Tenzorový součin

Tenzorový součin dvou vektorových prostorů $V$ a $W$ nad stejným číselným tělesem $T$ je v matematice vektorový prostor $Z$ disponující takovým bilineárním zobrazením $\phi \colon V\times W\to Z$ z kartézského součinu $V$ a $W$ na $Z,$ které je „nejuniverzálnější“ ze všech možných bilineárních zobrazení z $\phi \colon V\times W$ v tom smyslu, že každé jiné bilineární zobrazení jednoznačně lineárně faktorizuje nad $\phi$. To znamená, že ke každému bilineárnímu zobrazení $B\colon V\times W\to X$ na vektorový prostor $X$ nad tělesem $T$ existuje jednoznačně definované lineární zobrazení ${\tilde {B}}\colon Z\to X$ tak, že $B={\tilde {B}}\circ \phi ,$, čili že pro libovolný pár vektorů $v,w$ platí $B(v,w)={\tilde {B}}(\phi (v,w)).$ Pokud takový vektorový prostor $Z$ existuje, je až na izomorfismus jednoznačný, tj. pro každý jiný $Z'$ s univerzálním bilineárním zobrazením $\phi '\colon V\times W\to Z'$ existuje izomorfismus $k\colon Z\to Z'$ tak, že $\phi '=k\circ \phi .$ Prostor $Z$ se značí $V\otimes W$ a příslušné bilineární zobrazení se píše $\phi (v,w)=v\otimes w$. Definici tenzorového součinu lze indukcí zobecnit na více vektorových prostorů: $V_{1}\otimes V_{2}\otimes V_{3}=(V_{1}\otimes V_{2})\otimes V_{3}.$ atd.

Ve fyzice se pro vektorový prostor $V$ s duálním prostorem $V^{*}$ (často $V=\mathbb {R} ^{3}$) prvky tenzorového součinu

$\underbrace {V\otimes \dotsb \otimes V} _{r{\text{ faktorů}}}\otimes \underbrace {V^{*}\otimes \dotsb \otimes V^{*}} _{s{\text{ faktorů}}}$

označují jako tenzory kontravariantní stupně $r$ a kovariantní stupně $s$. Mluví se pak o tenzorech typu $(r,s)$.

Vlastnosti

Má-li prostor $V$ dimenzi $m$ a $W$ dimenzi $n$, pak $V\otimes W$ má dimenzi $mn$. Bázi $V\otimes W$ lze zkonstruovat jako množinu všech uspořádaných dvojic $(e_{i},f_{j})$, kde $e_{i}$ jsou bázové vektory $V$ a $f_{j}$ bázové vektory $W.$

Tenzorový součin obecně není komutativní, jakožto bilineární zobrazení je však distributivní a asociativní. Pro všechny $v,v',v''\in V,$ $w,w',w''\in W$ a libovolné $\lambda \in T$ tedy platí:

	$(v'+v'')\otimes w=v'\otimes w+v''\otimes w$	(1)
	$v\otimes (w'+w'')=v\otimes w'+v\otimes w''$	(2)
	$(\lambda v)\otimes w=\lambda \cdot (v\otimes w)=v\otimes (\lambda w)$	(3)