoru (resp. iniciálního funktoru) je zobecněním pojmu terminálního objektu (resp. iniciálního objektu).

Další vlastnosti

Monoidový endomorfismus iniciálního nebo terminálního objektu $I$ je triviální: $End(I)=Hom(O,I)=\{id_{I}\}$ .
Má-li kategorie $C$ nulový objekt $0$ , pak pro libovolnou dvojici objektů $X$ a $Y$ z $C$ je jedinečná kompozice $X \to 0 \to Y$ nulovým morfismem z $X$ do $Y$ .

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Initial and terminal objects na anglické Wikipedii.

ADÁMEK, Jiří; HERRLICH, Horst; STRECKER, George E., 1990. Abstract and Concrete Categories. The joy of cats. [s.l.]: John Wiley & Sons. Dostupné v archivu pořízeném dne 2015-04-21. ISBN 0-471-60922-6.
, 2004. Categorical foundations. Special topics in order, topology, algebra, and sheaf theory. Cambridge: Cambridge University Press. (Encyclopedia of Mathematics and Its Applications). ISBN 0-521-83414-7.
MAC LANE, Saunders, 1998. Categories for the Working Mathematician.. 2. vyd. [s.l.]: Springer-Verlag. (Graduate Texts in Mathematics). ISBN 0-387-98403-8.
Tento článek vychází z článku s příklady iniciálních a terminálních objektů na PlanetMath.