Wikipedista:Zagothal/TEMP

259 066

---

Johann Carl Friedrich Gauss
Portrét Johanna Carla Friedricha Gausse
Citát
„Matematika je královnou vědy a teorie čísel je královnou matematiky.“

Carl Friedrich Gauss celým jménem Johann Carl Friedrich Gauss (německy Gauß [kaʁl ˈfʁiːdʁɪç ˈɡaʊs]IPA, latinsky Carolus Fridericus Gavss; 30. dubna 1777, Braunschweig – 23. února 1855, Göttingen) byl německý matematik a fyzik. Zabýval se mimo jiné geometrií, matematickou analýzou, teorií čísel, astronomií, elektrostatikou, geodézií a optikou. Silně ovlivnil většinu z těchto oborů vědění.

Byl ředitelem hvězdárny v Göttingenu a profesorem astronomie na tamní univerzitě od roku 1807 až do své smrti v roce 1855. Gauss byl nápomocen při popisu Ceres a její identifikace jako planetky. Jeho práce o pohybu planetek vedla k zavedení metody nejmenších čtverců, kterou objevil ještě předtím, než ji publikoval Adrien-Marie Legendre. Gauss byl jedním z prvních, kdo studovali neeuklidovskou geometrii, a také vymyslel tento termín.

Kromě čisté matematiky se jeho aktivity rozšířily i do aplikovaných oborů, byl například pověřen vyměřováním Hannoverského království, přičemž vynalezl heliotrop; jako jeden z prvních vynalezl elektromagnetickou telegrafii; výrazně vylepšil magnetometr. inicioval celosvětovou síť stanic pro studium zemského magnetismu.

Mezi jeho stěžejní díla patří spis Disquisitiones Arithmeticae, který napsal ve věku 21 let (1798; publikován však byl ale v roce 1801). Tato práce patří ke základům teorie čísel jakožto matematické disciplíny. Někteří z jeho studentů se stali vlivnými matematiky, jako Richard Dedekind a Bernhard Riemann.

Gaussovu vědeckou činnost lze kromě čisté matematiky zhruba rozdělit do tří období: v prvních dvou desetiletích 19. století byla hlavní pozornost věnována astronomii, ve třetím desetiletí geodézii a ve čtvrtém desetiletí fyzice, zejména magnetismu.

Život

Mladá léta

Gaussův rodný dům na Wilhelmstraße 30; zničen během 2. sv. války

Gauss se narodil 30. dubna 1777 v Braunschweigu (česky Brunšvik), který v té době náležel k vévodství brunšvicko-lüneburskému (nyní součást Dolního Saska v Německu), jako jediný syn chudých rodičů. Otec Carl Friedricha, Gebhard Dietrich Gauss, pracoval v různých profesích, včetně zahradníka, řezníka, zedníka, obchodního asistenta a pokladníka malé pojišťovny. Gebhardova druhá manželka Dorothea, matka Carla Friedricha, byla téměř negramotná. Měl jednoho staršího bratra z otcova prvního manželství.

Dětství a nižší studia

Koluje mnoho historek o jeho brzké genialitě. Podle jedné z nich se jeho nadání projevilo už ve věku tří let, kdy opravil chybu svého otce při počtech. Jiným známým příběhem je epizoda s učitelem na základní škole, který svým žákům zadal, aby se pokusili spočítat součet všech čísel od 1 do 100. Mladý Gauss odpověděl během chvilky. Gauss si uvědomil, že sečtením opačných prvků z řady čísel dostane vždy stejný výsledek: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101, atd., což dohromady dává 50 × 101 = 5050 (viz Aritmetická posloupnost). J. Rotman ve své knize A First Course in Abstract Algebra (Základy abstraktní algebry) pochybuje, zda se to vůbec stalo.

I tak však byl velmi nadané dítě. Když bylo Gaussovi 14 let měl audienci u Karla II., vévodu brunšvického, který mu zařídil studium na místním Collegiu Carolinum, které navštěvoval v letech 1792 až 1795. Zde jedním z jeho učitelů byl Eberhard August Wilhelm von Zimmermann. Poté mu vévoda poskytl prostředky pro studium matematiky, přírodních věd a klasických jazyků na univerzitě v Göttingenu.^{[chybí lepší zdroj]} Mezi jeho profesory byli například Abraham Gotthelf Kästner, Georg Christoph Lichtenberg a Christian Gottlob Heyne. Farkas Bolyai byl jeden z jeho spolužáků.

První významné objevy

„Heureka! číslo= $\Delta +\Delta +\Delta$.“

Roku 1796 udělal Gausse několik významných objevů. 30. března se mu podařilo ukázat, že pravidelný sedmnáctiúhelník lze sestrojit jen pomocí kružítka a pravítka, neboli že je eukleidovsky konstruovatelný. Konstrukční úlohy byly v zájmu matematiky už od dob antického Řecka. Tento objev vedl Gausse k tomu studovat raději matematiku místo filologie. Stal se prvním, kdo dokázal platnost kvadratické reciprocity, to bylo 8. dubna. 31. května odhadl prvočíselnou větu, která říká, jak jsou prvočísla rozložena mezi přirozenými čísly.^{[chybí lepší zdroj]} Gauss také objevil, že každé kladné celé číslo lze vyjádřit jako součet nejvíce tří trojúhelníkových čísel. 10. července si tedy poznačil do deníku známá slova „Heureka! číslo= $\Delta +\Delta +\Delta$.“ Gaussův matematický deník, sbírka krátkých poznámek o jeho výsledcích z let 1796 až 1814, ukazuje, že mnoho nápadů pro jeho matematický opus magnum Disquisitiones Arithmeticae (1801) pochází z této doby.

Gauss v roce 1799 promoval jako doktor filozofie na univerzitě v Helmstedtu. Toto bylo na zvláštní přání vévody brušvického, který chtěl, aby Gauss promoval na univerzitě ve vévodství. V disertační práci „Nový důkaz toho, že každá racionální funkce s jednou proměnou jde rozložit na reálné faktory prvního nebo druhého stupně“ podal Gauss důkaz základní věty algebry. Tato důležitá věta říká, že každý polynom nad komplexními čísly musí mít alespoň jeden kořen. Jiní matematici se také pokoušeli o důkaz, např. Jean le Rond d'Alembert. Gaussova disertační práce kritizovala d'Alembertův důkaz, ale jeho vlastní důkaz měl podstatné mezery. Gauss během svého života přišel ještě s třemi dalšími důkazy základní věty algebry pravděpodobně díky odmítnutí jeho disertační práce. Jeho důkazy značně zlepšily chápání komplexních čísel.^[zdroj?]

Vrcholná léta

Disquisitiones Arithmeticae

Titulní strana Disquisitiones Arithmeticae

Gaussovo stěžejní dílo, Disquisitiones Arithmeticae, vyšlo v roce 1801, když mu bylo 24 let. Psát jej začal v roce 1798. Během studia prací předchozích matematiků při přípravě tohoto díla, jako byli Fermat, Euler, Lagrange a Legendre, si uvědomil, že tito učenci objevili mnoho z toho, co objevil on sám.

V tomto díle Gauss zavedl symbol (≡) pro kongruenci a použil jej pro přehledný a formálnější zápis modulární aritmetiky. Zabývá se zde základní větou aritmetiky. Asi polovina knihy se zabývá teorií kvardatických forem. Dalšími diskutovanými tématy jsou například prvočísla a dělení kružnice. Uveřejnil zde řešení některých kubických rovnic nad konečým tělesem.

Dokázal zde jako postačující podmínku kontrolovatelnosti pro libovolný mnohoúhelník, že tento má počet stran rovný součinu různých Fermatovových prvočísel a mocniny čísla 2. Gauss se domníval, že i tato podmínka je nutná; tuto domněnku dokázal Pierre Wantzel v roce 1837.

Objev trpasličí planety Ceres, související objevy

1.ledna 1801 italský astronom Giuseppe Piazzi objevil trpasličí planetu Ceres, ale byl schopen ji sledovat jen do 11. února, pokdy sledoval jen 3° dráhy. O několik měsíců později Piazzi ani další pozorovatelé nebyli Ceres schopen nalézt.

Gauss, kterému v té době bylo 23 let, se o tomto problému dozvěděl a pokusil jej vyřešit. Jeho postup, který v mnohém zjednodušil metody výpočtu drah těles v 18. století, publikoval později (roku 1809) jako Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientum (Teorie pohybu nebeských těles v kuželosečích obklopujících Slunce). Přišel zde s Gaussovou gravitační konstantou a normálnímu rozdělení chyb. Obsahoval taky metodu nejmenších čtverců pro zmenšení vlivu chyby měření. Takto se používá dodnes. Metoda nejmenších čtverců byla popsáno už dřív (roku 1805) matematikem Adrien-Marie Legendrem, ale Gauss tvrdil, že ho využíval už od roku 1795.

Na základě Piazziho dat Gauss chybou méně než stupeň stupně předpověděl pozici, na které se bude znovu nacházet a byla tak 7. a 31. prosince 1801 znovu objevena von Zachem^{[chybí lepší zdroj]} a následně Olbersem a 23. února samotným Piazzim.^{[chybí lepší zdroj]} Von Zach poznamenal, že „nebýt inteligentní práce a výpočtů doktora Gausse, nebyli by nikdy schopni najít znovu Ceres.“^[zdroj?]

Ředitel hvězdárny

Stará hvězdárna v Göttingenu, cca 1800

Ačkoliv byl Gauss do té doby zajišťován financemi vévody jakou soukromý učenec.^{[chybí lepší zdroj]} V roce 1806 brunšvický vévoda umírá, a Gauss přijmul místo řádného profesora astronomie a ředitelem hvězdárny v Göttingenu, tehdy instituci nově založeného Vestfálského království pod vedením Jérôma Bonaparta. Na tomto místě působil po zbytek svého života. (až do své smrti v roce 1855).

Gauss se ujal vedení 60 let staré observatoře, založené v roce 1748 kurfiřtem a králem Jiřím II. a postavené v přestavěné pevnostní věži.^{[chybí lepší zdroj]} Stavba nové observatoře byla schválena kurfiřtem a králem Jiřím III. od roku 1802. Stavba ale pokračovala až do roku 1816, a tak Gauss se mohl přestěhovat do svého nového působiště až poté. Dostal zde nové moderní přístroje, včetně Fraunhofera heliometru a dvou poledníkových kruhů od Repsolda a Reichenbacha.

Brzy byl konfrontován s požadavkem na dva tisíce franků od vestfálské vlády jako válečný příspěvek, který si nemohl dovolit zaplatit. Olbers i Laplace mu chtěli pomoci s platbou, ale Gauss jejich pomoc odmítl. Nakonec částku zaplatila anonymní osoba z Frankfurtu, o které se později zjistilo, že je princ-primas Dalberg.

Akademická kariéra

Gauss si stěžoval na břemeno vyučování a cítil, že je to ztráta času. Avšak od začátku své akademické kariéry v Göttingenu nepřetržitě přednášel až do roku 1854. Většina jeho přednášek se týkala astronomie, geodézie a aplikované matematiky. Několik jeho studentů se stalo vlivnými matematiky, včetně Richarda Dedekinda a Bernharda Riemanna, stejně jako historik matematiky Moritz Cantor.

Gauss nenapsal žádnou učebnici.^[zdroj?] Jeho jedinými pokusy o popularizaci byly jeho práce k datu Velikonoc (1800/1802) a esej Erdmagnetismus und Magnetometer z roku 1836.^[zdroj?] Gauss publikoval své články a knihy výhradně v latině nebo němčině. Psal latinsky v klasickém stylu, ale používal některé obvyklé modifikace stanovené tehdejšími matematiky.

Ve své inaugurační přednášce na univerzitě v Göttingenu v roce 1808 Gauss vyzdvihl význam spolehlivých pozorování a výsledků dosažené přesnými výpočty pro astronomii. Když byla observatoř dokončena, Gauss se ubytoval v západním křídle nové observatoře a jeho kolega Harding ve východním. Kdysi spolu vycházeli přátelsky, ale postupem času se odcizili, možná – jak předpokládají někteří životopisci – protože Gauss si přál, aby rovnocenný Harding nebyl ničím víc než jeho asistentem nebo pozorovatelem.^[zdroj?]

Když byl Gauss v roce 1810 požádán o pomoc svým kolegou a přítelem Friedrichem Wilhelmem Besselem, který měl potíže na univerzitě v Königsbergu, protože mu chyběl akademický titul, Gauss v březnu 1811 poskytl Besselovi doktorát honoris causa na filozofické fakultě v Göttingenu.^{[chybí lepší zdroj]} Gauss dal další doporučení na čestný doktorát pro Sophii Germainovou, ale jen krátce před její smrtí, takže jej nikdy neobdržela.^[zdroj?] Úspěšně také podporoval matematika Gottholda Eisensteina v Berlíně.^[zdroj?]

Gauss se podílel na akademické administrativě: třikrát byl zvolen děkanem Filozofické fakulty. Na devět let byl jmenován ředitelem Královské akademie věd v Göttingenu.

Geodetický průzkum a související objevy

Disquisitiones Arithmeticae str. 133

V roce 1818 Gauss předvedl své početní schopnosti prakticky, když uskutečnil geodetický průzkum státu Hannover a navázal tak na předešlé dánské průzkumy.^[zdroj?] Aby si pomohl v průzkumu, vynalezl Gauss Heliotrop, nástroj který odráží sluneční paprsky na velkou vzdálenost a pomáhá tak určit pozici.^[zdroj?]

Průzkum Hannoveru později vedl k objevení gaussovského rozdělení,^[zdroj?] známého jako normální rozdělení, které popisuje chyby měření.^[zdroj?] Navíc nasměrovalo to Gaussův zájem k diferenciální geometrii,^[zdroj?] oboru, který se zabývá křivkami a plochami. V tomto oboru přišel v roce 1827 s důležitou větou; theorema egregium (významná věta) zavádějící důležitou vlastnost popisující křivost plochy. Zjednodušeně řečeno věta říká, že zakřivení plochy se nezmění při izometrických operacích.

Pozdější léta

Elektromagntsimus

V roce 1831 Gauss navázal plodnou spolupráci s profesorem fyziky Wilhelmem Weberem; která vedla k novým poznatkům o magnetismu a nezávislé objevení Kirchhoffových zákonů.^[zdroj?] Gauss s Weberem zkonstruovali v roce 1833 první elektromagnetický telegraf, který spojoval hvězdárnu a institut fyziky v Göttingenu (1,2 km).^[zdroj?] Gauss nechal v zahradě hvězdárny vybudovat magnetickou observatoř.^[zdroj?]. Poté (inspirováni Alexandrem von Humboldtem) s Weberem založili Magnetischer Verein („magnetický spolek“), který organizoval měření zemského magnetismu v různých částech světa v letech 1836 až 1841. Vytvořil metodu měření absolutní intenzity magnetického pole. Tím vylepšili magnetometr a dosáhli asi desetkrát vyšší přesnosti než u předchozích typu. S touto prací Gauss jako první odvodil nemechanickou veličinu ze základních mechanických veličin (hmotnost, délka, čas). Na tohoto bylo možné dojít s matematickou teorií, která oddělila vnitřní (jádro a kůra) a vnější (magnetosféra) zdroje magnetického pole Země.^[zdroj?]

Teorie chyb a metoda nejmenších čtverců

Gauss dokázal, že metoda má nejnižší výběrový rozptyl v rámci třídy lineárních nestranných odhadů za předpokladu normálně rozložených chyb (Gaussova–Markovova věta), ve dvoudílném článku Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae (1823).^[zdroj?]

V prvním článku dokázal Gaussovu nerovnost (nerovnost Čebyševova typu) pro unimodální rozdělení^[zdroj?] a bez důkazu uvedl další nerovnost pro momenty čtvrtého řádu (speciální případ Gauss-Wincklerovy nerovnosti).^[zdroj?]  Odvodil dolní a horní odhad rozptylu výběrového rozptylu.^[zdroj?] Ve druhém článku Gauss popsal rekurzivní metody nejmenších čtverců.^[zdroj?] Jeho práce na teorii chyb byla v několika směrech rozšířena geodetem Friedrichem Robertem Helmertem na Gaussův-Helmertův model.^[zdroj?]

Podle zákona velkých čísel lze nejpravděpodobnější výsledek nového měření určit z dostatečně velkého počtu předchozích měření.^[zdroj?] Na tomto základě později zkoumal postup výpočtu ploch pod křivkami (numerická integrace), což ho přivedlo ke Gaussově zvonové křivce.^[zdroj?] Odpovídající funkce je známá jako hustota normálního rozdělení^[zdroj?] a používá se v mnoha pravděpodobnostních problémech, kde se jedná o distribuční funkci (asymptotickou, tj. platnou pro dostatečně velké množství dat) součtu dat náhodně rozptýlených kolem průměru.^[zdroj?] Toho Gauss sám využil mimo jiné při úspěšné správě fondu vdov a sirotků univerzity v Göttingenu.^[zdroj?] Provedl důkladnou analýzu v průběhu několika let, ve které dospěl k závěru, že důchody by mohly být mírně zvýšeny.^[zdroj?] Tím Gauss také položil základy pojistné matematiky.^[zdroj?]

Neeuklidovská geometrie a János Bolyai

Související informace naleznete také na stránkách Neeuklidovská geometrie a János Bolyai.

Gauss také tvrdil, že objevil možnost neeuklidovské geometrie, ale nikdy ji nepublikoval. Tento objev byl velkým posunem v paradigmatu matematiky, protože osvobodil matematiky od mylného přesvědčení, že Euklidovy postuláty jsou jedinou cestou ke konzistentní a neprotichůdné geometrii. Práce na těchto geometriích vedla mimo jiné i k Einsteinově obecné teorii relativity, která popisuje vesmír jako neeuklidovský. Gaussův přítel, Farkas Wolfgang Bolyai, se kterým si přísahali „přátelství a věrnost“, se jako student mnoho let marně pokoušel vyvrátit 5. Euklidův postulát. Až Bolyaiův syn, János Bolyai, objevil neeuklidovskou geometrii roku 1829 a tuto práci publikoval roku 1832. Poté, co ji Gauss viděl, napsal Farkasi Bolyaiovi:

„Chválit ji, znamenalo by chválit sebe. Celý obsah práce … odpovídá téměř přesně tomu, co mám ve své mysli už 30 nebo 35 let.“

Toto nepodložené tvrzení pošramotilo vztah s Jánosem Bolyaiem, který si myslel, že mu chce Gauss ukrást jeho myšlenku. Gaussovy dopisy z let před rokem 1829 odhalují, že Gauss přemítal o problému rovnoběžek (5. Euklidův postulát). Waldo Dunnington, v knize „Gauss, Titan of Science (Gauss, titán vědy)“, úspěšně dokládá, že Gauss věděl o existenci neeuklidovské geometrie dávno před tím, než ji publikoval János, ale odmítal svou domněnku publikovat, protože se bál polemiky.

Stáří a smrt

Hrob Carla Friedricha Gausse na hřbitově Albanifriedhof v Göttingen

Gauss zůstal duševně aktivní až do vysokého věku. Trpěl srdeční chorobou. Dne 23. února 1855 zemřel v Göttingenu na infarkt. Byl pohřben na tamním hřbitově Albanifriedhof. Žulová hrobka v novogotickém slohu byla postavena až v lednu 1859 a byla vytvořena podle návrhu hannoverského architekta Heinricha Köhlera z roku 1856 hannoverským sochařem Carlem Dopmeyerem;^[zdroj?] bronzový medailon vytvořil sochař Heinrich Hesemann.^[zdroj?] Hrob byl brzy a stále je považován za göttingenskou atrakci, a to i poté, co byl v roce 1899 na městských hradbách slavnostně odhalen pomník Gausse a Webera od sochaře Ferdinanda Hartzera.^[zdroj?]

