Pellova rovnice

Grafické znázornění řešení Pellovy rovnice pro $N=2$ s vyznačenými šesti z celočíselných řešení

Pellova rovnice je označení diofantické rovnice ve tvaru:

$x^{2}-Ny^{2}=1\,$

kde $N$ je kladné celé číslo. Často je navíc přidáván požadavek, aby $N$ bylo nečtvercové, neboť ve variantě s čtvercovým číslem má rovnice jen dvojici řešení $(\pm 1,0)$, která má vždy a označují se tedy triviální řešení. Naopak není-li číslo $N$ čtvercem, pak má úloha nekonečně mnoho řešení, jak dokázal již Joseph-Louis Lagrange.

K nalezení základního řešení je možné použít řetězový zlomek vyjadřující ${\sqrt {N}}$. Ze základního řešení $x_{0},y_{0}$ je možné získat všechna další řešení z rekurentní rovnice s maticovým násobením:

${\begin{pmatrix}x_{i+1}\\y_{i+1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{0}&Ny_{0}\\y_{0}&x_{0}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{i}\\y_{i}\end{pmatrix}}$

Z hlediska abstraktní algebry je nalezení řešení ekvivalentní úloze nalezení jednotek v okruhu celistvých čísel kvadratického tělesa.

Jedním z nejstarších výskytů patřičné úlohy je Archimédova úloha o dobytku. Řešením Pellovy rovnice se zabývali rovněž matematikové ve staré Indii, kde ji zkoumal například Brahmagupta v sedmém století a Bháskara II. ve dvanáctém století.

V novověké Evropě se Pellovou rovnicí zabýval mimo jiné Pierre de Fermat, který o ní také psal v roce 1657 v dopise, jehož adresátem byl jeho přítel Bernard Frénicle de Bessy. Pojmenování rovnice po anglickém matematikovi Johnu Pellovi vzniklo následkem toho, že jej Leonhard Euler mylně považoval za autora jejího řešení.

Odkazy

Reference

V tomto článku byly použity překlady textů z článků Pellsche Gleichung na německé Wikipedii a Pell's equation na anglické Wikipedii.

Literatura

• VÍT, Pavel. Řetězové zlomky. Praha: Mladá fronta, 1982. Dostupné online. Kapitola 18. Použití řetězových zlomků. 
• PETR, Karel. O rovnici Pellově. Časopis pro pěstování matematiky a fysiky. 1927, roč. 56, čís. 2, s. 57–66. Dostupné online. ISSN 1802-114X. 

Autoritní data	BNF: cb150987299 (data) LCCN: sh2002004493 NLI: 987007539856505171

Portály: Matematika