Přímý důkaz

Přímý důkaz se v matematice používá k dokázání výroku, který má tvar implikace, kde $A$ je výchozí předpoklad a $B$ je výrok, který má být dokázán resp. odvozen (zápis $A\Rightarrow B$ ; věta ve tvaru „Jestliže platí předpoklad $A$ , pak platí také tvrzení $B$ “). Při dokazování pomocí přímého důkazu, je nutné si uvědomit, že pravdivost implikace lze dokázat bez znalosti pravdivosti jednotlivých výroků, které spojuje (na základě pravdivostní tabulky implikace). Důkaz vychází z předpokladu, na jehož základě jsou odvozována dílčí tvrzení tak dlouho, až se dospěje k dokazovanému tvrzení. Všechny kroky implikací jsou vyhodnoceny jako pravdivé, a tedy i odvozovaná tvrzení jsou pravdivá.

Zápis schematicky: $(A\Rightarrow A_{1})\land (A_{1}\Rightarrow A_{2})\land \cdots \land (A_{n-1}\Rightarrow A_{n})\land (A_{n}\Rightarrow B)$ ^[1]

Přímý důkaz jednoduchého výroku

Příklad1: $a>1\Rightarrow a^{2}>1$ (dokažte: jestliže platí, že a je větší než 1 pak platí také, že a na druhou je větší než 1)

Postup po krocích:

Protože $a>1$ , jistě platí také $a>0$ a též .
Protože $a$ není rovno nule a je kladné, proměnnou lze vynásobit celou nerovnici. (Pokud $a=0,$ nelze násobit, pokud $a<0,$ při násobení by se obrátila nerovnost). Po vynásobení proměnnou $a$ : $a>1=a^{2}>a$ .
Je zřejmé , že $a>1$ a zároveň platí $a^{2}>a$ . Složením výrazů vznikne: $a^{2}>a>1$
Odstraněním prostředního výrazu vznikne výraz: $a^{2}>1$ . To lze zapsat, protože $a$ je větší než jedna a $a^{2}$ je větší než $a$ . Pokud je $a^{2}$ větší než $a$ , je zároveň větší než jedna, pak je jistě $a^{2}$ větší než jedna.

Symbolicky lze zapsat: $a>1\Rightarrow a>0\Rightarrow a^{2}>a>1\Rightarrow a^{2}>1$

Přímý důkaz implikace

Implikaci lze dokázat podobně jako jednoduchý výrok. Místo úvodního pravdivého tvrzené (výroku) se vezme „levá strana“ implikace. Pro dokázání implikace $A\Rightarrow B$ , se vyjde z výroku $A$ a vytvoří se řetězec pravdivých implikací: $A\Rightarrow C\Rightarrow D\Rightarrow ...\Rightarrow B$ .

Příklad 2: Dokažte, že pro všechna reálná čísla platí nerovnice ${\sqrt {\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}}\geq {\frac {|x+y|}{2}}.$

Ekvivalentní úpravy - umocnění obou stran nerovnice: ${\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}\geq {\Bigl (}{\frac {x+y}{2}}{\Bigr )}^{2},$

umocnění pravé strany nerovnice, odstranění zlomku a zjednodušení: ${\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}\geq {\frac {x^{2}+2xy+y^{2}}{4}},$ $2x^{2}+2y^{2}\geq x^{2}+2xy+y^{2},$ $x^{2}-2xy+y^{2}\geq 0,$ $(x-y)^{2}\geq 0.$

Protože všechny provedené úpravy byly ekvivalentní, vyplývá z platného tvrzení $(x-y)^{2}\geq 0$ platnost všech předchozích úprav. Proto musí být nutně platné i původní tvrzení ${\sqrt {\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}}\geq {\frac {|x+y|}{2}}$