Jeho mozek uchoval a studoval Rudolf Wagner. Ten zjistil, že jeho mozek vážil 1 492 gramů a plocha činila 219 588 milimetrů čtverečních. Zpozoroval i velmi vyvinuté mozkové závity, o kterých se ve 20. století soudilo, že byly příčinou jeho geniality. V roce 2013 neurobiolog z Institutu Maxe Plancka pro biofyzikální chemii v Göttingenu zjistil, že Gaussův mozek byl brzy po prvních výzkumech zaměněn kvůli chybnému označení s mozkem lékaře Conrada Heinricha Fuchse, který zemřel v Göttingenu několik měsíců po Gaussovi. Takže všechny výzkumy Gaussova mozku až do roku 1998, s výjimkou prvních výzkumů Rudolfa a Hermanna Wagnerových, se ve skutečnosti vztahují k Fuchsovu mozku.

Gauss byl úspěšným investorem a nashromáždil značné bohatství v obchodě s cennými papíry.^[zdroj?] V době úmrtí měl jeho majetek cenu přes 150 tisíc tolarů.^[zdroj?] Po jeho smrti bylo v jeho pokojích nalezeno asi 18 tisíc tolarů.^[zdroj?]

---

Theory of errors

In the first paper he proved Gauss's inequality (a Chebyshev-type inequality) for unimodal distributions, and stated without proof another inequality for moments of the fourth order (a special case of Gauss-Winckler inequality). He derived lower and upper bounds for the variance of sample variance. In the second paper, Gauss described recursive least squares methods. His work on the theory of errors was extended in several directions by the geodesist Friedrich Robert Helmert to the Gauss-Helmert model.

Gauss also contributed to problems in probability theory that are not directly concerned with the theory of errors. One example appears as a diary note where he tried to describe the asymptotic distribution of entries in the continued fraction expansion of a random number uniformly distributed in (0,1). He derived this distribution, now known as the Gauss-Kuzmin distribution, as a by-product of the discovery of the ergodicity of the Gauss map for continued fractions. Gauss's solution is the first-ever result in the metrical theory of continued fractions.

Primzahlverteilung und Methode der kleinsten Quadrate

Mit 18 Jahren entdeckte er einige Eigenschaften der Primzahlverteilung und fand die Methode der kleinsten Quadrate, bei der es darum geht, die Summe der Quadrate von Abweichungen zu minimieren. Er sah vorläufig von einer Veröffentlichung ab. Nachdem Adrien-Marie Legendre 1805 seine „Méthode des moindres carrés“ in einer Abhandlung veröffentlicht hatte und Gauß seine Ergebnisse erst 1809 bekannt machte, entstand daraus ein Prioritätsstreit.

Nach dieser Methode lässt sich etwa das wahrscheinlichste Ergebnis für eine neue Messung aus einer genügend großen Zahl vorheriger Messungen ermitteln. Auf dieser Basis untersuchte er später Theorien zur Berechnung von Flächeninhalten unter Kurven (numerische Integration), die ihn zur gaußschen Glockenkurve gelangen ließen. Die zugehörige Funktion ist bekannt als die Dichte der Normalverteilung und wird bei vielen Aufgaben zur Wahrscheinlichkeitsrechnung angewandt, wo sie die (asymptotische, das heißt für genügend große Datenmengen gültige) Verteilungsfunktion der Summe von zufällig um einen Mittelwert streuenden Daten ist. Gauß selbst machte davon unter anderem in seiner erfolgreichen Verwaltung der Witwen- und Waisenkasse der Göttinger Universität Gebrauch. Er stellte über mehrere Jahre eine gründliche Analyse an, in der er zu dem Schluss kam, dass die Pensionen leicht erhöht werden konnten. Damit legte Gauß auch Grundlagen in der Versicherungsmathematik.

---

Gauss odmítl pozvání do Petrohradské akademie věd z vděčnosti vévodovi z Brunšviku, pravděpodobně také v naději, že mu vévoda Brunšvik postaví observatoř. Po náhlé smrti vévody po bitvě u Jeny a Auerstedtu se Gauss stal v listopadu 1807 profesorem na univerzitě v Göttingenu a ředitelem observatoře v Göttingenu. Tam musel přednášet, ke kterým si vypěstoval averzi. Praktickou astronomii zde zastupoval Karl Ludwig Harding, matematickou katedru zastával Bernhard Friedrich Thibaut. Několik jeho studentů se stalo vlivnými matematiky, včetně Richarda Dedekinda a Bernharda Riemanna, stejně jako historik matematiky Moritz Cantor.

V pokročilém věku se stále více zajímal o literaturu a byl vášnivým čtenářem novin. Jeho oblíbenými spisovateli byli Jean Paul a Walter Scott. Mluvil plynně anglicky a francouzsky a kromě toho, že byl od mládí obeznámen s klasickými jazyky starověku, četl několik moderních evropských jazyků (španělštinu, italštinu, dánštinu, švédštinu), přičemž se nakonec naučil rusky a vyzkoušel sanskrt, který neměl rád.

Od roku 1804 byl dopisujícím členem Académie des sciences a od roku 1820 associé étranger Akademie.  V roce 1804 se také stal členem Královské společnosti a v roce 1820 Královské společnosti v Edinburghu.  V roce 1808 byl zvolen dopisujícím členem Bavorské akademie věd a humanitních věd,] a v roce 1820 byl zvolen zahraničním členem Americké akademie umění a věd. Académie royale de Bruxelles ho přijala jako zahraničního korespondenta v prosinci 1841.

V roce 1838 mu byla udělena Copleyho medaile Královské společnosti. V roce 1842 byl přijat do mírové třídy řádu Pour le Mérite. Ve stejném roce odmítl pozvánku na Vídeňskou univerzitu. V roce 1845 se stal tajným radou a v roce 1846 potřetí děkanem filozofické fakulty. V roce 1849 oslavil své zlaté doktorátové jubileum a stal se čestným občanem Brunšviku a Göttingenu. Jeho poslední vědecká výměna názorů se týkala vylepšení Foucaultova kyvadla v dopise Alexandru von Humboldtovi v roce 1853.

Shromažďoval číselné a statistické údaje všeho druhu a vedl například seznamy průměrné délky života slavných mužů (počítané na dny). Dne 7. prosince 1853 napsal mimo jiné svému příteli a kancléři svého řádu Alexandru von Humboldtovi: "Pozítří je dnem, kdy ty, můj vysoce vážený příteli, odejdeš do pole, do kterého ještě nepronikla žádná z velikánů exaktních věd, den, kdy dosáhneš stejného věku jako Newton uzavřel svou pozemskou pouť, měřenou 30 766 dny. A Newtonovy síly byly v této fázi zcela vyčerpány: k velké radosti celého vědeckého světa stále stojí v plném požitku z vaší obdivuhodné moci. Kéž v tomto potěšení zůstanete po mnoho dalších let."  Gauss se zajímal o hudbu, navštěvoval koncerty a hodně zpíval.  Není známo, zda hrál na nějaký nástroj. Zabýval se spekulacemi s akciemi a po své smrti po sobě zanechal značné jmění ve výši 170 000 tolarů (se základním platem profesora 1000 tolarů ročně), především v cenných papírech, z nichž mnohé pocházely ze železnice. To je jedna z mála pasáží v korespondenci, ve které je kritický k politice a bankám, které s ní spolupracují; protože železniční akcie v Hesensku-Darmstadtu, které získal, drasticky ztratily na hodnotě, když vešlo ve známost, že železnice může být kdykoli znárodněna.

Ke konci svého života byl stále vědecky aktivní a v letech 1850/51 přednášel o metodě nejmenších čtverců. Dva ze svých nejvýznamnějších studentů, Bernharda Riemanna (který získal doktorát u Gausse v roce 1851 a na Gausse udělal silný dojem v roce 1854 svou habilitační přednáškou o základech Riemannovy geometrie) a Richarda Dedekinda, neměl až ke konci své kariéry.

Gauss byl velmi konzervativní a monarchistický a neschvaloval německou revoluci v letech 1848/1849.

Rodina

Gaussova matka žila s Gaussem v jeho domě od roku 1817 do roku 1839.

Gaussův osobní život byl poznamenán brzkou smrtí jeho první ženy Johanny Osthoffové (1780–1809) roku 1809 a krátce poté smrtí jeho syna Louise. Gauss poté propadl depresím, ze kterých se nikdy úplně nevyléčil. Znovu se oženil s přítelkyní své první ženy, s Friederic Wilhelmine Waldeckovou (Minna), ale toto druhé manželství nemělo být šťastné, neboť bylo poznamenáno Minninou neustálou nemocí. Když Minna roku 1831 po dlouhé nemoci zemřela, jedna z dcer, Theresa, se začala starat o domácnost a Gausse samotného až do jeho smrti, poté se provdala.

Gauss měl šest dětí. Se svou první ženou Johannou měl Josepha (1806–1873), Wilhelminu (1808–1846) a Louise (1809–1810). S druhou ženou Minnou Waldeckovou měl taky tři děti: Eugena (1811–1896), Wilhelma (1813–1879) a Theresu (1816–1864). Ze všech jeho dětí měla Wilhelmina nejblíž k otcovu talentu, ale zemřela mladá.

Gauss míval problémy se svými syny, dva z nich nakonec emigrovali do Spojených států. Nechtěl totiž, aby vstoupili na půdu matematiky nebo vědy ze „strachu o pošpinění jména rodiny“. Hádky s Eugenem byly ale horší. Gauss chtěl, aby se stal Eugene právníkem, ale Eugene chtěl studovat jazyky. Taky se pohádali kvůli večírku, který Eugene pořádal, ale Gauss ho odmítl zaplatit. A tak rozhněvaný syn okolo roku 1832 emigroval do Spojených států, kde byl celkem úspěšný. Nakonec se usadil v St. Charles v Missouri, kde se stal váženým občanem. Trvalo mnoho let, než si Eugene vydobyl zpět reputaci u otcových přátel a kolegů.

Syn Wilhelm se také usadil v Missouri, kde začínal jako farmář a později zbohatl na obchodu s botami v St. Louis.

Uznání

Na Gaussovu památku byla pojmenována CGS jednotka magnetické indukce Gauss.

Od roku 1989 do roku 2001 byl jeho portrét, normální distribuční křivka stejně jako různé významné götingenské budovy vyobrazeny na desetimarkové bankovce. Druhá strana bankovky zobrazovala heliotrop a triangulační měření Hannoveru. Německo také vydalo tři známky oslavující Gausse. Běžná známka (č. 725) byla vydána v roce 1955 ke stému výročí jeho smrti; dvě další známky (č. 1246 a č. 1811) byly vydány roku 1977 k oslavě dvoustého výročí jeho narození.

V roce 2007 byla Gaussova busta slavnostně odhalena ve Walhalle.

Místa, stroje a události pojmenované na počest Gausse:

• kráter Gauss na Měsíci
• Asteroid 1001 Gaussia
• Loď Gauss použita pří expedici do Antarktidy
• Gaussberg, vyhaslý vulkán objeven při již zmíněné expedici
• Gauss Tower vyhlídková věž v německém lese Dransfeld v Dolním Sasku
• Gauss Haus, centrum nukleární magnetické rezonance na Univerzitě v Utahu
• Jedna z fakult brunšvické univerzity

---

Další

Gauss podporoval jednu z prvních matematiček moderní doby, Sophii Germainovou, v tomto oboru. Gauss si s ní dopisoval od roku 1804 v teorii čísel, i když nejprve používala mužský pseudonym. Svou ženskou identitu odhalila až v roce 1806, když po okupaci Brunšviku prosila francouzského velitele o jeho bezpečnost. Gauss chválil její práci a její hluboké porozumění teorii čísel a požádal ji, aby mu v roce 1810 v Paříži sehnala přesné kyvadlové hodiny za finanční odměnu, kterou obdržel spolu s Lalandeovou cenou.

---

V hlavních částech Gauss předkládá první dva důkazy zákona kvadratické reciprocity,, který popisuje řešitelnost kvadratických rovnic "mod p" a pro který během svého života našel téměř tucet různých důkazů, a rozvíjí teorie binárních a ternárních kvadratických forem.

V této knize je však mnoho dalších hlubokých výsledků, často jen stručně naznačených, které v mnoha ohledech podnítily práci pozdějších generací teoretiků čísel. Teoretik čísel Peter Gustav Lejeune Dirichlet uvedl, že měl Disquisitiones po celý život vždy po ruce. Totéž platí pro dvě práce o kvadratických zákonech reciprocity z let 1825 a 1831, ve kterých zavádí Gaussova čísla (celočíselná mřížka v rovině komplexních čísel).

Dílo je pravděpodobně součástí plánovaného pokračování Disquisitiones, které se nikdy neobjevilo. Důkazy pro tyto zákony pak podal Gotthold Ejzenštejn v roce 1844.

Podle svých vlastních slov André Weil povzbuzoval ke čtení těchto prací (a některých pasáží v deníku, kde se ve skryté formě zabývá řešením rovnic nad konečnými tělesy) ke své práci na Weilových domněnkách.

Nedokončená osmá kapitola byla nalezena mezi písemnostmi po jeho smrti a sestávala z prací vykonaných v letech 1797–1799.

---

Ve dvou článcích o kvadratických reziduích (1828, 1832) Gauss představil okruh Gaussovských celých čísel , ukázala, že se jedná o unikátní faktorizační doménu.  a zobecnil některé klíčové aritmetické pojmy, jako je Fermatova malá věta a Gaussovo lemma. Hlavním cílem zavedení tohoto okruhu bylo formulovat zákon kvadratické reciprocity – jak objevil Gauss, okruhy komplexních celých čísel jsou přirozeným prostředím pro takové vyšší zákony reciprocity.

Ve druhém článku formuloval obecný zákon kvadratické reciprocity a dokázal několik jeho speciálních případů. V dřívější publikaci z roku 1818, která obsahovala jeho pátý a šestý důkaz kvadratické reciprocity, tvrdil, že techniky těchto důkazů (Gaussovy součty) lze použít k důkazu vyšších zákonů reciprocity.

---

Jedním z prvních Gaussových výsledků byla empiricky nalezená domněnka z roku 1792 – později nazvaná věta o prvočíslech – udávající odhad počtu prvočísel pomocí integrálního logaritmu.

Když Olbers v roce 1816 povzbudil Gausse, aby se ucházel o cenu Francouzské akademie za důkaz Fermatovy poslední věty (FLT), odmítl, protože si této záležitosti málo vážil. Mezi jeho zanechanými pracemi byl však nalezen krátký nedatovaný článek s korekturami FLT pro případy n = 3 a n = 5.  Konkrétní případ n = 3 byl dokázán mnohem dříve Leonhardem Eulerem, ale Gauss vyvinul efektivnější důkaz, který používal Eisensteinova celá čísla; I když byl důkaz obecnější, byl jednodušší než v případě reálných celých čísel.

Gauss přispěl k vyřešení Keplerovy domněnky v roce 1831 s důkazem, že největší hustota koulí v trojrozměrném prostoru je dána, když středy koulí tvoří kubické uspořádání zaměřené na plochu když recenzoval knihu Ludwiga Augusta Seebera o teorii redukce kladných ternárních kvadratických forem.  Když si všiml některých nedostatků v Seeberově důkazu, zjednodušil mnoho svých argumentů, dokázal ústřední domněnku a poznamenal, že tato věta je ekvivalentní Keplerově domněnce pro pravidelná uspořádání.

---

---

---

Vědecká práce

[editovat | editovat zdroj]upravit zdroj]

Algebra a teorie čísel

[editovat | editovat zdroj]upravit zdroj]

Základní věta algebry

[editovat | editovat zdroj]upravit zdroj] Ve své doktorské práci z roku 1799 Gauss dokázal základní větu algebry, která říká, že každý nekonstantní polynom jedné proměnné s komplexními koeficienty má alespoň jeden komplexní kořen. Matematici včetně Jeana le Rond d'Alemberta vytvořili falešné důkazy před ním a Gaussova disertační práce obsahuje kritiku d'Alembertovy práce. Následně předložil tři další důkazy, z nichž poslední z roku 1849 byl obecně rigorózní. Jeho pokusy značně objasnily koncept komplexních čísel.

Disquisitiones Arithmeticae

[editovat | editovat zdroj]upravit zdroj] Hlavní článek: Disquisitiones Arithmeticae

V předmluvě k Disquisitiones Gauss datuje začátek své práce na teorii čísel do roku 1795. Studiem prací předchozích matematiků, jako byli Fermat, Euler, Lagrange a Legendre, si uvědomil, že tito učenci již našli mnoho z toho, co objevil on sám.  Disquisitiones Arithmeticae, napsané v roce 1798 a publikované v roce 1801, upevnilo teorii čísel jako disciplínu a zahrnovalo jak elementární, tak algebraickou teorii čísel. V něm zavádí symbol trojitého pruhu (≡) pro kongruenci a používá jej pro čistou prezentaci modulární aritmetiky.  je velmi důležitý Zabývá se větou o jednoznačném faktorizaci a primitivními kořeny modulo n. V hlavních částech Gauss předkládá první dva důkazy zákona kvadratické reciprocity a rozvíjí teorie binárních a ternárních kvadratických forem.

Disquisitiones zahrnují Gaussův kompoziční zákon pro binární kvadratické formy, stejně jako výčet počtu reprezentací celého čísla jako součtu tří čtverců. Jako téměř bezprostřední důsledek své věty o třech čtvercích dokazuje trojúhelníkový případ Fermatovy mnohoúhelníkové věty o čísle pro n = 3.  Z několika analytických výsledků na třídních číslech, které Gauss uvádí bez důkazu na konci páté části se zdá, že Gauss znal vzorec pro číslo třídy již v roce 1801.

V poslední části Gauss podává důkaz pro konstruovatelnost pravidelného sedmiúhelníku (17stranného mnohoúhelníku) s přímkou a kružítkem tím, že tento geometrický problém redukuje na algebraický.  Ukazuje, že pravidelný mnohoúhelník je zkonstruovatelný, pokud počet jeho stran je buď mocninou 2, nebo součinem mocniny 2 a libovolného počtu různých Fermatových prvočísel. Ve stejné části uvádí výsledek o počtu řešení určitých kubických polynomů s koeficienty v konečných tělesech, což se rovná počítání integrálních bodů na eliptické křivce.  Nedokončená osmá kapitola byla nalezena mezi písemnostmi po jeho smrti a sestávala z prací vykonaných v letech 1797–1799.

Další vyšetřování

[editovat | upravit zdroj] Jedním z prvních Gaussových výsledků byla empiricky nalezená domněnka z roku 1792 – později nazvaná věta o prvočíslech – udávající odhad počtu prvočísel pomocí integrálního logaritmu.

Když Olbers v roce 1816 povzbuzoval Gausse, aby se ucházel o cenu Francouzské akademie za důkaz Fermatovy poslední věty (FLT), odmítl kvůli své nízké úctě v této záležitosti. Mezi jeho zanechanými pracemi byl však nalezen krátký nedatovaný článek s korekturami FLT pro případy n = 3 a n = 5.  Konkrétní případ n = 3 byl dokázán mnohem dříve Leonhardem Eulerem, ale Gauss vyvinul efektivnější důkaz, který používal Eisensteinova celá čísla; I když byl důkaz obecnější, byl jednodušší než v případě reálných celých čísel.

Gauss přispěl k vyřešení Keplerovy domněnky v roce 1831 důkazem, že největší hustota koulí v trojrozměrném prostoru je dána, když středy koulí tvoří kubické plošně centrované uspořádání když recenzoval knihu Ludwiga Augusta Seebera o teorii redukce kladných ternárních kvadratických forem.  Když si všiml některých nedostatků v Seeberově důkazu, zjednodušil mnoho svých argumentů, dokázal ústřední domněnku a poznamenal, že tato věta je ekvivalentní Keplerově domněnce pro pravidelná uspořádání.

