Platónské těleso

Platónské těleso je v geometrii pravidelný konvexní mnohostěn (polyedr) v prostoru, tj. z každého vrcholu vychází stejný počet hran^[1] a všechny stěny tvoří shodné pravidelné mnohoúhelníky.

Trojrozměrných platónských těles je pět:

Čtyřstěn (animace)
Krychle (pravidelný šestistěn) (animace)
Osmistěn (animace)
Dvanáctistěn (animace)
Dvacetistěn (animace)

Tabulka vlastností platónských těles

Platónských těles existuje v trojrozměrném euklidovském prostoru právě pět a jsou to:

Název	Obrázek	Počet stěn	Počet hran	Počet vrcholů	Typ stěny	Počet hran u vrcholu	Povrch (hrana délky a)	Objem (hrana délky a)
Pravidelný čtyřstěn (tetraedr)	(animace)	4	6	4	trojúhelník	3	${\sqrt {3}}a^{2}$	${\frac {\sqrt {2}}{12}}a^{3}$
Krychle (pravidelný šestistěn, hexaedr)	(animace)	6	12	8	čtverec	3	$6a^{2}$	$a^{3}$
Pravidelný osmistěn (oktaedr)	(animace)	8	12	6	trojúhelník	4	$2{\sqrt {3}}a^{2}$	${\frac {\sqrt {2}}{3}}a^{3}$
Pravidelný dvanáctistěn (dodekaedr)	(animace)	12	30	20	pětiúhelník	3	$3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}a^{2}$	${\frac {1}{4}}(15+7{\sqrt {5}})a^{3}$
Pravidelný dvacetistěn (ikosaedr)	(animace)	20	30	12	trojúhelník	5	$5{\sqrt {3}}a^{2}$	${\frac {5}{12}}(3+{\sqrt {5}})a^{3}$

Dualismus

Při pohledu na tabulku je nápadné, že zatím co např. krychle má 8 vrcholů a 6 stěn, u osmistěnu je tomu právě naopak. Proto je krychle duální k osmistěnu. Podobně je dvanáctistěn duální k dvacetistěnu (20 vrcholů, 12 stěn a naopak). Čtyřstěn je duální sám k sobě (má 4 vrcholy a 4 stěny).

Historie

Platónská tělesa byla známa již ve starověku. Nazývají se podle řeckého filosofa Platóna (427–347 př. n. l.), který krychli, osmistěn, čtyřstěn a dvacetistěn považoval za představitele čtyř základních živlů: země, vzduch, oheň a voda. Dvanáctistěn byl představitelem jsoucna neboli všeho, co existuje.

Eukleidés sepsal kompletní matematický popis platónských těles ve svých Základech, poslední kniha (kniha XIII) je věnována jejich vlastnostem. Tvrzení 13–17 v knize XIII popisují stavbu čtyřstěnu, krychle, osmistěnu a dvanáctistěnu a dvacetistěnu v uvedeném pořadí. Pro každé Platonské těleso Euklid našel poměr průměru opsané kulové plochy s délkou hrany. Tvrdil, že žádné další pravidelné konvexní mnohostěny neexistují.

Johannes Kepler se pokusil mezi šest tehdy známých planet vložit těchto pět platónských těles. Mezi Merkur a Venuši dal osmistěn, mezi Venuši a Zemi dvacetistěn, mezi Zemi a Mars dvanáctistěn, mezi Mars a Jupiter čtyřstěn a mezi Jupiter a Saturn krychli. Tato tělesa měla představovat vzdálenosti mezi jednotlivými planetami.

Přírodní vědy

Vzhledem k vysoké symetrii se platónská tělesa objevují běžně v současné krystalografii, krystalochemii a molekulární fyzice a chemii. Řada tvarů krystalů s vysokou symetrií krystalové mřížky nabývá forem platónských těles (např. krystaly běžné kuchyňské soli mají tvar krychle, u sfaleritu někdy tvar čtyřstěnu apod.). Také symetrické molekuly mají mnohdy tvar těchto těles: methan má čtyři atomy vodíku ve vrcholech pravidelného čtyřstěnu s uhlíkovým atomem v jeho těžišti, molekula fluoridu sírového má tvar pravidelného osmistěnu atp.

Vyšší dimenze

Pravidelné mnohostěny existují i ve vyšších dimenzích.

Ve čtyřrozměrném prostoru jich je šest: 5nadstěn, teserakt, 16nadstěn, 24nadstěn, 120nadstěn, 600nadstěn.
V prostorech dimenze vyšší než čtyři existují vždy právě tři pravidelné mnohostěny: zobecnění čtyřstěnu, zobecnění krychle a její duální těleso – zobecnění osmistěnu.

Odkazy

Poznámky

↑ Ekvivalentní definice říká, že v každém vrcholu se stýká stejný počet stěn.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Platonic solid na anglické Wikipedii.

Související články

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématu platónské těleso na Wikimedia Commons
http://www.darius.cz/ag_nikola/cl_dvanacti.html
http://telesa.wz.cz Archivováno 10. 6. 2015 na Wayback Machine. (databáze těles)

[1] Ekvivalentní definice říká, že v každém vrcholu se stýká stejný počet stěn.

[1]