Binomické koeficienty lze uspořádat do tvaru Pascalova trojúhelníka , ve kterém je každá hodnota součtem dvou hodnot ležících nad ní. Znázornění binomické expanze do čtvrté mocniny Kombinační číslo je matematická funkce , která udává počet kombinací , tzn. způsobů, jak vybrat
k
{\displaystyle k}
n
{\displaystyle n}
množiny (
k
{\displaystyle k\,}
n
{\displaystyle n\,}
čísla přirozená ). Kombinační čísla zapisujeme
(
n
k
)
{\displaystyle {n \choose k}}
n nad k “), někdy se používá také značení
n
C
k
{\displaystyle _{n}C_{k}\,}
C
(
n
,
k
)
{\displaystyle C(n,k)\,}
C
n
k
{\displaystyle C_{n}^{k}}
faktoriálu :
(
n
k
)
=
{
n
!
k
!
(
n
−
k
)
!
pro
n
≥
k
≥
0
;
0
jinak,
{\displaystyle {n \choose k}=\left\{{\begin{matrix}{\frac {n!}{k!(n-k)!}}\,&&{\mbox{pro }}n\geq k\geq 0;\\0\,&&{\mbox{jinak,}}\,\qquad \qquad \end{matrix}}\right.}
Platí rovnost
1
=
(
0
0
)
=
(
n
0
)
=
(
n
n
)
.
{\displaystyle 1={0 \choose 0}={n \choose 0}={n \choose n}.}
Kombinační čísla se používají hlavně v kombinatorice , velice důležité je využití v binomické větě (přičemž je zde označováno jako binomický koeficient ), v Leibnizově pravidle nebo při výpočtu pravděpodobnosti v binomickém rozdělení .
Pro přirozená čísla n a k , kde
0
≦
k
≦
n
{\displaystyle 0\leqq k\leqq n}
m
∈
N
{\displaystyle m\in \mathbb {N} }
(
n
k
)
=
(
n
n
−
k
)
{\displaystyle {n \choose k}={n \choose {n-k}}}
(
n
1
)
=
n
{\displaystyle {{n} \choose {1}}=n}
(
n
0
)
=
(
n
n
)
=
1
{\displaystyle {{n} \choose {0}}={{n} \choose {n}}=1}
(
n
k
+
1
)
=
(
n
k
)
n
−
k
k
+
1
{\displaystyle {n \choose {k+1}}={n \choose k}{\frac {n-k}{k+1}}}
(
n
k
)
=
n
k
(
n
−
1
k
−
1
)
{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n}{k}}{\binom {n-1}{k-1}}}
(
n
+
1
k
)
=
(
n
k
)
+
(
n
k
−
1
)
{\displaystyle {{n+1} \choose {k}}={n \choose k}+{n \choose {k-1}}}
(
n
−
1
k
−
1
)
+
(
n
−
1
k
)
=
(
n
k
)
{\displaystyle {{n-1} \choose {k-1}}+{{n-1} \choose {k}}={n \choose {k}}}
∑
i
=
k
n
(
i
k
)
=
(
n
+
1
k
+
1
)
{\displaystyle \sum _{i=k}^{n}{i \choose {k}}={n+1 \choose {k+1}}}
∑
i
=
0
n
(
k
+
i
i
)
=
(
k
+
n
+
1
n
)
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{{k+i} \choose {i}}={k+n+1 \choose n}}
∑
i
=
0
n
(
n
i
)
=
2
n
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose {i}}=2^{n}}
∑
i
=
0
n
(
−
1
)
i
(
n
i
)
=
0
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{n \choose {i}}=0}
∑
i
=
0
n
(
n
i
)
2
=
(
2
n
n
)
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose {i}}^{2}={2n \choose {n}}}
∑
i
=
0
m
(
n
+
i
n
)
=
(
n
+
m
+
1
n
+
1
)
{\displaystyle \sum _{i=0}^{m}{{n+i} \choose {n}}={{n+m+1} \choose {n+1}}}
∑
i
=
0
m
(
n
+
i
k
)
=
(
n
+
m
+
1
k
+
1
)
−
(
n
+
1
k
+
1
)
{\displaystyle \sum _{i=0}^{m}{{n+i} \choose k}={{n+m+1} \choose {k+1}}-{{n+1} \choose {k+1}}}
∑
i
=
1
n
i
=
(
n
+
1
2
)
=
(
n
+
1
n
−
1
)
=
n
2
(
n
+
1
)
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{i}={{n+1} \choose {2}}={{n+1} \choose {n-1}}={\frac {n}{2}}(n+1)}
Pokud definujeme kombinační číslo takto
(
z
k
)
=
z
(
z
−
1
)
(
z
−
2
)
⋯
(
z
−
k
+
1
)
k
!
{\displaystyle {z \choose k}={\frac {z(z-1)(z-2)\cdots (z-k+1)}{k!}}}
kde
k
{\displaystyle k}
celé číslo , pak je zřejmé, že pravá strana má smysl, i když číslo
z
{\displaystyle z}
z
{\displaystyle z}
číslo komplexní . Vztah je tedy přirozeným zobecněním kombinačních čísel a je používán hlavně v zobecněné binomické větě .
Další možnou definici nám umožňuje nahrazení faktoriálu gama funkcí
(
z
k
)
=
Γ
(
z
+
1
)
Γ
(
z
−
k
+
1
)
Γ
(
k
+
1
)
{\displaystyle {z \choose k}={\frac {\Gamma (z+1)}{\Gamma (z-k+1)\Gamma (k+1)}}}
kde
z
{\displaystyle z}
k
{\displaystyle k}
MATOUŠEK, Jiří; NEŠETŘIL, Jaroslav. Kapitoly z diskrétní matematiky . 3., upravené a doplněné vyd. Praha: Karolinum , 2007. ISBN 978-80-246-1411-3 BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce . 4., upravené vyd. Praha: Academia , 2006. ISBN 80-200-1448-9 
Obrázky, zvuky či videa k tématu kombinační číslo na Wikimedia Commons 