Ve dvou článcích o bikvadratických reziduích (1828, 1832) Gauss představil okruh Gaussovských celých čísel , ukázala, že se jedná o unikátní faktorizační doménu.  a zobecnil některé klíčové aritmetické pojmy, jako je Fermatova malá věta a Gaussovo lemma. Hlavním cílem zavedení tohoto okruhu bylo formulovat zákon bikvadratické reciprocity – jak objevil Gauss, okruhy komplexních celých čísel jsou přirozeným prostředím pro takové vyšší zákony reciprocity.

Ve druhém článku formuloval obecný zákon bikvadratické reciprocity a dokázal několik jeho speciálních případů. V dřívější publikaci z roku 1818, která obsahovala jeho pátý a šestý důkaz kvadratické reciprocity, tvrdil, že techniky těchto důkazů (Gaussovy součty) lze použít k důkazu vyšších zákonů reciprocity.

Analýza

[editovat | upravit zdroj] Jedním z prvních Gaussových objevů byl pojem aritmeticko-geometrického průměru (AGM) dvou kladných reálných čísel.  Jeho vztah k eliptickým integrálům objevil v letech 1798–1799 prostřednictvím Landenovy transformace a v deníku zaznamenal objev spojení Gaussovy konstanty s lemniskatickými eliptickými funkcemi, což byl výsledek, o kterém Gauss prohlásil, že "jistě otevře zcela nové pole analýzy".  Brzy také pronikl do formálnějších otázek základů komplexní analýzy a z dopisu Besselovi z roku 1811 je zřejmé, že znal "základní větu komplexní analýzy" – Cauchyho integrální větu – a rozuměl pojmu komplexních reziduí při integraci kolem pólů.

Eulerova pětiúhelníková věta o číslech, spolu s dalšími výzkumy AGM a lemniskatických funkcí, ho přivedla k mnoha výsledkům o Jacobiho theta funkcích, které vyvrcholily v roce 1808 objevem později nazývané Jacobiho trojité identity součinu, která zahrnuje Eulerovu větu jako speciální případ.  Jeho práce ukazují, že od roku 1808 znal modulární transformace řádu 3, 5, 7 pro eliptické funkce.

Několik matematických fragmentů v jeho Nachlass naznačuje, že znal části moderní teorie modulárních forem.  Ve své práci na vícehodnotové valné hromadě dvou komplexních čísel objevil hluboké spojení mezi nekonečně mnoha hodnotami valné hromady a jejími dvěma "nejjednoduššími hodnotami".  Ve svých nepublikovaných spisech rozpoznal a načrtl klíčový koncept fundamentální domény pro modulární skupinu. [ Jednou z Gaussových skic tohoto druhu byla kresba mozaiky jednotkového disku pomocí "rovnostranných" hyperbolických trojúhelníků se všemi úhly rovnými .

Příkladem Gaussova vhledu do oblasti analýzy je kryptická poznámka, že principy dělení kružnice kružítkem a pravoúhlostí lze aplikovat i na dělení křivky lemnikátu, která inspirovala Abelovu větu o dělení lemnikátu.  Dalším příkladem je jeho publikace "Summatio quarundam serierum singularium" (1811) o určení znaménka kvadratického Gaussova součtu, ve které vyřešil hlavní problém zavedením q-analogií binomických koeficientů a manipulací s nimi pomocí několika originálních identit, které jako by vycházely z jeho práce na teorii eliptických funkcí; Gauss však předložil svůj argument formálním způsobem, který neodhaluje jeho původ v teorii eliptických funkcí, a teprve pozdější práce matematiků, jako byli Jacobi a Hermite, odhalily jádro jeho argumentu.

V "Disquisitiones generales circa series infinitam..." (1813) poskytuje první systematické pojednání o obecné hypergeometrické funkci a ukazuje, že mnoho funkcí známých v té době jsou speciální případy hypergeometrické funkce.  Tato práce je první s exaktním zkoumáním konvergence nekonečných řad v historii matematiky.  velmi důležitý. Dále se zabývá nekonečnými řetězovými zlomky vznikajícími jako poměry hypergeometrických funkcí, které se nyní nazývají Gaussovy řetězové zlomky.

V roce 1823 Gauss vyhrál cenu Dánské společnosti s esejí o konformním zobrazení, která obsahuje několik vývojových trendů týkajících se oblasti komplexní analýzy.  Gauss prohlásil, že úhlově zachovávající zobrazení v komplexní rovině musí být komplexní analytické funkce, a použil později nazvanou Beltramiho rovnici k prokázání existence izotermických souřadnic na analytických plochách. Esej končí příklady konformního zobrazení do koule a elipsoidu rotace.

Numerická analýza

[editovat | upravit zdroj] Gauss často odvozoval věty induktivně z číselných dat, která empiricky shromáždil.  Proto bylo pro jeho výzkum životně důležité použití efektivních algoritmů k usnadnění výpočtů a významně přispěl k numerické analýze, jako byla metoda Gaussovy kvadratury publikovaná v roce 1816.

V soukromém dopise Gerlingovi z roku 1823 popsal řešení systému lineárních rovnic 4X4 pomocí Gauss-Seidelovy metody – "nepřímé" iterační metody pro řešení lineárních systémů a doporučil ji před obvyklou metodou "přímé eliminace" pro systémy s více než dvěma rovnicemi.

Gauss vynalezl algoritmus pro výpočet toho, co se dnes nazývá diskrétní Fourierova transformace, při výpočtu drah Pallas a Juno v roce 1805, 160 let předtím, než Cooley a Tukey našli podobný Cooleyův–Tukeyův FFT algoritmus.  velmi důležité. Vyvinul ji jako goniometrickou interpolační metodu, ale článek Theoria Interpolationis Methodo Nova Tractata byl publikován až posmrtně v roce 1876, předcházela mu první prezentace Josepha Fouriera na toto téma v roce 1807.

Chronologie

[editovat | editovat zdroj]upravit zdroj] První publikace následující po doktorské práci se zabývala určením data Velikonoc (1800), což byla základní záležitost matematiky. Gauss si kladl za cíl představit co nejvhodnější algoritmus pro lidi bez jakékoli znalosti církevní nebo dokonce astronomické chronologie, a tak se vyhnul obvykle požadovaným termínům jako zlaté číslo, epakta, sluneční cyklus, domenické písmeno a jakékoli náboženské konotace.  Životopisci spekulovali o tom, proč se Gauss touto záležitostí zabýval, ale je to pravděpodobně pochopitelné podle historického pozadí. Nahrazení juliánského kalendáře gregoriánským kalendářem způsobilo zmatek ve Svaté říši římské od 16. století a v Německu nebylo dokončeno až do roku 1700, kdy byl odstraněn rozdíl jedenácti dnů, ale rozdíl ve výpočtu data Velikonoc zůstal mezi protestantskými a katolickými územími. Další dohoda z roku 1776 vyrovnala konfesní způsob počítání; tak v protestantských státech, jako bylo vévodství Brunšvické, byly Velikonoce roku 1777, pět týdnů před Gaussovým narozením, první, které byly vypočítány novým způsobem.  Veřejné potíže s nahrazováním mohou být historickým pozadím zmatků v této záležitosti v rodině Gaussů (viz kapitola: Anekdoty). Protože to bylo spojeno s velikonočními předpisy, brzy v roce 1802 následovala esej o datu Pesachu.

Astronomie

[editovat | editovat zdroj]upravit zdroj] Hlavní článek: Objev Ceres

Dne 1. ledna 1801 objevil italský astronom Giuseppe Piazzi nový nebeský objekt, který považoval za dlouho hledanou planetu mezi Marsem a Jupiterem podle takzvaného Titiusova–Bodeho zákona a pojmenoval jej Ceres.  Mohl ji sledovat jen na krátkou dobu, dokud nezmizela za sluneční září. Matematické nástroje té doby nestačily k extrapolaci pozice z několika málo dat pro její opětovné objevení. Gauss se s tímto problémem vypořádal a v prosinci 1801 předpověděl pozici pro možné znovuobjevení. To se ukázalo jako přesné s přesností na půl stupně, když Franz Xaver von Zach 7. a 31. prosince v Gothě a nezávisle Heinrich Olbers 1. a 2. ledna v Brémách identifikovali objekt poblíž předpovězené polohy.

Gaussova metoda vede k rovnici osmého stupně, jejíž jedno řešení, oběžná dráha Země, je známa. Hledané řešení se pak od zbývajících šesti oddělí na základě fyzikálních podmínek. V této práci Gauss použil komplexní aproximační metody, které pro tento účel vytvořil.

Objev Ceres vedl Gausse k teorii pohybu planetoid narušených velkými planetami, která byla nakonec publikována v roce 1809 jako Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientum.  Zavedla Gaussovu gravitační konstantu.

Od té doby, co byly objeveny nové asteroidy, se Gauss zabýval poruchami jejich orbitálních elementů. Nejprve zkoumal Ceres analytickými metodami podobnými těm Laplaceovým, ale jeho oblíbeným objektem byl Pallas, kvůli jeho velké excentricitě a sklonu oběžné dráhy, přičemž Laplaceova metoda nefungovala. Gauss používal své vlastní nástroje: aritmeticko-geometrický průměr, hypergeometrickou funkci a svou metodu interpolace.  V roce 1812 objevil orbitální rezonanci s Jupiterem v poměru 18:7; Gauss dal tento výsledek jako šifru a explicitní význam uvedl pouze v dopisech Olbersovi a Besselovi.  letech práce ji dokončil v roce 1816 bez výsledku, který se mu zdál dostatečný. To znamenalo konec jeho aktivit v teoretické astronomii.

Jedním z plodů Gaussova výzkumu Pallasových perturbací bylo dílo Determinatio Attractionis... (1818) o metodě teoretické astronomie, která se později stala známou jako "metoda eliptických prstenců". Zavedla koncepci průměrování, ve které je planeta na oběžné dráze nahrazena fiktivním prstencem s hustotou hmoty úměrnou době, za kterou planeta urazí odpovídající oběžné oblouky.  Gauss představuje metodu vyhodnocení gravitační přitažlivosti takového eliptického prstence, která zahrnuje několik kroků; jeden z nich zahrnuje přímou aplikaci algoritmu aritmeticko-geometrického průměru (AGM) pro výpočet eliptického integrálu.

Zatímco Gaussovy příspěvky k teoretické astronomii skončily, praktičtější aktivity v pozorovací astronomii pokračovaly a zaměstnávaly ho po celou jeho kariéru. Již na počátku roku 1799 se Gauss zabýval určením zeměpisné délky pomocí lunární paralaxy, pro kterou vyvinul vhodnější vzorce než ty, které se běžně používaly.  Po jmenování ředitelem observatoře přikládal důležitost základním astronomickým konstantám v korespondenci s Besselem. Gauss sám poskytl tabulky pro nutaci a aberaci, sluneční souřadnice a lom světla.  Učinil mnoho příspěvků ke sférické geometrii a v tomto kontextu vyřešil některé praktické problémy týkající se navigace podle hvězd.  Publikoval velké množství pozorování, hlavně o planetkách a kometách; jeho posledním pozorováním bylo zatmění Slunce 28. července 1851.

Měření oblouku a geodetické zaměření

[editovat | editovat zdroj] upravit zdroj] Gauss se zabýval geodetickými problémy od roku 1799, kdy pomáhal Karlu Ludwigu von Lecoqovi s výpočty během jeho průzkumu ve Vestfálsku.  Od roku 1804 se učil geodetické praxi se sextantem v Brunšviku a Göttingenu.

Od roku 1816 Gaussův bývalý student Heinrich Christian Schumacher, tehdy profesor v Kodani, ale žijící v Altoně (Holštýnsko) poblíž Hamburku jako vedoucí observatoře, provedl triangulaci Jutského poloostrova od Skagenu na severu po Lauenburg na jihu.  Tento projekt byl podkladem pro tvorbu map, ale byl zaměřen i na určení geodetického oblouku mezi terminálovými lokalitami. Data z geodetických oblouků byla použita k určení rozměrů geoidu Země a dlouhé obloukové vzdálenosti přinesly přesnější výsledky. Schumacher požádal Gausse, aby pokračoval v této práci dále na jih v Hannoverském království; Gauss po krátkém váhání souhlasil. Nakonec v květnu 1820 dal král Jiří IV. Gaussovi rozkaz.

Měření obloukového oblouku vyžaduje přesné astronomické určení alespoň dvou bodů v síti. Gauss a Schumacher využili oblíbené příležitosti, že obě observatoře v Göttingenu a Altoně, v zahradě Schumacherova domu, ležely téměř ve stejné zeměpisné délce. Zeměpisná šířka byla změřena oběma jejich přístroji a zenitovým sektorem Ramsdenu, který byl transportován na obě observatoře.

Gauss a Schumacher již v říjnu 1818 určili některé úhly mezi Lüneburgem, Hamburkem a Lauenburgem pro geodetické spojení.  Během léta 1821 až 1825 řídil Gauss osobně triangulační práce, od Durynska na jihu až po řeku Labe na severu. Trojúhelník mezi Hoher Hagenem, Großer Inselsberg v Durynském lese a Brockenem v pohoří Harz byl největší, jaký kdy Gauss změřil, s maximální velikostí 107 km (66,5 mil). V řídce osídleném Lüneburském vřesovišti bez výrazných přírodních vrcholů nebo umělých staveb měl potíže s nalezením vhodných triangulačních bodů; někdy bylo nutné prosekat cesty vegetací.

Pro zaměřování signálů Gauss vynalezl nový přístroj s pohyblivými zrcadly a malým dalekohledem, který odráží sluneční paprsky do triangulačních bodů, a pojmenoval jej heliotrop.  Další vhodnou konstrukcí pro stejný účel byl sextant s přídavným zrcadlem, který pojmenoval vice heliotrop.  Gaussovi pomohli vojáci hannoverské armády, mezi nimi i jeho nejstarší syn Josef. Gauss se v roce 1820 zúčastnil základního měření (Braak Base Line) Schumachera ve vesnici Braak poblíž Hamburku a výsledek použil pro vyhodnocení hannoverské triangulace.

Dalším výsledkem byla lepší hodnota zploštění přibližného zemského elipsoidu.  vyvinul univerzální příčnou Mercatorovu projekci Země elipsoidního tvaru (kterou pojmenoval konformní projekce) pro reprezentaci geodetických dat v rovinných mapách.

Když bylo měření oblouku dokončeno, Gauss začal rozšiřovat triangulaci na západ, aby získal průzkum celého Hannoverského království královským dekretem z 25. března 1828.  Praktickou práci řídili tři armádní důstojníci, mezi nimi poručík Joseph Gauss. Kompletní vyhodnocení dat se dostalo do rukou Gausse, který na něj aplikoval své matematické vynálezy, jako je metoda nejmenších čtverců a eliminační metoda. Projekt byl dokončen v roce 1844 a Gauss poslal vládě závěrečnou zprávu o projektu; Jeho metoda promítání byla upravena až v roce 1866.

V roce 1828, když studoval rozdíly v zeměpisné šířce, Gauss poprvé definoval fyzikální aproximaci pro postavu Země jako povrch všude kolmý ke směru gravitace;  později jej jeho doktorand Johann Benedict Listing nazval geoid.

Diferenciální geometrie

[editovat | editovat zdroj] upravit zdroj] Hlavní článek: Theorema Egregium

Geodetické mapování Hannoveru podnítilo Gaussův zájem o diferenciální geometrii a topologii, oblasti matematiky zabývající se křivkami a plochami. To ho v roce 1828 vedlo k publikaci pamětí, které znamenaly zrod moderní diferenciální geometrie povrchů, protože se odchýlila od tradičních způsobů zacházení s povrchy jako s kartézskými grafy funkcí dvou proměnných, a která iniciovala zkoumání povrchů z "vnitřního" pohledu dvourozměrné bytosti, která je nucena se po ní pohybovat. Výsledkem bylo, že Theorema Egregium (pozoruhodná věta) stanovila vlastnost pojmu Gaussova zakřivení. Neformálně věta říká, že zakřivení povrchu lze určit výhradně měřením úhlů a vzdáleností na povrchu, bez ohledu na vnoření povrchu do trojrozměrného nebo dvourozměrného prostoru.

Theorema Egregium vede k abstrakci ploch jako dvojitě rozšířených variet; Objasňuje rozdíl mezi vnitřními vlastnostmi variety (metriky) a její fyzikální realizací v okolním prostoru. Důsledkem je nemožnost izometrické transformace mezi povrchy s různým Gaussovým zakřivením. To prakticky znamená, že koule nebo elipsoid nelze transformovat na rovinu bez zkreslení, což způsobuje zásadní problém při navrhování projekcí pro geografické mapy.  Část této eseje je věnována hlubokému studiu geodetiky. Gauss zejména dokazuje lokální Gaussovu–Bonnetovu větu o geodetických trojúhelníkech a zobecňuje Legendrovu větu o sférických trojúhelníkech na geodetické trojúhelníky na libovolných plochách se spojitým zakřivením; Zjistil, že úhly "dostatečně malého" geodetického trojúhelníku se odchylují od úhlů rovinného trojúhelníku stejných stran způsobem, který závisí pouze na hodnotách zakřivení povrchu ve vrcholech trojúhelníku, bez ohledu na chování povrchu ve vnitřku trojúhelníku.

Gaussovy paměti z roku 1828 postrádají koncepci geodetického zakřivení. V dosud nepublikovaném rukopise, velmi pravděpodobně napsaném v letech 1822–1825, však zavedl termín "boční zakřivení" (německy: "Seitenkrümmung") a prokázal jeho invarianci při izometrických transformacích, což byl výsledek, který později získal Ferdinand Minding a publikoval jej v roce 1830. Tento Gaussův článek obsahuje jádro jeho lemmatu o totálním zakřivení, ale také jeho zobecnění, které objevil a dokázal Pierre Ossian Bonnet v roce 1848 a je známé jako Gaussova–Bonnetova věta.

Neeuklidovská geometrie

[editovat | editovat zdroj]upravit zdroj] Hlavní článek: Neeuklidovská geometrie

Za Gaussova života probíhala živá diskuse o postulátu paralely v euklidovské geometrii.  Bylo vynaloženo mnoho pokusů dokázat to v rámci euklidovských axiomů, zatímco někteří matematici diskutovali o možnosti geometrických systémů bez něj.  Gauss přemýšlel o základech geometrie od 90. let 19. století, ale v roce 1810 si uvědomil, že neeuklidovská geometrie bez paralelního postulátu by mohla problém vyřešit.  V dopise Franzi Taurinovi z roku 1824 předložil krátký srozumitelný nástin toho, co nazval "neeuklidovskou geometrií" ale důrazně zakázal Taurinovi, aby ji jakkoli používal.  Gaussovi se připisuje zásluha za to, že jako první objevil a studoval neeuklidovskou geometrii, a dokonce tento termín také vymyslel.

První publikace o neeuklidovské geometrii v historii matematiky napsali Nikolaj Lobačevskij v roce 1829 a János Boljaj v roce 1832.  V následujících letech Gauss své myšlenky na toto téma sepsal, ale nepublikoval je, čímž se vyhnul ovlivňování soudobé vědecké diskuse.  chválil myšlenky Jánose Bolyaie v dopise svému otci a univerzitnímu příteli Farkasu Bolyaiovi a tvrdil, že jsou v souladu s jeho vlastními myšlenkami z několika desetiletí.  Není však zcela jasné, do jaké míry předcházel Lobačevskému a Boljaje, protože jeho dopisové poznámky jsou pouze vágní a nejasné.

