Nepřímý důkaz

Nepřímý důkaz se v matematice používá k dokázání matematických vět tvaru implikace $P\rightarrow T$, tj. vět tvaru „Jestliže platí předpoklad P, pak platí také tvrzení T“. Spočívá v tom, že se z negace výroku $T$ odvodí negace výroku $P$, tj. dokáže se tvrzení $\neg T\rightarrow \neg P$.

Zdůvodnění správnosti

Dokázáním implikace $\neg T\rightarrow \neg P$ je již skutečně dokázáno i $P\rightarrow T$. Pokud totiž $P$ platí, musí platit i $T$, jinak by totiž platilo $\neg T$ a podle dokázané implikace $\neg P$, tedy by neplatilo $P$.

Souvislost s důkazem sporem

Nepřímý důkaz je úzce spjatý s důkazem sporem. Každý nepřímý důkaz lze převést na důkaz sporem. Dokazujeme-li totiž implikaci $P\rightarrow T$ nepřímo, tj. dokazujeme-li $\neg T\rightarrow \neg P$, lze před celý důkaz tohoto tvrzení přidat větu „Předpokládejme pro spor, že platí $P$ neplatí $T$.“ a po dokázání $\neg P$ zakončit důkaz konstatováním „…, což je spor s předpokladem.“ Tím je nepřímý důkaz převeden na důkaz sporem.

Příklady

Nepřímý důkaz tvrzení „Pro každá dvě celá čísla $\,a$, $\,b$, pokud $a\cdot b=0$, pak $\,a=0$ nebo $\,b=0$“ lze provést následovně:

• Nechť platí negace závěru, tj. $\,a$ i $\,b$ jsou nenulové.
• Pak $\,|a|$ i $\,|b|$ jsou $>0$.
• Tedy $|a\cdot b|=|a|\cdot |b|>0$.
• A proto $a\cdot b\neq 0$.

Související články

• Matematický důkaz
• Přímý důkaz
• Důkaz sporem
• Důkaz matematickou indukcí
• Nepřímý důkaz v kriminalistice a soudním dokazování

Portály: Matematika