Wikipedista:Apteryx/Pískoviště

Prvních šest Legendrových polynomů

Legendrovy polynomy (pojmenovány podle Adriena-Marie Legendreho) jsou v matematice polynomiální řešení $P_{n}(x)$ Legendrovy diferenciální rovnice

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[\left(1-x^{2}\right){\frac {\mathrm {d} P_{n}(x)}{\mathrm {d} x}}\right]+n(n+1)P_{n}(x)=0\,$

s celočíselným parametrem $n\geq 0$ a s konvencí $P_{n}(1)=1$. $P_{n}(x)$ je člen ortogonální posloupnosti polynomů stupně n. Lze je vyjádřit pomocí Rodriguezova vzorce:

$P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}\left(x^{2}-1\right)^{n}\,,$

nebo pomocí jakékoliv reprezentace uvedené níže.

Diferenciální rovnice výše má další řešení, která nejsou polynomy, tzv. Legendrovy funkce druhého druhu $Q_{n}$

Dvouparametrické zobecnění Legendrovy diferenciální rovnice se nazývá Legendrova zobecněná diferenciální rovnice a řeší ji přidružené Legendrovy polynomy. Legendrovy funkce jsou řešením Legendrovy (zobecněné) rovnice s neceločíselnými parametry.

Legendrova diferenciální rovnice se často nachází ve fyzice a příbuzných technických oborech. Zejména se objeví při řešení Laplacovy rovnice (a podobných parciálních diferenciálních rovnic) ve sférických souřadnicích. Vytvořující funkce (viz níže) je základem pro multipólový rozvoj.

Rekurzivní definice

Legendrovu diferenciální rovnici lze řešit metodou mocninné řady. Rovnice má regulární singulární body v $x=\pm 1$, takže řešení pomocí řady v počátku pokryje pouze interval $|x|<1$. Pokud je $n$ celé číslo, řešení $P_{n}(x)$, které je regulární v $x=1$, je regulární i v $x=-1$ a řada pro toto řešení je konečná (a je tedy polynomem).

$P_{n}(x)$ lze také definovat jako koeficienty Taylorovy řady vytvořující funkce

${\frac {1}{\sqrt {1-2xt+t^{2}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x)t^{n}\,.$

Rozvojem vytvořující funkce do prvních dvou členů Taylorovy řady dostaneme první dva Legendrovy polynomy

$P_{0}(x)=1\,,\quad P_{1}(x)=x\,.$

Pro získání dalších členů bez přímého výpočtu Taylorovy řady zderivujeme podle $t$ rovnici pro Taylorův rozvoj vytvořující funkce a přeuspořádáním dostaneme

${\frac {x-t}{\sqrt {1-2xt+t^{2}}}}=\left(1-2xt+t^{2}\right)\sum _{n=1}^{\infty }nP_{n}(x)t^{n-1}\,.$

Dosazením za odmocninu z její definice a porovnáním koeficientů u jednotlivých mocnin $t$ dostaneme Bonetův rekurzivní vztah

$(n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_{n}(x)-nP_{n-1}(x)\,.$

Tato rovnice spolu s prvními dvěma polynomy $P_{0}$ a $P_{1}$ umožňuje rekurzivní výpočet Legendrových polynomů.

Explicitní vyjádření

Mezi explicitní vyjádření patří

${\begin{aligned}P_{n}(x)&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}(x-1)^{n-k}(x+1)^{k}\\P_{n}(x)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\binom {n+k}{k}}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{k}\\P_{n}(x)&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{[{\frac {n}{2}}]}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}{\binom {2n-2k}{n}}x^{n-2k}\\P_{n}(x)&=2^{n}\sum _{k=0}^{n}x^{k}{\binom {n}{k}}{\binom {\frac {n+k-1}{2}}{n}}\,,\end{aligned}}$

kde poslední vztah, který vychází z rekurentního vztahu, vyjadřuje Legendrův polynom jako součet monomů a obsahuje multiplikativní vztah kombinačního čísla.

Prvních několik Legendrových polynomů:

${\begin{array}{r|r}n&P_{n}(x)\\\hline 0&1\\1&x\\2&{\tfrac {1}{2}}\left(3x^{2}-1\right)\\3&{\tfrac {1}{2}}\left(5x^{3}-3x\right)\\4&{\tfrac {1}{8}}\left(35x^{4}-30x^{2}+3\right)\\5&{\tfrac {1}{8}}\left(63x^{5}-70x^{3}+15x\right)\\6&{\tfrac {1}{16}}\left(231x^{6}-315x^{4}+105x^{2}-5\right)\\7&{\tfrac {1}{16}}\left(429x^{7}-693x^{5}+315x^{3}-35x\right)\\8&{\tfrac {1}{128}}\left(6435x^{8}-12012x^{6}+6930x^{4}-1260x^{2}+35\right)\\9&{\tfrac {1}{128}}\left(12155x^{9}-25740x^{7}+18018x^{5}-4620x^{3}+315x\right)\\10&{\tfrac {1}{256}}\left(46189x^{10}-109395x^{8}+90090x^{6}-30030x^{4}+3465x^{2}-63\right)\\\hline \end{array}}$

Grafy polynomů do $n=5$:

Plot of the six first Legendre polynomials.

Ortogonalita

Důležitou vlastnosti Legendrových polynomů je, že jsou ortogonální vzhledem k L² normě na intervalu $-1\leq x\leq 1$:

$\int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,\mathrm {d} x={\frac {2}{2n+1}}\delta _{mn}$

(kde $\delta _{mn}$ značí Kroneckerovo delta rovno 1, když $m=n$, a 0 v ostatních případech).

Další způsob odvození Legendrových polynomů je provést Gramovu–Schmidtovu ortogonalizaci na posloupnosti polynomů $\{1,x,x^{2},x^{3},\ldots \}$ vzhledem k tomuto skalárnímu součinu. Platí to z toho důvodu, že na Legendrovu diferenciální rovnici můžeme pohlížet jako na Sturmovu–Liouvileho úlohu, kde Legendrovy polynomy jsou vlastními funkcemi hermitovského diferenciálního operátoru

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(\left(1-x^{2}\right){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}P(x)\right)=-\lambda P(x)\,,$

kde vlastní hodnota $\lambda$ odpovídá $n(n+1)$.