Sartorius se poprvé zmínil o Gaussově práci o neeuklidovské geometrii v roce 1856, ale pouze vydání levých článků ve svazku VIII Sebraných spisů (1900) ukázalo Gaussovy myšlenky v této záležitosti, a to v době, kdy neeuklidovská geometrie ještě vyrostla z kontroverzní diskuse.

Raná topologie

[editovat | editovat zdroj]upravit zdroj] Gauss byl také raným průkopníkem topologie nebo Geometria Situs, jak byla nazývána za jeho života. První důkaz základní věty algebry v roce 1799 obsahoval v podstatě topologický argument; O padesát let později dále rozvinul topologický argument ve svém čtvrtém důkazu této věty.

Další setkání s topologickými pojmy se mu přihodilo v průběhu jeho astronomické práce v roce 1804, kdy určil hranice oblasti na nebeské sféře, ve které by se mohly objevit komety a asteroidy, a kterou nazval "Zodiacus". Objevil, že pokud jsou oběžné dráhy Země a komety propojeny, pak z topologických důvodů je Zodiacus celou sférou. V roce 1848, v souvislosti s objevem planetky 7 Iris, publikoval další kvalitativní diskusi o Zodiaku.

Ve svých dopisech z let 1820–1830 Gauss intenzivně přemýšlel o tématech blízkých s Geometria Situs a postupně si začal uvědomovat sémantickou obtížnost v této oblasti. Fragmenty z tohoto období prozrazují, že se pokoušel klasifikovat "traktátové obrazce", což jsou uzavřené rovinné křivky s konečným počtem příčných sebeprůsečíků, které mohou být také rovinnými průměty uzlů.  Za tímto účelem vymyslel symbolické schéma, Gaussův kód, který v jistém smyslu zachycoval charakteristické rysy traktátových postav.

Ve fragmentu z roku 1833 Gauss definoval spojovací číslo dvou prostorových křivek určitým dvojným integrálem, a tím poprvé poskytl analytickou formulaci topologického jevu. Ve stejném duchu si stěžoval na malý pokrok dosažený v Geometria Situs a poznamenal, že jedním z jejích ústředních problémů bude "spočítat propletení dvou uzavřených nebo nekonečných křivek". Jeho zápisníky z tohoto období prozrazují, že přemýšlel i o dalších topologických objektech, jako jsou copánky a spleti.

Gaussův vliv v pozdějších letech na vznikající obor topologie, kterého si velmi vážil, spočíval v příležitostných poznámkách a ústních sděleních Mobiovi a Listingovi.

Drobné matematické úspěchy

[editovat | editovat zdroj]upravit zdroj] Gauss aplikoval koncept komplexních čísel k řešení dobře známých problémů novým, stručným způsobem. Například v krátké poznámce z roku 1836 o geometrických aspektech ternárních forem a jejich aplikaci v krystalografii uvedl základní větu axonometrie, která říká, jak znázornit 3D krychli ve 2D rovině s naprostou přesností pomocí komplexních čísel.  Popsal rotace této koule jako působení určitých lineárních zlomkových transformací na rozšířenou komplexní rovinu a podal důkaz pro geometrický teorém, že výšky trojúhelníku se vždy setkávají v jediném ortocentru.

Gauss se několik desetiletí zabýval "Pentagramma mirificum" Johna Napiera – jistým sférickým pentagramem;  k němu z různých úhlů pohledu a postupně plně chápal jeho geometrické, algebraické a analytické aspekty.  Konkrétně v roce 1843 uvedl a dokázal několik vět spojujících eliptické funkce, Napierovy sférické pětiúhelníky a Ponceletovy pětiúhelníky v rovině.

Dále přispěl řešením problému konstrukce největší plošné elipsy uvnitř daného čtyřúhelníku, a objevil překvapivý výsledek o výpočtu obsahu pětiúhelníků.

Magnetismus a telegrafie

[editovat | editovat zdroj] upravit zdroj]

Geomagnetismus

[editovat | editovat zdroj]upravit zdroj] Gauss se zajímal o magnetismus od roku 1803.  Poté, co Alexander von Humboldt navštívil Göttingen v roce 1826, zahájili oba vědci intenzivní výzkum geomagnetismu, částečně nezávisle, částečně v produktivní spolupráci.  V roce 1828 byl Gauss Humboldtovým hostem na konferenci Společnosti německých přírodovědců a lékařů v Berlíně, kde se seznámil s fyzikem Wilhelmem Weberem.

Když Weber v roce 1831 získal na Gaussovo doporučení katedru fyziky v Göttingenu jako nástupce Johanna Tobiase Mayera, oba zahájili plodnou spolupráci, která vedla k novým poznatkům o magnetismu s reprezentací jednotky magnetismu z hlediska hmotnosti, náboje a času.  Založili Magnetickou asociaci (německy: Magnetischer Verein), mezinárodní pracovní skupinu několika observatoří, která podporovala měření magnetického pole Země v mnoha oblastech světa stejnými metodami v dohodnutých termínech v letech 1836 až 1841.

V roce 1836 Humboldt navrhl zřízení celosvětové sítě geomagnetických stanic v britských dominiích v dopise vévodovi ze Sussexu, tehdejšímu prezidentovi Královské společnosti; Navrhl, že magnetická opatření by měla být prováděna za standardizovaných podmínek za použití jeho metod.  s dalšími podněcovateli to vedlo ke globálnímu programu známému jako "Magnetická křížová výprava" pod vedením Edwarda Sabina. Data, časy a intervaly pozorování byly stanoveny předem, jako standard byl použit göttingenský střední čas.  stanic na všech pěti kontinentech se zúčastnilo tohoto globálního programu. Gauss a Weber založili řadu pro publikaci výsledků, šest svazků bylo vydáno v letech 1837 až 1843. Weberův odchod do Lipska v roce 1843 jako pozdní důsledek aféry Göttingenské sedmičky znamenal konec činnosti Magnetické asociace.

Po vzoru Humboldta Gauss nařídil, aby byla v zahradě observatoře postavena magnetická observatoř, ale vědci se rozcházeli v názorech na přístrojové vybavení; Gauss dával přednost stacionárním přístrojům, o kterých se domníval, že poskytují přesnější výsledky, zatímco Humboldt byl zvyklý na pohyblivé přístroje. Gauss se zajímal o časové a prostorové variace magnetické deklinace, sklonu a intenzity, ale rozlišoval Humboldtův koncept magnetické intenzity na pojmy "horizontální" a "vertikální" intenzity. Společně s Weberem vyvinul metody měření složek intenzity magnetického pole a zkonstruoval vhodný magnetometr pro měření absolutních hodnot síly magnetického pole Země, nikoli relativních, které závisely na aparature.  magnetometru byla asi desetkrát vyšší než u předchozích přístrojů. S touto prací Gauss jako první odvodil nemechanickou veličinu ze základních mechanických veličin.

Gauss provedl Obecnou teorii zemského magnetismu (1839), o které se domníval, že popisuje povahu magnetické síly; podle Felixe Kleina je tato práce spíše prezentací pozorování pomocí sférických harmonických tónů než fyzikální teorií.  Teorie předpověděla existenci přesně dvou magnetických pólů na Zemi, takže Hansteenova myšlenka čtyř magnetických pólů se stala zastaralou, a data umožnila určit jejich polohu s poměrně dobrou přesností.

Gauss ovlivnil počátky geofyziky v Rusku, když Adolph Theodor Kupffer, jeden z jeho bývalých studentů, založil magnetickou observatoř v Petrohradě, po vzoru observatoře v Göttingenu, a podobně Ivan Simonov v Kazani.

Elektromagnetismus

[editovat | editovat zdroj] upravit zdroj] Gaussovu pozornost k těmto otázkám přitáhly objevy Hanse Christiana Ørsteda o elektromagnetismu a Michaela Faradaye o elektromagnetické indukci.  Gauss a Weber našli pravidla pro rozvětvené elektrické obvody, která byla později nalezena nezávisle a poprvé publikována Gustavem Kirchhoffem a pojmenována po něm jako Kirchhoffovy obvodové zákony a zkoumali elektromagnetismus. V roce 1833 zkonstruovali první elektromechanický telegraf a Weber sám propojil observatoř s fyzikálním ústavem v centru města Göttingen nestarali se o další vývoj tohoto vynálezu pro komerční účely.

Gaussův hlavní teoretický zájem o elektromagnetismus se odrazil v jeho pokusech formulovat kvantitativní zákony řídící elektromagnetickou indukci. V sešitech z těchto let zaznamenal několik inovativních formulací; objevil myšlenku vektorové potenciální funkce (nezávisle znovuobjevené Franzem Ernstem Neumannem v roce 1845) a v lednu 1835 sepsal "indukční zákon" ekvivalentní Faradayovu zákonu, který říkal, že elektromotorická síla v daném bodě prostoru se rovná okamžité rychlosti změny (vzhledem k času) této funkce.

Gauss se pokusil najít sjednocující zákon pro dálkové účinky elektrostatiky, elektrodynamiky, elektromagnetismu a indukce, srovnatelný s Newtonovým gravitačním zákonem ale jeho pokus skončil "tragickým selháním".

Potenciální teorie

[editovat | editovat zdroj]upravit zdroj] Protože Isaac Newton teoreticky ukázal, že Země a rotující hvězdy mají nesférický tvar, problém přitažlivosti elipsoidů získal význam v matematické astronomii. Ve své první publikaci o potenciální teorii "Theoria attractionis..." (1813) Gauss poskytl uzavřenou formu vyjádření gravitační přitažlivosti homogenního triaxiálního elipsoidu v každém bodě prostoru.  Na rozdíl od předchozích výzkumů Maclaurina, Laplacea a Lagrangea, Gaussovo nové řešení zacházelo s přitažlivostí příměji ve formě eliptického integrálu. V tomto procesu také dokázal a aplikoval některé speciální případy tzv. Gaussovy věty ve vektorové analýze.

V Obecných větách týkajících se přitažlivých a odpudivých sil působících v převrácených proporcích kvadratických vzdáleností (1840) Gauss poskytl základ teorie magnetického potenciálu, založené na Lagrangeovi, Laplaceovi a Poissonovi;  poněkud nepravděpodobné, že by znal předchozí práce George Greena na toto téma.  Gauss však nikdy nemohl uvést žádné důvody pro magnetismus, ani teorii magnetismu podobnou Newtonově práci o gravitaci, která by vědcům umožnila předpovědět geomagnetické efekty v budoucnosti.

Optika

[editovat | editovat zdroj]upravit zdroj] Gaussovy výpočty umožnily výrobci nástrojů Johannu Georgu Repsellovi v Hamburku zkonstruovat v roce 1810 nový achromatický systém čoček. Hlavním problémem, kromě jiných obtíží, byla nepřesná znalost indexu lomu a disperze použitých typů skla.  V krátkém článku z roku 1817 se Gauss zabýval problémem odstranění chromatické vady u dvojitých čoček a vypočítal úpravy tvaru a koeficientů lomu potřebné k její minimalizaci. Jeho práce byla zaznamenána optikem Carlem Augustem von Steinheilem, který v roce 1860 představil achromatický Steinheilův dublet, částečně založený na Gaussových výpočtech.  Mnoho výsledků v geometrické optice je pouze roztroušeno v Gaussových korespondencích a poznámkách k rukám.

V Dioptrických výzkumech (1840) Gauss podal první systematickou analýzu tvorby obrazů při paraxiální aproximaci (Gaussova optika).  Charakterizoval optické systémy při paraxiální aproximaci pouze podle jejich světových stran, a odvodil vzorec Gaussovy čočky, použitelný bez omezení s ohledem na tloušťku čoček.

Mechanika

[editovat | editovat zdroj]upravit zdroj] Gaussovo první podnikání v mechanice se týkalo rotace Země. Když jeho přítel z univerzity Benzenberg prováděl v roce 1802 experimenty s cílem určit odchylku padajících hmot od kolmice, což je dnes známé jako účinek Coriolisovy síly, požádal Gausse o teoretický výpočet hodnot pro srovnání s experimentálními. Gauss vypracoval systém fundamentálních rovnic pro tento pohyb a výsledky dostatečně korespondovaly s Benzenbergovými daty, který Gaussovy úvahy přidal jako dodatek ke své knize o experimentech s pádem.

Poté, co Foucault v roce 1851 veřejně demonstroval rotaci Země svým experimentem s kyvadlem, Gerling se Gausse zeptal na další vysvětlení. To podnítilo Gausse k návrhu nového zařízení pro demonstraci s mnohem kratší délkou kyvadla než Foucaultovo. Oscilace byly pozorovány čtecím dalekohledem s vertikální stupnicí a zrcadlem upevněným na kyvadle. Je popsána v Gaussově–Gerlingově korespondenci a Weber provedl s tímto zařízením v roce 1853 několik experimentů, ale žádná data nebyla publikována.

Gaussův princip nejmenšího omezení z roku 1829 byl zaveden jako obecný koncept k překonání rozdělení mechaniky na statiku a dynamiku, kombinující D'Alembertův princip s Lagrangeovým principem virtuální práce a ukazující analogie k metodě nejmenších čtverců.  

Metrologie

[editovat | editovat zdroj]upravit zdroj] V roce 1828 byl Gauss jmenován předsedou Rady pro míry a váhy Hannoverského království. Zajistil vytvoření standardů délky a mír. Gauss se sám postaral o časově náročná opatření a vydal podrobné pokyny pro mechanickou přípravu.  V korespondenci se Schumacherem, který na této záležitosti také pracoval, popsal nové nápady na stupnice s vysokou přesností.  Roku 1841 předložil vládě závěrečné zprávy o hannoverské pěchotě a libře. Tato práce získala více než regionální význam nařízením zákona z roku 1836, který spojil hannoverská opatření s anglickými.

---

Ehen, Familie und Kinder

V listopadu 1804 se zasnoubil s Johannou Elisabeth Rosinou Osthoff (* 8. května 1780 – † 11. října 1809), dcerou koželuha z Brunšviku, kterému se dlouho dvořil, a 9. října 1805 se s ní oženil. 21. srpna 1806 se jim v Brunswicku narodilo první dítě, Joseph Gauss († 4. července 1873). Syn dostal své křestní jméno po Giuseppe Piazzim, objeviteli Ceres, malé planetky, jejíž objev v roce 1801 umožnil Gaussův výpočet oběžné dráhy.

Brzy poté, co se rodina přestěhovala do Göttingenu, se jim 29. února 1808 narodila dcera Wilhelmine, známá jako Minna, a 10. září 1809 se jim narodil syn Louis. O měsíc později, 11. října 1809, Johanna Gaussová zemřela při porodu, Louis o několik měsíců později, 1. března 1810. Kvůli Johannině smrti Gauss na čas upadl do depresí; z října 1809 pochází dojemný žalozpěv napsaný Gaussem, který byl nalezen v jeho pozůstalosti.  Nálezcem byl Carl August Gauss (1849–1927), jeho jediný vnuk narozený v Německu, syn Josepha a majitel panství Lohne poblíž Hannoveru. Vilemína se provdala za orientalistu Heinricha Ewalda, který později opustil Hannoverské království jako jeden z Göttingenské sedmičky a stal se profesorem na univerzitě v Tübingenu. [[Datei:Therese_Gauss.jpg|odkaz=https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Therese_Gauss.jpg%7Cnáhled%7CTherese Gauss]] Dne 4. srpna 1810 se vdovec, který se musel starat o dvě malé děti, oženil s Friedericou Wilhelmine Waldeckovou (* 15. dubna 1788 – † 12. září 1831), dcerou göttingenského právního učence Johanna Petera Waldecka, který byl nejlepším přítelem jeho zesnulé manželky. Měl s ní tři děti. Eugen Gauss  pohádal se svým otcem jako student práv a v roce 1830 emigroval do Ameriky, kde žil jako obchodník a založil "První národní banku" v St. Wilhelm Gauss následoval Eugena do Spojených států v roce 1837 a také dosáhl prosperity. Jeho nejmladší dcera Therese Staufenau vedla po smrti své matky otcovu domácnost až do jeho smrti. Minna Gaussová zemřela na tuberkulózu po 13 letech utrpení.

Úspěchy

[editovat | editovat zdroj] Upravit zdroj]

Zdůvodnění a příspěvky k neeuklidovské geometrii

[editovat | editovat zdroj] Upravit zdroj] Již ve dvanácti letech Gauss nedůvěřoval argumentu v elementární geometrii a v šestnácti letech měl podezření, že kromě euklidovské geometrie musí existovat i neeuklidovská geometrie.

Tuto práci prohloubil ve 20. letech 19. století: nezávisle na Jánosi Bolyajovi a Nikolaji Ivanoviči Lobačevském poznamenal, že Euklidův paralelní axiom není pro myšlení nezbytný. Své myšlenky o neeuklidovské geometrii však podle zpráv svých důvěrníků nepublikoval, pravděpodobně ze strachu z nepochopení svých současníků. Když mu však jeho přítel ze studia Wolfgang Bolyai, s nímž si dopisoval, vyprávěl o díle svého syna Jánose Bolyaiho, chválil ho, ale nemohl se ubránit zmínce, že on sám s tím přišel mnohem dříve ("chválit [dílo svého syna] znamená chválit sebe").  pro Nic o tom nepublikoval, protože se "vyhýbal volání Boiótů".  

Gauss považoval Lobačevského dílo za natolik zajímavé, že se v pokročilém věku naučil ruský jazyk, aby jej mohl studovat.

Zavedení eliptických funkcí

[editovat | editovat zdroj] Upravit zdroj] V roce 1796, ve věku 19 let, zavedl sinusové funkce lemniscate, historicky první, nyní takzvané eliptické funkce, přičemž délku oblouku na lemniscate považoval za funkci vzdálenosti bodu křivky k počátku. Své poznámky o tom však nikdy nepublikoval. Tyto práce souvisejí s jeho výzkumem aritmeticko-geometrického průměru. Samotný rozvoj teorie eliptických funkcí, inverzních funkcí eliptických integrálů, které byly známy již delší dobu, provedli Niels Henrik Abel (1827) a Carl Gustav Jacobi.

Základní věta algebry, příspěvky k použití komplexních čísel

[editovat | editovat zdroj] Upravit zdroj] Gauss pochopil výhody komplexních čísel brzy, například ve své doktorské práci z roku 1799, která obsahuje důkaz základní věty algebry. Tato věta říká, že každá algebraická rovnice se stupni většími než nula má alespoň jedno reálné nebo komplexní řešení. Gauss kritizoval starší důkaz Jeana-Baptisty le Rond d'Alembert jako nedostatečný, ale ani jeho vlastní důkaz ještě nesplňuje pozdější požadavky topologické přísnosti. Gauss se k důkazu fundamentální věty několikrát vrátil a v letech 1815 a 1816 podal nové důkazy.

Nejpozději v roce 1811 Gauss znal geometrické znázornění komplexních čísel v číselné rovině (Gaussova číselná rovina), které již objevili Jean-Robert Argand v roce 1806 a Caspar Wessel v roce 1797.  V dopise Besselovi, ve kterém to sděluje, je také jasné, že zná další důležité koncepty teorie funkcí, jako je křivkový integrál v komplexech a Cauchyho integrální věta a první přístupy k periodám integrálů.  Nic o něm však nepublikoval až do roku 1831, kdy zavedl název komplexní číslo ve své eseji o teorii čísel Theoria biquadratorum. Mezitím ho předcházel Augustin-Louis Cauchy (1821, 1825) v publikaci Zdůvodnění komplexní analýzy. V roce 1849, u příležitosti svého zlatého výročí doktorátu, publikoval vylepšenou verzi své disertační práce o základní větě algebry, ve které na rozdíl od první verze výslovně používá komplexní čísla.

Příspěvky k teorii čísel

[editovat | editovat zdroj] Upravit zdroj] Dne 30. března 1796, měsíc před svými devatenáctými narozeninami, prokázal sestavitelnost pravidelného sedmiúhelníku, čímž poskytl první významný přírůstek k euklidovským konstrukcím po roce 2000. To byl však pouze druhotný výsledek práce na jeho díle Disquisitiones Arithmeticae, které bylo z hlediska teorie čísel mnohem dalekosáhlejší.

První zmínka o této práci se objevila 1. června 1796 v Intelligenzblatt Allgemeine Literatur-Zeitung v Jeně. Disquisitiones, publikovaná v roce 1801, se stala základem pro další vývoj teorie čísel, k níž jedním z jeho hlavních příspěvků byl důkaz kvadratického zákona reciprocity, který popisuje řešitelnost kvadratických rovnic "mod p" a pro který během svého života našel téměř tucet různých důkazů. Kromě konstrukce elementární teorie čísel na modulární aritmetice je zde diskutována řetězcová zlomky a dělení kružnice, se slavným návrhem podobných vět v lemniscate a dalších eliptických funkcích, který byl později navržen Nielsem Henrikem Abelem a dalšími. Velkou část práce zabírá teorie kvadratických forem, jejíž genderovou teorii rozvíjí.

V této knize je však mnoho dalších hlubokých výsledků, často jen stručně naznačených, které v mnoha ohledech podnítily práci pozdějších generací teoretiků čísel. Teoretik čísel Peter Gustav Lejeune Dirichlet uvedl, že měl Disquisitiones po celý život vždy po ruce. Totéž platí pro dvě práce o bikvadratických zákonech reciprocity z let 1825 a 1831, ve kterých zavádí Gaussova čísla (celočíselná mřížka v rovině komplexních čísel). Dílo je pravděpodobně součástí plánovaného pokračování Disquisitiones, které se nikdy neobjevilo. Důkazy pro tyto zákony pak podal Gotthold Ejzenštejn v roce 1844.

Podle svých vlastních slov André Weil povzbuzoval ke čtení těchto prací (a některých pasáží v deníku, kde se ve skryté formě zabývá řešením rovnic nad konečnými tělesy) ke své práci na Weilových domněnkách.

Gauss podporoval jednu z prvních matematiček moderní doby, Sophii Germainovou, v tomto oboru. Gauss si s ní dopisoval od roku 1804 v teorii čísel, i když nejprve používala mužský pseudonym. Svou ženskou identitu odhalila až v roce 1806, když po okupaci Brunšviku prosila francouzského velitele o jeho bezpečnost. Gauss chválil její práci a její hluboké porozumění teorii čísel a požádal ji, aby mu v roce 1810 v Paříži sehnala přesné kyvadlové hodiny za finanční odměnu, kterou obdržel spolu s Lalandeovou cenou.

Příspěvky k astronomii

[editovat | editovat zdroj] Upravit zdroj] Po dokončení Disquisitiones se Gauss obrátil k astronomii. Důvodem byl objev trpasličí planety Ceres Giuseppem Piazzim 1. ledna 1801, jejíž polohu na obloze astronom ztratil krátce po svém objevu. Čtyřiadvacetiletému Gaussovi se podařilo vypočítat trajektorii pomocí nové nepřímé metody určování trajektorie a jeho kompenzačních výpočtů založených na metodě nejmenších čtverců tak, že Franz Xaver von Zach ji dokázal znovu najít 7. prosince 1801 a – potvrzeno – 31. prosince 1801. Heinrich Wilhelm Olbers to potvrdil nezávisle na Zachovi pozorováním 1. a 2. ledna 1802.

Problém se znovuobjevením Ceres jako takového spočíval v tom, že z pozorování není známa ani poloha, ani část oběžné dráhy, ani vzdálenost, ale pouze směr pozorování. To vede k hledání elipsy a ne kružnice, jak ji používali Gaussovi konkurenti.  Je znám jeden z ohnisků elipsy (samotné Slunce) a oblouky oběžné dráhy Ceres mezi směry pozorování jsou protnuty podle druhého Keplerova zákona, tj. časy se chovají jako povrchy přehnané vodícím paprskem. Kromě toho je pro matematické řešení známo, že samotná pozorování začínají od kuželosečky ve vesmíru, samotné oběžné dráhy Země.

V zásadě tento problém vede k rovnici osmého stupně, jejímž triviálním řešením je samotná oběžná dráha Země. Použitím rozsáhlých omezení a metody nejmenších čtverců, kterou vyvinul Gauss, se 24letému mladíkovi podařilo určit místo, které vypočítal pro oběžnou dráhu Ceres od 25. listopadu do 31. prosince 1801. Zach tak byl schopen najít Ceres znovu v poslední den předpovědi. Místo se nacházelo nejméně 7° (tj. 13,5 úplňkové šířky) východně od místa, kde ostatní astronomové předpokládali Ceres, což nejen Zach, ale i Olbers náležitě ocenili.

Tato práce, které se Gauss ujal ještě před svým jmenováním ředitelem observatoře v Göttingenu, ho rázem proslavila v Evropě, dokonce více než jeho teorie čísel, a vynesla mu mimo jiné pozvání na Akademii v Petrohradě, jejímž členem se stal v roce 1802.

Iterační metoda, kterou Gauss v této souvislosti nalezl, se používá dodnes, protože na jedné straně umožňuje začlenit všechny známé síly do fyzikálně-matematického modelu bez značného dodatečného úsilí a na druhé straně je snadno ovladatelná z počítačového hlediska.

Gauss se poté zabýval oběžnou dráhou asteroidu Pallas, na jehož výpočet pařížská akademie nabídla finanční odměnu, ale nemohla najít řešení. Jeho zkušenosti s určováním drah nebeských těles však vyvrcholily v roce 1809 v jeho díle Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium.

Příspěvky k teorii potenciálu

[editovat | editovat zdroj] Upravit zdroj] V teorii potenciálu a fyzice je zásadní Gaussova věta o integrálu (1835, publikovaná až v roce 1867). Ve vektorovém poli identifikuje integrál divergence (derivační vektor aplikovaný na vektorové pole) nad objemem s integrálem vektorového pole nad povrchem tohoto objemu.

Zeměměřictví a vynález heliotropu

[editovat | editovat zdroj] Upravit zdroj] Gauss získal své první zkušenosti v oblasti geodézie mezi lety 1797 a 1801, kdy radil francouzskému proviantnímu generálu Lecoqovi při jeho vyměřování Vestfálského vévodství. V roce 1816 byl jeho bývalý žák Heinrich Christian Schumacher pověřen dánským králem, aby provedl měření zeměpisné šířky a délky na dánském území.  V letech 1820 až 1826 byl Gauss jmenován vedoucím Zeměměřičství Hannoverského království ("Gaussovské zeměměřictví") spolu se svým synem Josephem, který byl dělostřeleckým důstojníkem hannoverské armády. Tento průzkum pokračoval v dánském mapování na hannoverském území na jihu, přičemž Gauss použil Braakovu základnu měřenou Schumacherem. Jím vynalezenou metodou nejmenších čtverců a systematickým řešením rozsáhlých lineárních soustav rovnic (Gaussova eliminační metoda) se mu podařilo dosáhnout značného zvýšení přesnosti. Zajímal se také o praktickou realizaci: vynalezl heliotrop osvětlený slunečními zrcadly jako měřicí přístroj.

Gaussovo zakřivení a geodézie

[editovat | editovat zdroj] Upravit zdroj] Během těchto let, inspirován geodézií a teorií map, se zabýval teorií diferenciální geometrie ploch, zavedl mimo jiné Gaussovo zakřivení a dokázal svou větu egregium. Ta říká, že Gaussovo zakřivení, které je definováno hlavním zakřivením povrchu v prostoru, lze určit pouze měřením vnitřní geometrie, tj. měřením uvnitř povrchu. Gaussovo zakřivení je tedy nezávislé na vnoření povrchu do trojrozměrného prostoru, tj. nemění se v případě podélného zobrazení ploch na sebe. Z tohoto důvodu nelze vytvořit mapu světa v měřítku.

Wolfgang Sartorius von Waltershausen uvádí: Při příležitosti hannoverského zeměměřictví Gauss empiricky hledal odchylku součtu úhlů zvláště velkých trojúhelníků od euklidovské hodnoty 180° – jako v případě plochého trojúhelníku změřeného Gaussem, který byl vypočítán Brockenem v pohoří Harz, Inselsbergem v Durynském lese a Hoher Hagenem u Dransfeldu se vytvoří. Max Jammer napsal o tomto Gaussově měření a jeho výsledku:

"Změřil [...] trojúhelník tvořený třemi horami, Brocken, Hoher Hagen a Inselberg, jejichž strany měřily 69, 85 a 107 km. Sotva je třeba říkat, že neobjevil odchylku 180° v mezích omylu, a z toho vyvodil závěr, že struktura skutečného prostoru je, pokud zkušenost dovoluje o ní vypovědět, euklidovská."

Vzhledem k velikosti Země je úhlový přebytek v tomto trojúhelníku pouze 0,25 úhlové minuty. Výše zmíněný předpoklad o motivaci je předmětem spekulací.

Magnetismus, elektřina a telegrafie

[editovat | editovat zdroj] Upravit zdroj] Spolu s Wilhelmem Eduardem Weberem pracoval v oblasti magnetismu od roku 1831. V roce 1833 Weber a Gauss vynalezli elektromagnetický telegrafní systém s principem podobným relé, který spojil jeho observatoř s Fyzikálním ústavem na vzdálenost 1100 metrů. Používala galvanometry a magnetometry přizpůsobené telegrafii a vyvinula několik verzí. Vodič se skládal ze dvou měděných drátů (později železných drátů), z nichž každý spojoval dvě cívky navzájem: jednu ve Weberově skříni a jednu v Gaussově observatoři. Obě cívky byly volně navinuty kolem magnetické tyče a mohly se po tyči pohybovat. Princip elektromagnetické indukce, objevený o dva roky dříve, vyvolal při pohybu cívky vysílače, která byla navinuta kolem tyčového magnetu, proudový ráz, který byl veden přes drát k druhé cívce a tam převeden zpět do pohybu. Vyražení tyčového magnetu s cívkou připevněnou k dřevěnému rámu v přijímači (což představovalo relé nebo magnetometr nebo princip podobný zrcadlovému galvanometru) bylo zvětšeno a zviditelněno systémem zrcadel a dalekohledů.  Písmena byla reprezentována binárním kódem, který odpovídal směru proudu (zrcadlo v přijímači bylo otočeno doleva nebo doprava). První zpráva byla pravděpodobně vědění před mým, bylo před zdánlivým – tato zpráva byla nalezena v Gaussových poznámkách v binárním kódu. Podle jiných zdrojů ohlašovali příchod sluhy, který obvykle doručoval zprávy (Michelmann kommt).  Dva roky před Gaussem a Weberem vyvinul Joseph Henry a rok před Gaussem a Weberem Paul Ludwig Schilling z Cannstattu elektromagnetický telegrafní přístroj, ale ani jeden z nich nebyl používán na velké vzdálenosti a nepřitahoval velkou pozornost. V roce 1845 byl komplex zničen Gaussem a Weberem úderem blesku, vzplál také dámský klobouk. Stodola, kolem které plynovod procházel, však byla ušetřena, což by jinak mohlo způsobit možný požár města.  Komerční využití však bylo provedeno i jinými, zejména Samuelem Morsem v USA několik let po vynálezu Gausse a Webera. Gauss však viděl možnosti uplatnění například ve velkém ruském impériu a pro železnici a sepsal v tomto smyslu memorandum, které však v tehdejším Německu nebylo realizováno kvůli nákladům na tratě.  Ačkoli o tom také publikovali, telegrafní vynález Gausse a Webera byl v následujících letech téměř zapomenut a jiní si tento vynález nárokovali pro sebe.

Společně s Weberem vyvinul soustavu jednotek ČGS, která byla stanovena na mezinárodním kongresu v Paříži v roce 1881 jako základ pro elektrotechnické měrné jednotky. Zorganizoval celosvětovou síť pozorovacích stanic (Magnetic Society) pro měření magnetického pole Země.

Gauß fand bei seinen Experimenten zur Elektrizitätslehre 1833 vor Gustav Robert Kirchhoff (1845) die Kirchhoffschen Regeln für Stromkreise.

Sonstiges

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Von ihm stammt die Gaußsche Osterformel zur Berechnung des Osterdatums, und er entwickelte auch eine Pessach-Formel.

Životopis

;enwiki

Gauss's brain

The day after Gauss's death his brain was removed, preserved, and studied by Rudolf Wagner, who found its mass to be slightly above average, at 1 492 gram (3,29 lb). Wagner's son Hermann, a geographer, estimated the cerebral area to be 219 588 square millimetre (340,362 sq in) in his doctoral thesis. In 2013, a neurobiologist at the Max Planck Institute for Biophysical Chemistry in Göttingen discovered that Gauss's brain had been mixed up soon after the first investigations, due to mislabelling, with that of the physician Conrad Heinrich Fuchs, who died in Göttingen a few months after Gauss. A further investigation showed no remarkable anomalies in the brains of both persons. Thus, all investigations on Gauss's brain until 1998, except the first ones of Rudolf and Hermann Wagner, actually refer to the brain of Fuchs.

Family

Gauss's second wife Wilhelmine Waldeck

Gauss married Johanna Osthoff on 9 October 1805 in St. Catherine's church in Brunswick. They had two sons and one daughter: Joseph (1806–1873), Wilhelmina (1808–1840), and Louis (1809–1810). Johanna died on 11 October 1809, one month after the birth of Louis, who himself died a few months later. Gauss chose the first names of his children in honour of Giuseppe Piazzi, Wilhelm Olbers, and Karl Ludwig Harding, the discoverers of the first asteroids.

On 4 August 1810, Gauss married Wilhelmine (Minna) Waldeck, a friend of his first wife, with whom he had three more children: Eugen (later Eugene) (1811–1896), Wilhelm (later William) (1813–1879), and Therese (1816–1864). Minna Gauss died on 12 September 1831 after being seriously ill for more than a decade. Therese then took over the household and cared for Gauss for the rest of his life; after her father's death, she married actor Constantin Staufenau. Her sister Wilhelmina married the orientalist Heinrich Ewald. Gauss's mother Dorothea lived in his house from 1817 until she died in 1839.

The eldest son Joseph, while still a schoolboy, helped his father as an assistant during the survey campaign in the summer of 1821. After a short time at university, in 1824 Joseph joined the Hanoverian army and assisted in surveying again in 1829. In the 1830s he was responsible for the enlargement of the survey network to the western parts of the kingdom. With his geodetical qualifications, he left the service and engaged in the construction of the railway network as director of the Royal Hanoverian State Railways. In 1836 he studied the railroad system in the US for some months.

Eugen left Göttingen in September 1830 and emigrated to the United States, where he joined the army for five years. He then worked for the American Fur Company in the Midwest. Later, he moved to Missouri and became a successful businessman. Wilhelm married a niece of the astronomer Bessel; he then moved to Missouri, started as a farmer and became wealthy in the shoe business in St. Louis in later years. Eugene and William have numerous descendants in America, but the Gauss descendants left in Germany all derive from Joseph, as the daughters had no children.

Personality

Scholar

A student draws his professor of mathematics: Caricature of Abraham Gotthelf Kästner by Gauss (1795)

A student draws his professor of mathematics: Gauss sketched by his student Johann Benedict Listing, 1830

In the first two decades of the 19th century, Gauss was the only important mathematician in Germany, comparable to the leading French ones; his Disquisitiones Arithmeticae was the first mathematical book from Germany to be translated into the French language.

Gauss was "in front of the new development" with documented research since 1799, his wealth of new ideas, and his rigour of demonstration. Whereas previous mathematicians like Leonhard Euler let the readers take part in their reasoning for new ideas, including certain erroneous deviations from the correct path, Gauss however introduced a new style of direct and complete explanation that did not attempt to show the reader the author's train of thought.

But for himself, he propagated a quite different ideal, given in a letter to Farkas Bolyai as follows:

The posthumous papers, his scientific diary, and short glosses in his own textbooks show that he worked to a great extent in an empirical way. He was a lifelong busy and enthusiastic calculator, who made his calculations with extraordinary rapidity, mostly without precise controlling, but checked the results by masterly estimation. Nevertheless, his calculations were not always free from mistakes. He coped with the enormous workload by using skillful tools. Gauss used a lot of mathematical tables, examined their exactness, and constructed new tables on various matters for personal use. He developed new tools for effective calculation, for example the Gaussian elimination. It has been taken as a curious feature of his working style that he carried out calculations with a high degree of precision much more than required, and prepared tables with more decimal places than ever requested for practical purposes. Very likely, this method gave him a lot of material which he used in finding theorems in number theory.

Gauss's seal with his motto Pauca sed Matura

Gauss refused to publish work that he did not consider complete and above criticism. This perfectionism was in keeping with the motto of his personal seal Pauca sed Matura ("Few, but Ripe"). Many colleagues encouraged him to publicize new ideas and sometimes rebuked him if he hesitated too long, in their opinion. Gauss defended himself, claiming that the initial discovery of ideas was easy, but preparing a presentable elaboration was a demanding matter for him, for either lack of time or "serenity of mind". Nevertheless, he published many short communications of urgent content in various journals, but left a considerable literary estate, too. Gauss referred to mathematics as "the queen of sciences" and arithmetics as "the queen of mathematics", and supposedly once espoused a belief in the necessity of immediately understanding Euler's identity as a benchmark pursuant to becoming a first-class mathematician.

On certain occasions, Gauss claimed that the ideas of another scholar had already been in his possession previously. Thus his concept of priority as "the first to discover, not the first to publish" differed from that of his scientific contemporaries. In contrast to his perfectionism in presenting mathematical ideas, he was criticized for a negligent way of quoting. He justified himself with a very special view of correct quoting: if he gave references, then only in a quite complete way, with respect to the previous authors of importance, which no one should ignore; but quoting in this way needed knowledge of the history of science and more time than he wished to spend.

Private man

Soon after Gauss's death, his friend Sartorius published the first biography (1856), written in a rather enthusiastic style. Sartorius saw him as a serene and forward-striving man with childlike modesty, but also of "iron character" with an unshakeable strength of mind. Apart from his closer circle, others regarded him as reserved and unapproachable "like an Olympian sitting enthroned on the summit of science". His close contemporaries agreed that Gauss was a man of difficult character. He often refused to accept compliments. His visitors were occasionally irritated by his grumpy behaviour, but a short time later his mood could change, and he would become a charming, open-minded host. Gauss abominated polemic natures; together with his colleague Hausmann he opposed to a call for Justus Liebig on a university chair in Göttingen, "because he was always involved in some polemic."

Gauss's residence from 1808 to 1816 in the first floor

Gauss's life was overshadowed by severe problems in his family. When his first wife Johanna suddenly died shortly after the birth of their third child, he revealed the grief in a last letter to his dead wife in the style of an ancient threnody, the most personal surviving document of Gauss. The situation worsened when tuberculosis ultimately destroyed the health of his second wife Minna over 13 years; both his daughters later suffered from the same disease. Gauss himself gave only slight hints of his distress: in a letter to Bessel dated December 1831 he described himself as "the victim of the worst domestic sufferings".

By reason of his wife's illness, both younger sons were educated for some years in Celle, far from Göttingen. The military career of his elder son Joseph ended after more than two decades with the rank of a poorly paid first lieutenant, although he had acquired a considerable knowledge of geodesy. He needed financial support from his father even after he was married. The second son Eugen shared a good measure of his father's talent in computation and languages, but had a vivacious and sometimes rebellious character. He wanted to study philology, whereas Gauss wanted him to become a lawyer. Having run up debts and caused a scandal in public, Eugen suddenly left Göttingen under dramatic circumstances in September 1830 and emigrated via Bremen to the United States. He wasted the little money he had taken to start, after which his father refused further financial support. The youngest son Wilhelm wanted to qualify for agricultural administration, but had difficulties getting an appropriate education, and eventually emigrated as well. Only Gauss's youngest daughter Therese accompanied him in his last years of life.

Collecting numerical data on very different things, useful or useless, became a habit in his later years, for example, the number of paths from his home to certain places in Göttingen, or the number of living days of persons; he congratulated Humboldt in December 1851 for having reached the same age as Isaac Newton at his death, calculated in days.

Similar to his excellent knowledge of Latin he was also acquainted with modern languages. At the age of 62, he began to teach himself Russian, very likely to understand scientific writings from Russia, among them those of Lobachevsky on non-Euclidean geometry. Gauss read both classical and modern literature, and English and French works in the original languages. His favorite English author was Walter Scott, his favorite German Jean Paul. Gauss liked singing and went to concerts. He was a busy newspaper reader; in his last years, he used to visit an academic press salon of the university every noon. Gauss did not care much for philosophy, and mocked the "splitting hairs of the so-called metaphysicians", by which he meant proponents of the contemporary school of Naturphilosophie.

Gauss had an "aristocratic and through and through conservative nature", with little respect for people's intelligence and morals, following the motto "mundus vult decipi". He disliked Napoleon and his system, and all kinds of violence and revolution caused horror to him. Thus he condemned the methods of the Revolutions of 1848, though he agreed with some of their aims, such as the idea of a unified Germany. As far as the political system is concerned, he had a low estimation of the constitutional system; he criticized parliamentarians of his time for a lack of knowledge and logical errors.

Some Gauss biographers have speculated on his religious beliefs. He sometimes said "God arithmetizes" and "I succeeded – not on account of my hard efforts, but by the grace of the Lord." Gauss was a member of the Lutheran church, like most of the population in northern Germany. It seems that he did not believe all dogmas or understand the Holy Bible quite literally. Sartorius mentioned Gauss's religious tolerance, and estimated his "insatiable thirst for truth" and his sense of justice as motivated by religious convictions.

Scientific work

Algebra and number theory

Fundamental theorem of algebra

German stamp commemorating Gauss's 200th anniversary: the complex plane or Gauss plane

In his doctoral thesis from 1799, Gauss proved the fundamental theorem of algebra which states that every non-constant single-variable polynomial with complex coefficients has at least one complex root. Mathematicians including Jean le Rond d'Alembert had produced false proofs before him, and Gauss's dissertation contains a critique of d'Alembert's work. He subsequently produced three other proofs, the last one in 1849 being generally rigorous. His attempts clarified the concept of complex numbers considerably along the way.

Disquisitiones Arithmeticae

Podrobnější informace naleznete na stránce Disquisitiones Arithmeticae.

In the preface to the Disquisitiones, Gauss dates the beginning of his work on number theory to 1795. By studying the works of previous mathematicians like Fermat, Euler, Lagrange, and Legendre, he realized that these scholars had already found much of what he had discovered by himself. The Disquisitiones Arithmeticae, written in 1798 and published in 1801, consolidated number theory as a discipline and covered both elementary and algebraic number theory. Therein he introduces the triple bar symbol (≡) for congruence and uses it for a clean presentation of modular arithmetic. It deals with the unique factorization theorem and primitive roots modulo n. In the main sections, Gauss presents the first two proofs of the law of quadratic reciprocity and develops the theories of binary and ternary quadratic forms.

The Disquisitiones include the Gauss composition law for binary quadratic forms, as well as the enumeration of the number of representations of an integer as the sum of three squares. As an almost immediate corollary of his theorem on three squares, he proves the triangular case of the Fermat polygonal number theorem for n = 3. From several analytic results on class numbers that Gauss gives without proof towards the end of the fifth section, it appears that Gauss already knew the class number formula in 1801.

In the last section, Gauss gives proof for the constructibility of a regular heptadecagon (17-sided polygon) with straightedge and compass by reducing this geometrical problem to an algebraic one. He shows that a regular polygon is constructible if the number of its sides is either a power of 2 or the product of a power of 2 and any number of distinct Fermat primes. In the same section, he gives a result on the number of solutions of certain cubic polynomials with coefficients in finite fields, which amounts to counting integral points on an elliptic curve. An unfinished eighth chapter was found among left papers only after his death, consisting of work done during 1797–1799.

Further investigations

One of Gauss's first results was the empirically found conjecture of 1792 – the later called prime number theorem – giving an estimation of the number of prime numbers by using the integral logarithm.

When Olbers encouraged Gauss in 1816 to compete for a prize from the French Academy on the proof for Fermat's Last Theorem (FLT), he refused because of his low esteem on this matter. However, among his left works a short undated paper was found with proofs of FLT for the cases n = 3 and n = 5. The particular case of n = 3 was proved much earlier by Leonhard Euler, but Gauss developed a more streamlined proof which made use of Eisenstein integers; though more general, the proof was simpler than in the real integers case.

Gauss contributed to solving the Kepler conjecture in 1831 with the proof that a greatest packing density of spheres in the three-dimensional space is given when the centres of the spheres form a cubic face-centred arrangement, when he reviewed a book of Ludwig August Seeber on the theory of reduction of positive ternary quadratic forms. Having noticed some lacks in Seeber's proof, he simplified many of his arguments, proved the central conjecture, and remarked that this theorem is equivalent to the Kepler conjecture for regular arrangements.

In two papers on biquadratic residues (1828, 1832) Gauss introduced the ring of Gaussian integers $\mathbb {Z} [i]$, showed that it is a unique factorization domain. and generalized some key arithmetic concepts, such as Fermat's little theorem and Gauss's lemma. The main objective of introducing this ring was to formulate the law of biquadratic reciprocity – as Gauss discovered, rings of complex integers are the natural setting for such higher reciprocity laws.

In the second paper, he stated the general law of biquadratic reciprocity and proved several special cases of it. In an earlier publication from 1818 containing his fifth and sixth proofs of quadratic reciprocity, he claimed the techniques of these proofs (Gauss sums) can be applied to prove higher reciprocity laws.

Analysis

One of Gauss's first discoveries was the notion of the arithmetic-geometric mean (AGM) of two positive real numbers. He discovered its relation to elliptic integrals in the years 1798–1799 through the Landen's transformation, and a diary entry recorded the discovery of the connection of Gauss's constant to lemniscatic elliptic functions, a result that Gauss stated that "will surely open an entirely new field of analysis". He also made early inroads into the more formal issues of the foundations of complex analysis, and from a letter to Bessel in 1811 it is clear that he knew the "fundamental theorem of complex analysis" – Cauchy's integral theorem – and understood the notion of complex residues when integrating around poles.

Euler's pentagonal numbers theorem, together with other researches on the AGM and lemniscatic functions, led him to plenty of results on Jacobi theta functions, culminating in the discovery in 1808 of the later called Jacobi triple product identity, which includes Euler's theorem as a special case. His works show that he knew modular transformations of order 3, 5, 7 for elliptic functions since 1808.

Several mathematical fragments in his Nachlass indicate that he knew parts of the modern theory of modular forms. In his work on the multivalued AGM of two complex numbers, he discovered a deep connection between the infinitely many values of the AGM to its two "simplest values". In his unpublished writings he recognized and made a sketch of the key concept of fundamental domain for the modular group. One of Gauss's sketches of this kind was a drawing of a tessellation of the unit disk by "equilateral" hyperbolic triangles with all angles equal to $\pi /4$.

An example of Gauss's insight in the fields of analysis is the cryptic remark that the principles of circle division by compass and straightedge can also be applied to the division of the lemniscate curve, which inspired Abel's theorem on lemniscate division. Another example is his publication "Summatio quarundam serierum singularium" (1811) on the determination of the sign of quadratic Gauss sum, in which he solved the main problem by introducing q-analogs of binomial coefficients and manipulating them by several original identities that seem to stem out of his work on elliptic functions theory; however, Gauss cast his argument in a formal way that does not reveal its origin in elliptic functions theory, and only the later work of mathematicians such as Jacobi and Hermite has exposed the crux of his argument.

In the "Disquisitiones generales circa series infinitam..." (1813), he provides the first systematic treatment of the general hypergeometric function $F(\alpha ,\beta ,\gamma ,x)$, and shows that many of the functions known at the time are special cases of the hypergeometric function. This work is the first one with an exact inquiry of convergence of infinite series in the history of mathematics. Furthermore, it deals with infinite continued fractions arising as ratios of hypergeometric functions which are now called Gauss continued fractions.

In 1823, Gauss won the prize of the Danish Society with an essay on conformal mappings, which contains several developments that pertain to the field of complex analysis. Gauss stated that angle-preserving mappings in the complex plane must be complex analytic functions, and used the later called Beltrami equation to prove the existence of isothermal coordinates on analytic surfaces. The essay concludes with examples of conformal mappings into a sphere and an ellipsoid of revolution.

Numeric analysis

Gauss often deduced theorems inductively from numerical data he had collected empirically. As such, the use of efficient algorithms to facilitate calculations was vital to his research, and he made many contributions to numeric analysis, as the method of Gaussian quadrature published in 1816.

In a private letter to Gerling from 1823, he described a solution of a 4X4 system of linear equations by using Gauss-Seidel method – an "indirect" iterative method for the solution of linear systems, and recommended it over the usual method of "direct elimination" for systems of more than two equations.

Gauss invented an algorithm for calculating what is now called discrete Fourier transforms, when calculating the orbits of Pallas and Juno in 1805, 160 years before Cooley and Tukey found their similar Cooley–Tukey FFT algorithm. He developed it as a trigonometric interpolation method, but the paper Theoria Interpolationis Methodo Nova Tractata was published only posthumously in 1876, preceded by the first presentation by Joseph Fourier on the subject in 1807.

Chronology

The first publication following the doctoral thesis dealt with the determination of the date of Easter (1800), an elementary matter of mathematics. Gauss aimed to present a most convenient algorithm for people without any knowledge of ecclesiastical or even astronomical chronology, and thus avoided the usually required terms of golden number, epact, solar cycle, domenical letter, and any religious connotations. Biographers speculated on the reason why Gauss dealt with this matter, but it is likely comprehensible by the historical background. The replacement of the Julian calendar by the Gregorian calendar had caused confusion in the Holy Roman Empire since the 16th century and was not finished in Germany until 1700 when the difference of eleven days was deleted, but the difference in calculating the date of Easter remained between Protestant and Catholic territories. A further agreement of 1776 equalized the confessional way of counting; thus in the Protestant states like the Duchy of Brunswick the Easter of 1777, five weeks before Gauss's birth, was the first one calculated in the new manner. The public difficulties of replacement may be the historical background for the confusion on this matter in the Gauss family (see chapter: Anecdotes). For being connected with the Easter regulations, an essay on the date of Pesach followed soon in 1802.

Astronomy

Podrobnější informace naleznete na stránce Discovery of Ceres.

Carl Friedrich Gauss 1803 by Johann Christian August Schwartz

On 1 January 1801, Italian astronomer Giuseppe Piazzi discovered a new celestial object, presumed it to be the long searched planet between Mars and Jupiter according to the so-called Titius–Bode law, and named it Ceres. He could track it only for a short time until it disappeared behind the glare of the Sun. The mathematical tools of the time were not sufficient to extrapolate a position from the few data for its reappearance. Gauss tackled the problem and predicted a position for possible rediscovery in December 1801. This turned out to be accurate within a half-degree when Franz Xaver von Zach on 7 and 31 December at Gotha, and independently Heinrich Olbers on 1 and 2 January in Bremen, identified the object near the predicted position.

Gauss's method leads to an equation of the eighth degree, of which one solution, the Earth's orbit, is known. The solution sought is then separated from the remaining six based on physical conditions. In this work, Gauss used comprehensive approximation methods which he created for that purpose.

The discovery of Ceres led Gauss to the theory of the motion of planetoids disturbed by large planets, eventually published in 1809 as Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientum. It introduced the Gaussian gravitational constant.

Since the new asteroids had been discovered, Gauss occupied himself with the perturbations of their orbital elements. Firstly he examined Ceres with analytical methods similar to those of Laplace, but his favorite object was Pallas, because of its great eccentricity and orbital inclination, whereby Laplace's method did not work. Gauss used his own tools: the arithmetic–geometric mean, the hypergeometric function, and his method of interpolation. He found an orbital resonance with Jupiter in proportion 18:7 in 1812; Gauss gave this result as cipher, and gave the explicit meaning only in letters to Olbers and Bessel. After long years of work, he finished it in 1816 without a result that seemed sufficient to him. This marked the end of his activities in theoretical astronomy.

Göttingen observatory seen from the North-west (by Friedrich Besemann, Šablona:Circa)

One fruit of Gauss's research on Pallas perturbations was the Determinatio Attractionis... (1818) on a method of theoretical astronomy that later became known as the "elliptic ring method". It introduced an averaging conception in which a planet in orbit is replaced by a fictitious ring with mass density proportional to the time taking the planet to follow the corresponding orbital arcs. Gauss presents the method of evaluating the gravitational attraction of such an elliptic ring, which includes several steps; one of them involves a direct application of the arithmetic-geometric mean (AGM) algorithm to calculate an elliptic integral.

While Gauss's contributions to theoretical astronomy came to an end, more practical activities in observational astronomy continued and occupied him during his entire career. Even early in 1799, Gauss dealt with the determination of longitude by use of the lunar parallax, for which he developed more convenient formulas than those were in common use. After appointment as director of observatory he attached importance to the fundamental astronomical constants in correspondence with Bessel. Gauss himself provided tables for nutation and aberration, the solar coordinates, and refraction. He made many contributions to spherical geometry, and in this context solved some practical problems about navigation by stars. He published a great number of observations, mainly on minor planets and comets; his last observation was the solar eclipse of 28 July 1851.

Theory of errors

Gauss likely used the method of least squares for calculating the orbit of Ceres to minimize the impact of measurement error. The method was published first by Adrien-Marie Legendre in 1805, but Gauss claimed in Theoria motus (1809) that he had been using it since 1794 or 1795. In the history of statistics, this disagreement is called the "priority dispute over the discovery of the method of least squares". Gauss proved that the method has the lowest sampling variance within the class of linear unbiased estimators under the assumption of normally distributed errors (Gauss–Markov theorem), in the two-part paper Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae (1823).

In the first paper he proved Gauss's inequality (a Chebyshev-type inequality) for unimodal distributions, and stated without proof another inequality for moments of the fourth order (a special case of Gauss-Winckler inequality). He derived lower and upper bounds for the variance of sample variance. In the second paper, Gauss described recursive least squares methods. His work on the theory of errors was extended in several directions by the geodesist Friedrich Robert Helmert to the Gauss-Helmert model.

Gauss also contributed to problems in probability theory that are not directly concerned with the theory of errors. One example appears as a diary note where he tried to describe the asymptotic distribution of entries in the continued fraction expansion of a random number uniformly distributed in (0,1). He derived this distribution, now known as the Gauss-Kuzmin distribution, as a by-product of the discovery of the ergodicity of the Gauss map for continued fractions. Gauss's solution is the first-ever result in the metrical theory of continued fractions.

Arc measurement and geodetic survey

Order of King George IV from 9 May 1820 to the triangulation project (with the additional signature of Count Ernst zu Münster below)

The heliotrope

Gauss's vice heliotrope, a Troughton sextant with additional mirror

Gauss was busy with geodetic problems since 1799 when he helped Karl Ludwig von Lecoq with calculations during his survey in Westphalia. Beginning in 1804, he taught himself some geodetic practice with a sextant in Brunswick, and Göttingen.

Since 1816, Gauss's former student Heinrich Christian Schumacher, then professor in Copenhagen, but living in Altona (Holstein) near Hamburg as head of an observatory, carried out a triangulation of the Jutland peninsula from Skagen in the north to Lauenburg in the south. This project was the basis for map production but also aimed at determining the geodetic arc between the terminal sites. Data from geodetic arcs were used to determine the dimensions of the earth geoid, and long arc distances brought more precise results. Schumacher asked Gauss to continue this work further to the south in the Kingdom of Hanover; Gauss agreed after a short time of hesitation. Finally, in May 1820, King George IV gave the order to Gauss.

An arc measurement needs a precise astronomical determination of at least two points in the network. Gauss and Schumacher used the favourite occasion that both observatories in Göttingen and Altona, in the garden of Schumacher's house, laid nearly in the same longitude. The latitude was measured with both their instruments and a zenith sector of Ramsden that was transported to both observatories.

Gauss and Schumacher had already determined some angles between Lüneburg, Hamburg, and Lauenburg for the geodetic connection in October 1818. During the summers of 1821 until 1825 Gauss directed the triangulation work personally, from Thuringia in the south to the river Elbe in the north. The triangle between Hoher Hagen, Großer Inselsberg in the Thuringian Forest, and Brocken in the Harz mountains was the largest one Gauss had ever measured with a maximum size of 107 km (66,5 mil). In the thinly populated Lüneburg Heath without significant natural summits or artificial buildings, he had difficulties finding suitable triangulation points; sometimes cutting lanes through the vegetation was necessary.

For pointing signals, Gauss invented a new instrument with movable mirrors and a small telescope that reflects the sunbeams to the triangulation points, and named it heliotrope. Another suitable construction for the same purpose was a sextant with an additional mirror which he named vice heliotrope. Gauss got assistance by soldiers of the Hanoverian army, among them his eldest son Joseph. Gauss took part in the baseline measurement (Braak Base Line) of Schumacher in the village of Braak near Hamburg in 1820, and used the result for the evaluation of the Hanoverian triangulation.

An additional result was a better value of flattening of the approximative Earth ellipsoid. Gauss developed the universal transverse Mercator projection of the ellipsoidal shaped Earth (what he named conform projection) for representing geodetical data in plane charts.

When the arc measurement was finished, Gauss began the enlargement of the triangulation to the west to get a survey of the whole Kingdom of Hanover with a Royal decree from 25 March 1828. The practical work was directed by three army officers, among them Lieutenant Joseph Gauss. The complete data evaluation laid in the hands of Gauss, who applied his mathematical inventions such as the method of least squares and the elimination method to it. The project was finished in 1844, and Gauss sent a final report of the project to the government; his method of projection was not edited until 1866.

In 1828, when studying differences in latitude, Gauss first defined a physical approximation for the figure of the Earth as the surface everywhere perpendicular to the direction of gravity; later his doctoral student Johann Benedict Listing called this the geoid.

Differential geometry

Podrobnější informace naleznete na stránce Theorema Egregium.

The geodetic survey of Hanover fuelled Gauss's interest in differential geometry and topology, fields of mathematics dealing with curves and surfaces. This led him in 1828 to the publication of a memoir that marks the birth of modern differential geometry of surfaces, as it departed from the traditional ways of treating surfaces as cartesian graphs of functions of two variables, and that initiated the exploration of surfaces from the "inner" point of view of a two-dimensional being constrained to move on it. As a result, the Theorema Egregium (remarkable theorem), established a property of the notion of Gaussian curvature. Informally, the theorem says that the curvature of a surface can be determined entirely by measuring angles and distances on the surface, regardless of the embedding of the surface in three-dimensional or two-dimensional space.

The Theorema Egregium leads to the abstraction of surfaces as doubly-extended manifolds; it clarifies the distinction between the intrinsic properties of the manifold (the metric) and its physical realization in ambient space. A consequence is the impossibility of an isometric transformation between surfaces of different Gaussian curvature. This means practically that a sphere or an ellipsoid cannot be transformed to a plane without distortion, which causes a fundamental problem in designing projections for geographical maps. A portion of this essay is dedicated to a profound study of geodesics. In particular, Gauss proves the local Gauss–Bonnet theorem on geodesic triangles, and generalizes Legendre's theorem on spherical triangles to geodesic triangles on arbitrary surfaces with continuous curvature; he found that the angles of a "sufficiently small" geodesic triangle deviate from that of a planar triangle of the same sides in a way that depends only on the values of the surface curvature at the vertices of the triangle, regardless of the behaviour of the surface in the triangle interior.

Gauss's memoir from 1828 lacks the conception of geodesic curvature. However, in a previously unpublished manuscript, very likely written in 1822–1825, he introduced the term "side curvature" (German: "Seitenkrümmung") and proved its invariance under isometric transformations, a result that was later obtained by Ferdinand Minding and published by him in 1830. This Gauss paper contains the core of his lemma on total curvature, but also its generalization, found and proved by Pierre Ossian Bonnet in 1848 and known as Gauss–Bonnet theorem.

Non-Euclidean geometry

Podrobnější informace naleznete na stránce Non-Euclidean geometry.

Lithography by Siegfried Bendixen (1828)

In the lifetime of Gauss, a vivid discussion on the Parallel postulate in Euclidean geometry was going on. Numerous efforts were made to prove it in the frame of the Euclidean axioms, whereas some mathematicians discussed the possibility of geometrical systems without it. Gauss thought about the basics of geometry since the 1790s years, but in the 1810s he realized that a non-Euclidean geometry without the parallel postulate could solve the problem. In a letter to Franz Taurinus of 1824, he presented a short comprehensible outline of what he named a "non-Euclidean geometry", but he strongly forbade Taurinus to make any use of it. Gauss is credited with having been the one to first discover and study non-Euclidean geometry, even coining the term as well.

The first publications on non-Euclidean geometry in the history of mathematics were authored by Nikolai Lobachevsky in 1829 and Janos Bolyai in 1832. In the following years, Gauss wrote his ideas on the topic but did not publish them, thus avoiding influencing the contemporary scientific discussion. Gauss commended the ideas of Janos Bolyai in a letter to his father and university friend Farkas Bolyai claiming that these were congruent to his own thoughts of some decades. However, it is not quite clear to what extent he preceded Lobachevsky and Bolyai, as his letter remarks are only vague and obscure.

Sartorius mentioned Gauss's work on non-Euclidean geometry firstly in 1856, but only the edition of left papers in Volume VIII of the Collected Works (1900) showed Gauss's ideas on that matter, at a time when non-Euclidean geometry had yet grown out of controversial discussion.

Early topology

Gauss was also an early pioneer of topology or Geometria Situs, as it was called in his lifetime. The first proof of the fundamental theorem of algebra in 1799 contained an essentially topological argument; fifty years later, he further developed the topological argument in his fourth proof of this theorem.

Gauss bust by Heinrich Hesemann (1855)

Another encounter with topological notions occurred to him in the course of his astronomical work in 1804, when he determined the limits of the region on the celestial sphere in which comets and asteroids might appear, and which he termed "Zodiacus". He discovered that if the Earth's and comet's orbits are linked, then by topological reasons the Zodiacus is the entire sphere. In 1848, in the context of the discovery of the asteroid 7 Iris, he published a further qualitative discussion of the Zodiacus.

In Gauss's letters of 1820–1830, he thought intensively on topics with close affinity to Geometria Situs, and became gradually conscious of semantic difficulty in this field. Fragments from this period reveal that he tried to classify "tract figures", which are closed plane curves with a finite number of transverse self-intersections, that may also be planar projections of knots. To do so he devised a symbolical scheme, the Gauss code, that in a sense captured the characteristic features of tract figures.

In a fragment from 1833, Gauss defined the linking number of two space curves by a certain double integral, and in doing so provided for the first time an analytical formulation of a topological phenomenon. On the same note, he lamented the little progress made in Geometria Situs, and remarked that one of its central problems will be "to count the intertwinings of two closed or infinite curves". His notebooks from that period reveal that he was also thinking about other topological objects such as braids and tangles.

Gauss's influence in later years to the emerging field of topology, which he held in high esteem, was through occasional remarks and oral communications to Mobius and Listing.

Minor mathematical accomplishments

Gauss applied the concept of complex numbers to solve well-known problems in a new concise way. For example, in a short note from 1836 on geometric aspects of the ternary forms and their application to crystallography, he stated the fundamental theorem of axonometry, which tells how to represent a 3D cube on a 2D plane with complete accuracy, via complex numbers. He described rotations of this sphere as the action of certain linear fractional transformations on the extended complex plane, and gave a proof for the geometric theorem that the altitudes of a triangle always meet in a single orthocenter.

Gauss was concerned with John Napier's "Pentagramma mirificum" – a certain spherical pentagram – for several decades; he approached it from various points of view, and gradually gained a full understanding of its geometric, algebraic, and analytic aspects. In particular, in 1843 he stated and proved several theorems connecting elliptic functions, Napier spherical pentagons, and Poncelet pentagons in the plane.

Furthermore, he contributed a solution to the problem of constructing the largest-area ellipse inside a given quadrilateral, and discovered a surprising result about the computation of area of pentagons.

Magnetism and telegraphy

Geomagnetism

Gauss-Weber monument in Göttingen by Ferdinand Hartzer (1899)

The Gauss–Weber magnetometer

Gauss had been interested in magnetism since 1803. After Alexander von Humboldt visited Göttingen in 1826, both scientists began intensive research on geomagnetism, partly independently, partly in productive cooperation. In 1828, Gauss was Humboldt's guest during the conference of the Society of German Natural Scientists and Physicians in Berlin, where he got acquainted with the physicist Wilhelm Weber.

When Weber got the chair for physics in Göttingen as successor of Johann Tobias Mayer by Gauss's recommendation in 1831, both of them started a fruitful collaboration, leading to a new knowledge of magnetism with a representation for the unit of magnetism in terms of mass, charge, and time. They founded the Magnetic Association (German: Magnetischer Verein), an international working group of several observatories, which supported measurements of Earth's magnetic field in many regions of the world with equal methods at arranged dates in the years 1836 to 1841.

In 1836, Humboldt suggested the establishment of a worldwide net of geomagnetic stations in the British dominions with a letter to the Duke of Sussex, then president of the Royal Society; he proposed that magnetic measures should be taken under standardized conditions using his methods. Together with other instigators, this led to a global program known as "Magnetical crusade" under the direction of Edward Sabine. The dates, times, and intervals of observations were determined in advance, the Göttingen mean time was used as the standard. 61 stations on all five continents participated in this global program. Gauss and Weber founded a series for publication of the results, six volumes were edited between 1837 and 1843. Weber's departure to Leipzig in 1843 as late effect of the Göttingen Seven affair marked the end of Magnetic Association activity.

Following Humboldt's example, Gauss ordered a magnetic observatory to be built in the garden of the observatory, but the scientists differed over instrumental equipment; Gauss preferred stationary instruments, which he thought to give more precise results, whereas Humboldt was accustomed to movable instruments. Gauss was interested in the temporal and spatial variation of magnetic declination, inclination, and intensity, but discriminated Humboldt's concept of magnetic intensity to the terms of "horizontal" and "vertical" intensity. Together with Weber, he developed methods of measuring the components of the intensity of the magnetic field and constructed a suitable magnetometer to measure absolute values of the strength of the Earth's magnetic field, not more relative ones that depended on the apparatus. The precision of the magnetometer was about ten times higher than of previous instruments. With this work, Gauss was the first to derive a non-mechanical quantity by basic mechanical quantities.

Gauss carried out a General Theory of Terrestrial Magnetism (1839), in what he believed to describe the nature of magnetic force; according to Felix Klein, this work is a presentation of observations by use of spherical harmonics rather than a physical theory. The theory predicted the existence of exactly two magnetic poles on the Earth, thus Hansteen's idea of four magnetic poles became obsolete, and the data allowed to determine their location with rather good precision.

Gauss influenced the beginning of geophysics in Russia, when Adolph Theodor Kupffer, one of his former students, founded a magnetic observatory in St. Petersburg, following the example of the observatory in Göttingen, and similarly, Ivan Simonov in Kazan.

Electromagnetism

Town plan of Göttingen with course of the telegraphic connection

The discoveries of Hans Christian Ørsted on electromagnetism and Michael Faraday on electromagnetic induction drew Gauss's attention to these matters. Gauss and Weber found rules for branched electric circuits, which were later found independently and firstly published by Gustav Kirchhoff and benamed after him as Kirchhoff's circuit laws, and made inquiries on electromagnetism. They constructed the first electromechanical telegraph in 1833, and Weber himself connected the observatory with the institute for physics in the town centre of Göttingen, but they did not care for any further development of this invention for commercial purposes.

Gauss's main theoretical interests in electromagnetism were reflected in his attempts to formulate quantitive laws governing electromagnetic induction. In notebooks from these years, he recorded several innovative formulations; he discovered the idea of vector potential function (independently rediscovered by Franz Ernst Neumann in 1845), and in January 1835 he wrote down an "induction law" equivalent to Faraday's law, which stated that the electromotive force at a given point in space is equal to the instantaneous rate of change (with respect to time) of this function.

Gauss tried to find a unifying law for long-distance effects of electrostatics, electrodynamics, electromagnetism, and induction, comparable to Newton's law of gravitation, but his attempt ended in a "tragic failure".

Potential theory

Since Isaac Newton had shown theoretically that the Earth and rotating stars assume non-spherical shapes, the problem of attraction of ellipsoids gained importance in mathematical astronomy. In his first publication on potential theory, the "Theoria attractionis..." (1813), Gauss provided a closed-form expression to the gravitational attraction of a homogeneous triaxial ellipsoid at every point in space. In contrast to previous research of Maclaurin, Laplace and Lagrange, Gauss's new solution treated the attraction more directly in the form of an elliptic integral. In the process, he also proved and applied some special cases of the so-called Gauss's theorem in vector analysis.

In the General theorems concerning the attractive and repulsive forces acting in reciprocal proportions of quadratic distances (1840) Gauss gave the baseline of a theory of the magnetic potential, based on Lagrange, Laplace, and Poisson; it seems rather unlikely that he knew the previous works of George Green on this subject. However, Gauss could never give any reasons for magnetism, nor a theory of magnetism similar to Newton's work on gravitation, that enabled scientists to predict geomagnetic effects in the future.

Optics

Gauss's calculations enabled instrument maker Johann Georg Repsold in Hamburg to construct a new achromatic lens system in 1810. A main problem, among other difficulties, was the nonprecise knowledge of the refractive index and dispersion of the used glass types. In a short article from 1817 Gauss dealt with the problem of removal of chromatic aberration in double lenses, and computed adjustments of the shape and coefficients of refraction required to minimize it. His work was noted by the optician Carl August von Steinheil, who in 1860 introduced the achromatic Steinheil doublet, partly based on Gauss's calculations. Many results in geometrical optics are only scattered in Gauss's correspondences and hand notes.

In the Dioptrical Investigations (1840), Gauss gave the first systematic analysis on the formation of images under a paraxial approximation (Gaussian optics). He characterized optical systems under a paraxial approximation only by its cardinal points, and he derived the Gaussian lens formula, applicable without restrictions in respect to the thickness of the lenses.

Mechanics

Gauss's first business in mechanics concerned the earth's rotation. When his university friend Benzenberg carried out experiments to determine the deviation of falling masses from the perpendicular in 1802, what today is known as an effect of the Coriolis force, he asked Gauss for a theory-based calculation of the values for comparison with the experimental ones. Gauss elaborated a system of fundamental equations for the motion, and the results corresponded sufficiently with Benzenberg's data, who added Gauss's considerations as an appendix to his book on falling experiments.

After Foucault had demonstrated the earth's rotation by his pendulum experiment in public in 1851, Gerling questioned Gauss for further explanations. This instigated Gauss to design a new apparatus for demonstration with a much shorter length of pendulum than Foucault's one. The oscillations were observed with a reading telescope, with a vertical scale and a mirror fastened at the pendulum. It is described in the Gauss–Gerling correspondence and Weber made some experiments with this apparatus in 1853, but no data were published.

Gauss's principle of least constraint of 1829 was established as a general concept to overcome the division of mechanics into statics and dynamics, combining D'Alembert's principle with Lagrange's principle of virtual work, and showing analogies to the method of least squares.  

Metrology

In 1828, Gauss was appointed to head of a Board for weights and measures of the Kingdom of Hanover. He provided the creation of standards of length and measures. Gauss himself took care of the time-consuming measures and gave detailed orders for the mechanical preparation. In the correspondence with Schumacher, who was also working on this matter, he described new ideas for scales of high precision. He submitted the final reports on the Hanoverian foot and pound to the government in 1841. This work got more than regional importance by the order of a law of 1836 that connected the Hanoverian measures with the English ones.

;dewiki

Im Alter von 18 Jahren gelang es Gauß als Erstem, die Möglichkeit zur Konstruktion mit Zirkel und Lineal des regelmäßigen Siebzehnecks zu beweisen, und zwar auf Basis einer rein algebraischen Überlegung – eine sensationelle Entdeckung; denn seit der Antike hatte es auf diesem Gebiet kaum noch Fortschritte gegeben. Danach konzentrierte er sich auf das Studium der Mathematik, das er 1799 mit seiner Doktorarbeit an der Universität Helmstedt abschloss. Die Mathematik war vertreten durch Johann Friedrich Pfaff, der sein Doktorvater wurde. Und der Herzog von Braunschweig legte Wert darauf, dass Gauß nicht an einer „ausländischen“ Universität promoviert werden sollte. odkaz=https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Carl_Friedrich_Gau%C3%9F,_Pastellgem%C3%A4lde_von_Johann_Christian_August_Schwartz,_1803,_ohne_Rahmen.jpg|náhled|Carl Friedrich Gauß 1803 von Johann Christian August Schwartz

Ehen, Familie und Kinder

Im November 1804 verlobte er sich mit der von ihm länger umworbenen Johanna Elisabeth Rosina Osthoff (* 8. Mai 1780; † 11. Oktober 1809), der Tochter eines Weißgerbers aus Braunschweig, und heiratete sie am 9. Oktober 1805. Am 21. August 1806 wurde in Braunschweig ihr erstes Kind geboren, Joseph Gauß († 4. Juli 1873). Seinen Vornamen bekam der Sohn nach Giuseppe Piazzi, dem Entdecker der Ceres, eines Kleinplaneten, dessen Wiederauffindung 1801 Gauß’ Bahnberechnung ermöglicht hatte.

Schon bald nach dem Umzug der Familie nach Göttingen wurde am 29. Februar 1808 die Tochter Wilhelmine, genannt Minna, geboren, im folgenden Jahr am 10. September 1809 der Sohn Louis. Einen Monat danach, am 11. Oktober 1809, starb Johanna Gauß im Kindbett, Louis wenige Monate später am 1. März 1810. Durch den Tod Johannas fiel Gauß eine Zeit lang in eine Depression; aus dem Oktober 1809 stammt eine von Gauß verfasste bewegende Klage, die in seinem Nachlass gefunden wurde. Der Finder war Carl August Gauß (1849–1927), sein einziger in Deutschland geborener Enkel, Sohn von Joseph und Besitzer des Guts Lohne bei Hannover. Wilhelmine heiratete den Orientalisten Heinrich Ewald, der später als einer der Göttinger Sieben das Königreich Hannover verließ und Professor an der Universität Tübingen wurde. [[Datei:Therese_Gauss.jpg|odkaz=https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Therese_Gauss.jpg%7Cnáhled%7CTherese Gauß]] Am 4. August 1810 heiratete der Witwer, der zwei kleine Kinder zu versorgen hatte, Friederica Wilhelmine Waldeck (genannt Minna; * 15. April 1788; † 12. September 1831), Tochter des Göttinger Rechtswissenschaftlers Johann Peter Waldeck, die die beste Freundin seiner verstorbenen Frau gewesen war. Mit ihr hatte er drei Kinder. Eugen Gauß zerstritt sich als Student der Rechte mit seinem Vater und wanderte 1830 nach Amerika aus, wo er als Kaufmann lebte und die „First National Bank“ von St. Charles gründete. Wilhelm Gauß folgte Eugen 1837 in die Vereinigten Staaten und brachte es ebenfalls zu Wohlstand. Seine jüngste Tochter Therese Staufenau führte ihrem Vater nach dem Tod der Mutter bis zu seinem Tod den Haushalt. Minna Gauß war nach 13-jähriger Leidenszeit an Tuberkulose verstorben.

Begründung und Beiträge zur nicht-euklidischen Geometrie

[[Datei:Bendixen_-_Carl_Friedrich_Gauß,_1828.jpg|odkaz=https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Bendixen_-_Carl_Friedrich_Gau%C3%9F,_1828.jpg%7Cnáhled%7CLithographie von Gauß in den Astronomischen Nachrichten, 1828 von Bendixen]] Gauß misstraute bereits mit zwölf Jahren der Beweisführung in der elementaren Geometrie und ahnte mit sechzehn Jahren, dass es neben der euklidischen Geometrie noch eine nichteuklidische Geometrie geben müsse.

Diese Arbeiten vertiefte er in den 1820er Jahren: Unabhängig von János Bolyai und Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski bemerkte er, dass Euklids Parallelenaxiom nicht denknotwendig ist. Seine Gedanken zur nichteuklidischen Geometrie veröffentlichte er jedoch nicht, nach den Berichten seiner Vertrauten vermutlich aus Furcht vor dem Unverständnis der Zeitgenossen. Als ihm sein Studienfreund Wolfgang Bolyai, mit dem er korrespondierte, allerdings von den Arbeiten seines Sohnes János Bolyai berichtete, lobte er ihn zwar, konnte es aber nicht unterlassen zu erwähnen, dass er selbst schon sehr viel früher darauf gekommen war („[die Arbeit Deines Sohnes] loben hiesse mich selbst loben“). Er habe darüber nichts veröffentlicht, da er „das Geschrei der Böotier scheue“.

Lobatschewskis Arbeiten fand Gauß so interessant, dass er noch in fortgeschrittenem Alter die Russische Sprache lernte, um sie zu studieren.

Primzahlverteilung und Methode der kleinsten Quadrate

Mit 18 Jahren entdeckte er einige Eigenschaften der Primzahlverteilung und fand die Methode der kleinsten Quadrate, bei der es darum geht, die Summe der Quadrate von Abweichungen zu minimieren. Er sah vorläufig von einer Veröffentlichung ab. Nachdem Adrien-Marie Legendre 1805 seine „Méthode des moindres carrés“ in einer Abhandlung veröffentlicht hatte und Gauß seine Ergebnisse erst 1809 bekannt machte, entstand daraus ein Prioritätsstreit.

Nach dieser Methode lässt sich etwa das wahrscheinlichste Ergebnis für eine neue Messung aus einer genügend großen Zahl vorheriger Messungen ermitteln. Auf dieser Basis untersuchte er später Theorien zur Berechnung von Flächeninhalten unter Kurven (numerische Integration), die ihn zur gaußschen Glockenkurve gelangen ließen. Die zugehörige Funktion ist bekannt als die Dichte der Normalverteilung und wird bei vielen Aufgaben zur Wahrscheinlichkeitsrechnung angewandt, wo sie die (asymptotische, das heißt für genügend große Datenmengen gültige) Verteilungsfunktion der Summe von zufällig um einen Mittelwert streuenden Daten ist. Gauß selbst machte davon unter anderem in seiner erfolgreichen Verwaltung der Witwen- und Waisenkasse der Göttinger Universität Gebrauch. Er stellte über mehrere Jahre eine gründliche Analyse an, in der er zu dem Schluss kam, dass die Pensionen leicht erhöht werden konnten. Damit legte Gauß auch Grundlagen in der Versicherungsmathematik.

Einführung der elliptischen Funktionen

Als 19-Jähriger führte er 1796, bei Betrachtungen über die Bogenlänge auf einer Lemniskate in Abhängigkeit von der Entfernung des Kurvenpunktes zum Ursprung, mit den lemniskatischen Sinusfunktionen die historisch ersten, heute so genannten elliptischen Funktionen ein. Seine Notizen darüber hat er jedoch nie veröffentlicht. Diese Arbeiten stehen in Zusammenhang mit seiner Untersuchung des arithmetisch-geometrischen Mittels. Die eigentliche Entwicklung der Theorie der elliptischen Funktionen, den Umkehrfunktionen der schon länger bekannten elliptischen Integrale, erfolgte durch Niels Henrik Abel (1827) und Carl Gustav Jacobi. [[Datei:Carl_Friedrich_Gauß,_003.jpg|odkaz=https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Carl_Friedrich_Gau%C3%9F,_003.jpg%7Cnáhled%7CGauß, Skizze seines Freundes Johann Benedict Listing, 1830]]

Fundamentalsatz der Algebra, Beiträge zur Verwendung komplexer Zahlen

Gauß erfasste früh den Nutzen komplexer Zahlen, so in seiner Doktorarbeit von 1799, die einen Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra enthält. Dieser Satz besagt, dass jede algebraische Gleichung mit Grad größer als null mindestens eine reelle oder komplexe Lösung besitzt. Den älteren Beweis von Jean-Baptiste le Rond d’Alembert kritisierte Gauß als ungenügend, aber auch sein eigener Beweis erfüllt noch nicht die späteren Ansprüche an topologische Strenge. Gauß kam auf den Beweis des Fundamentalsatzes noch mehrfach zurück und gab neue Beweise 1815 und 1816.

Gauß kannte spätestens 1811 die geometrische Darstellung komplexer Zahlen in einer Zahlenebene (gaußsche Zahlenebene), die schon Jean-Robert Argand 1806 und Caspar Wessel 1797 gefunden hatten. In dem Brief an Bessel, in dem er dies mitteilt, wurde auch deutlich, dass er weitere wichtige Konzepte der Funktionentheorie wie das Kurvenintegral im Komplexen und den Cauchyschen Integralsatz kannte und erste Ansätze zu Perioden von Integralen. Er veröffentlichte darüber aber nichts bis 1831, als er in seinem Aufsatz zur Zahlentheorie Theoria biquadratorum den Namen komplexe Zahl einführte. In der Veröffentlichung der Begründung der komplexen Analysis war ihm inzwischen Augustin-Louis Cauchy (1821, 1825) zuvorgekommen. 1849 veröffentlicht er zu seinem Goldenen Doktorjubiläum eine verbesserte Version seiner Dissertation zum Fundamentalsatz der Algebra, in der er im Gegensatz zur ersten Version explizit komplexe Zahlen benutzt.

Beiträge zur Zahlentheorie

odkaz=https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Gau%C3%9F_17-Eck.gif|náhled|Mitteilung der Konstruier­bar­keit im Intelligenz­blatt der All­ge­meinen Literatur-Zeitung (1796) odkaz=https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Braunschweig_Gauss-Denkmal_17-eckiger_Stern.jpg|náhled|17-Eck-Stern am Braunschweiger Gaußdenkmal Am 30. März 1796, einen Monat vor seinem neunzehnten Geburtstag, bewies er die Konstruierbarkeit des regelmäßigen Siebzehnecks und lieferte damit die erste nennenswerte Ergänzung euklidischer Konstruktionen seit 2000 Jahren. Dies war aber nur ein Nebenergebnis bei der Arbeit für sein zahlentheoretisch viel weiterreichendes Werk Disquisitiones Arithmeticae.

Eine erste Ankündigung dieses Werkes fand sich am 1. Juni 1796 im Intelligenzblatt der Allgemeinen Literatur-Zeitung in Jena. Die 1801 erschienenen Disquisitiones wurden grundlegend für die weitere Entwicklung der Zahlentheorie, zu der einer seiner Hauptbeiträge der Beweis des quadratischen Reziprozitätsgesetzes war, das die Lösbarkeit von quadratischen Gleichungen „mod p“ beschreibt und für das er im Laufe seines Lebens fast ein Dutzend verschiedene Beweise fand. Neben dem Aufbau der elementaren Zahlentheorie auf modularer Arithmetik findet sich eine Diskussion von Kettenbrüchen und der Kreisteilung, mit einer berühmten Andeutung über ähnliche Sätze bei der Lemniskate und anderen elliptischen Funktionen, die später Niels Henrik Abel und andere anregten. Einen Großteil des Werks nimmt die Theorie der quadratischen Formen ein, deren Geschlechtertheorie er entwickelt.

Es finden sich aber noch viele weitere tiefliegende Resultate, oft nur kurz angedeutet, in diesem Buch, die die Arbeit späterer Generationen von Zahlentheoretikern in vielfältiger Weise befruchteten. Der Zahlentheoretiker Peter Gustav Lejeune Dirichlet berichtete, er habe die Disquisitiones sein Leben lang bei der Arbeit stets griffbereit gehabt. Das Gleiche gilt für die beiden Arbeiten über biquadratische Reziprozitätsgesetze von 1825 und 1831, in denen er die gaußschen Zahlen einführt (ganzzahliges Gitter in komplexer Zahlenebene). Die Arbeiten sind wahrscheinlich Teil einer geplanten Fortsetzung der Disquisitiones, die aber nie erschien. Beweise für diese Gesetze gab dann Gotthold Eisenstein 1844.

André Weil regte die Lektüre dieser Arbeiten (und einiger Stellen im Tagebuch, wo es in versteckter Form um Lösung von Gleichungen über endlichen Körpern geht) nach seinen eigenen Angaben zu seinen Arbeiten über die Weil-Vermutungen an. Gauß kannte zwar den Primzahlsatz, veröffentlichte ihn aber nicht.

Gauß förderte auf diesem Gebiet eine der ersten Mathematikerinnen der Neuzeit, Sophie Germain. Gauß korrespondierte mit ihr ab 1804 über Zahlentheorie, wobei sie sich erst eines männlichen Pseudonyms bediente. Erst 1806 gab sie ihre weibliche Identität preis, als sie sich nach der Besetzung Braunschweigs bei dessen französischem Kommandanten für seine Sicherheit verwendete. Gauß lobte ihre Arbeit und ihr tiefes Verständnis der Zahlentheorie und bat sie, ihm für sein Preisgeld, das er mit dem Lalande-Preis erhielt, 1810 in Paris eine genaue Pendeluhr zu besorgen.

Beiträge zur Astronomie

Nach der Fertigstellung der Disquisitiones wandte sich Gauß der Astronomie zu. Anlass hierfür war die Entdeckung des Zwergplaneten Ceres durch Giuseppe Piazzi am 1. Januar 1801, dessen Position am Himmel der Astronom kurz nach seiner Entdeckung wieder verloren hatte. Der 24-jährige Gauß schaffte es, die Bahn mit Hilfe einer neuen indirekten Methode der Bahnbestimmung und seiner Ausgleichsrechnungen auf Basis der Methode der kleinsten Quadrate so zu berechnen, dass Franz Xaver von Zach ihn am 7. Dezember 1801 und – bestätigt – am 31. Dezember 1801 wiederfinden konnte. Heinrich Wilhelm Olbers bestätigte dies unabhängig von Zach durch Beobachtung am 1. und 2. Januar 1802.

Das Problem der Wiederauffindung der Ceres als solches lag darin, dass durch die Beobachtungen weder der Ort, ein Stück der Bahn, noch die Entfernung bekannt sind, sondern nur die Richtungen der Beobachtung. Dies führt auf die Suche einer Ellipse und nicht nach einem Kreis, wie ihn Gauß’ Konkurrenten ansetzten. Einer der Brennpunkte der Ellipse ist bekannt (die Sonne selbst), und die Bögen der Bahn der Ceres zwischen den Richtungen der Beobachtung werden nach dem zweiten Keplerschen Gesetz durchlaufen, das heißt, die Zeiten verhalten sich wie die vom Leitstrahl überstrichenen Flächen. Außerdem ist für die rechnerische Lösung bekannt, dass die Beobachtungen selbst von einem Kegelschnitt im Raum ausgehen, der Erdbahn selbst.

Im Grundsatz führt das Problem auf eine Gleichung achten Grades, deren triviale Lösung die Erdbahn selbst ist. Durch umfangreiche Nebenbedingungen und die von Gauß entwickelte Methode der kleinsten Quadrate gelang es dem 24-Jährigen, für die Bahn der Ceres für den 25. November bis 31. Dezember 1801 den von ihm berechneten Ort anzugeben. Damit konnte Zach am letzten Tag der Vorhersage Ceres wiederfinden. Der Ort lag nicht weniger als 7° (d. h. 13,5 Vollmondbreiten) östlich der Stelle, wo die anderen Astronomen Ceres vermutet hatten, was nicht nur Zach, sondern auch Olbers gebührend würdigte.

Diese Arbeiten, die Gauß noch vor seiner Ernennung zum Sternwarten-Direktor in Göttingen unternahm, machten ihn mehr noch als seine Zahlentheorie in Europa mit einem Schlag bekannt und verschafften ihm unter anderem eine Einladung an die Akademie nach Sankt Petersburg, deren korrespondierendes Mitglied er 1802 wurde.

Die in diesem Zusammenhang von Gauß gefundene iterative Methode wird noch heute angewandt, weil sie es einerseits ermöglicht, alle bekannten Kräfte ohne erheblichen Mehraufwand in das physikalisch-mathematische Modell einzubauen, und andererseits computertechnisch einfach handhabbar ist.

Gauß beschäftigte sich danach noch mit der Bahn des Asteroiden Pallas, auf deren Berechnung die Pariser Akademie ein Preisgeld ausgesetzt hatte, konnte die Lösung jedoch nicht finden. Seine Erfahrungen mit der Bahnbestimmung von Himmelskörpern mündeten jedoch 1809 in seinem Werk Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium.

Beiträge zur Potentialtheorie

In der Potentialtheorie und Physik ist der gaußsche Integralsatz (1835, veröffentlicht erst 1867) grundlegend. Er identifiziert in einem Vektorfeld das Integral der Divergenz (Ableitungsvektor angewandt auf das Vektorfeld) über ein Volumen mit dem Integral des Vektorfeldes über die Oberfläche dieses Volumens.

Landvermessung und Erfindung des Heliotrops

[[Datei:Gauß-Stein_Garlste.jpg|odkaz=https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Gau%C3%9F-Stein_Garlste.jpg%7Cnáhled%7CDer Gaußstein Garlste]] Auf dem Gebiet der Geodäsie sammelte Gauß zwischen 1797 und 1801 die ersten Erfahrungen, als er dem französischen Generalquartiermeister Lecoq bei dessen Landesvermessung des Herzogtums Westfalen als Berater zur Seite stand. 1816 wurde sein ehemaliger Schüler Heinrich Christian Schumacher vom König von Dänemark mit der Durchführung einer Breiten- und Längengradmessung in dänischem Gebiet beauftragt. Im Anschluss daran erhielt Gauss von 1820 bis 1826 die Leitung der Landesvermessung des Königreichs Hannover („gaußsche Landesaufnahme“), wobei ihm zeitweise sein Sohn Joseph assistierte, der in der Hannoverschen Armee als Artillerieoffizier tätig war. Diese Vermessung setzte die dänische auf hannoverschem Gebiet nach Süden fort, wobei Gauß die von Schumacher gemessene Braaker Basis mitbenutzte. Durch die von ihm erfundene Methode der kleinsten Quadrate und die systematische Lösung umfangreicher linearer Gleichungssysteme (gaußsches Eliminationsverfahren) gelang ihm eine erhebliche Steigerung der Genauigkeit. Auch für die praktische Durchführung interessierte er sich: Er erfand als Messinstrument das über Sonnenspiegel beleuchtete Heliotrop.

Gaußsche Krümmung und Geodäsie

[[Datei:DerGaussPunkt-Bremen.jpg|odkaz=https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:DerGaussPunkt-Bremen.jpg%7Cnáhled%7CDer Gauß’sche Punkt in Bremen]] In diesen Jahren beschäftigte er sich – angeregt durch die Geodäsie und die Karten-Theorie – mit der Theorie der Differentialgeometrie der Flächen, führte unter anderem die gaußsche Krümmung ein und bewies sein Theorema egregium. Dieses besagt, dass die gaußsche Krümmung, die durch die Hauptkrümmungen einer Fläche im Raum definiert ist, allein durch Maße der inneren Geometrie, d. h. durch Messungen innerhalb der Fläche, bestimmt werden kann. Daher ist die gaußsche Krümmung unabhängig von der Einbettung der Fläche in den dreidimensionalen Raum, sie ändert sich also bei längentreuen Abbildungen von Flächen aufeinander nicht. Aus diesem Grund kann keine maßstabsgetreue Weltkarte erstellt werden. [[Datei:Brocken_Dreieck_Gedenktafel.jpg|odkaz=https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Brocken_Dreieck_Gedenktafel.jpg%7Cnáhled%7CGedenktafel auf dem Brocken]] Wolfgang Sartorius von Waltershausen berichtet, Gauß habe bei Gelegenheit der Hannoverschen Landesvermessung empirisch nach einer Abweichung der Winkelsumme besonders großer Dreiecke vom euklidischen Wert 180° gesucht – wie etwa bei dem von Gauß gemessenen planen Dreieck, das vom Brocken im Harz, dem Inselsberg im Thüringer Wald und dem Hohen Hagen bei Dransfeld gebildet wird. Max Jammer schrieb über diese gaußsche Messung und ihr Ergebnis:Šablona:ZitatDer Winkelexzess in diesem Dreieck beträgt aufgrund der Größe der Erde nur 0,25 Winkelminuten. Die oben erwähnte Vermutung zur Motivation ist Gegenstand von Spekulationen. Šablona:Anker

Magnetismus, Elektrizität und Telegrafie

Zusammen mit Wilhelm Eduard Weber arbeitete er ab 1831 auf dem Gebiet des Magnetismus. Weber erfand mit Gauß 1833 eine elektromagnetische Telegraphenanlage mit einem Relais ähnlichen Prinzip, die seine Sternwarte mit dem physikalischen Institut über eine Entfernung von 1100 Metern verband. Dabei verwendeten sie der Telegrafie angepasste Galvanometer und Magnetometer und entwickelten mehrere Versionen. Der Leiter bestand aus zwei Kupferdrähten (später Eisendrähte), die jeweils zwei Spulen miteinander verbanden: eine in Webers Kabinett und eine in der Sternwarte von Gauß. Beide Spulen waren locker um einen Magnetstab gewickelt und konnten entlang des Stabes bewegt werden. Das zwei Jahre zuvor entdeckte Prinzip der elektromagnetischen Induktion löste bei einer Bewegung der Sender-Spule, die um einen Stabmagneten gewickelt war, einen Stromstoß aus, der über den Draht zur anderen Spule geleitet und dort wieder in Bewegung übersetzt wurde. Das Ausschlagen des in einem Holzrahmen befestigten Stabmagneten mit Spule beim Empfänger (das ein Relais oder Magnetometer bzw. Spiegelgalvanometer ähnliches Prinzip darstellte) wurde dabei durch ein System von Spiegeln und Fernrohren vergrößert und sichtbar gemacht. Buchstaben wurden über einen Binärcode dargestellt, der der Stromrichtung entsprach (der Spiegel im Empfänger wurde jeweils nach links oder rechts gedreht). Die erste Nachricht war wahrscheinlich Wissen vor meinen, Sein vor scheinen – diese Nachricht fand sich in den Aufzeichnungen von Gauß in Binärcode. Nach anderen Quellen kündigten sie die Ankunft eines Dieners an, der sonst die Botschaften überbrachte (Michelmann kommt). Bereits zwei Jahre vor Gauß und Weber entwickelte Joseph Henry und ein Jahr vor Gauß und Weber entwickelte Paul Ludwig Schilling von Cannstatt eine elektromagnetische Telegrafieapparatur, es kam bei beiden aber zu keiner Anwendung über längere Strecken und er fand auch keine größere Aufmerksamkeit. 1845 wurde die Anlage von Gauß und Weber durch einen Blitzschlag zerstört, wobei auch der Hut einer Dame in Brand geriet. Ein Stall, an dem die Leitung vorbeiging, blieb aber verschont, was ansonsten einen möglichen Stadtbrand ausgelöst haben könnte. Die kommerzielle Anwendung erfolgte aber durch andere, insbesondere durch Samuel Morse in den USA einige Jahre nach der Erfindung von Gauß und Weber. Gauß sah aber die Möglichkeiten der Anwendung zum Beispiel im großräumigen russischen Reich und für die Eisenbahn und sie verfassten ein entsprechendes Memorandum, was sich in Deutschland aber damals wegen der Kosten für die Leitungen nicht realisierte. Obwohl sie darüber auch veröffentlichten, geriet auch die Telegrafenerfindung von Gauß und Weber in den Jahren darauf fast in Vergessenheit und andere reklamierten die Erfindung für sich.

Mit Weber zusammen entwickelte er das CGS-Einheitensystem, das 1881 auf einem internationalen Kongress in Paris zur Grundlage der elektrotechnischen Maßeinheiten bestimmt wurde. Er organisierte ein weltweites Netz von Beobachtungsstationen (Magnetischer Verein), um das erdmagnetische Feld zu vermessen.

Gauß fand bei seinen Experimenten zur Elektrizitätslehre 1833 vor Gustav Robert Kirchhoff (1845) die Kirchhoffschen Regeln für Stromkreise.

Sonstiges

Von ihm stammt die Gaußsche Osterformel zur Berechnung des Osterdatums, und er entwickelte auch eine Pessach-Formel.

Odkazy

Reference

V tomto článku byly použity překlady textů z článků Carl Friedrich Gauss na anglické Wikipedii a Carl Friedrich Gauß na německé Wikipedii.

Elmar Mittler (Hrsg.): „Wie der Blitz einschlägt, hat sich das Räthsel gelöst“ Carl Friedrich Gauß in Göttingen. Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek, Göttingen 2005 (Digitalisat; PDF; 2,1 MB)

Literatura

• STUDNIČKA, František Josef; SEYDLER, August; KOŘISTKA, Karel František Edvard. Karel Bedřich Gauss na oslavu stoleté památky jeho narození. Časopis pro pěstování matematiky a fysiky. 1877, roč. 6, čís. 4, s. 147–200. Dostupné online. 
• GAVSS, Carolus Fridericus. Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse (Nový důkaz věty, že každou algebraickou racionální celou funkci jedné proměnné lze rozložit na reálné činitele prvního nebo druhého stupně). Helmstedt: C. G. Fleckeisen, 1799. Dostupné online. 
• GAUSS, Carl Friedrich. Disquisitiones arithmeticae. edoc.hu-berlin.de. 1801-01-01. Dostupné online [cit. 2024-12-25]. doi:10.18452/511. 
• VOPĚNKA, Petr. Trýznivé tajemství. Vyd. 1. vyd. Praha: Práh 142 s. ISBN 978-80-7252-088-6. 
• KEHLMANN, Daniel; DIMTER, Tomáš; KEHLMANN, Daniel. Vyměřování světa. 1 Aufl. vyd. Brno: Nakladatelství Vakát 219 s. ISBN 978-80-903815-2-0. 
• Stuloff, Nikolai: Gauß, Carl Friedrich. W: Neue Deutsche Biographie. T. 6. 1964, s. 101–107 [Online-Version].

Související články

• Gaussova eliminační metoda
• Normální rozdělení
• Gauss (jednotka)

Externí odkazy

• Zagothal/TEMP [online]. EMS Press. (Encyclopedia of Mathematics). Dostupné online.  (anglicky)