Noetherovský okruh

Noetherovský okruh je pojem z algebry, z teorie okruhů, pojmenovaný po Emmy Noetherové. Jedná se o takový okruh, který neobsahuje shora neomezený řetězec do sebe vnořených ideálů, tedy pro každý řetězec ideálů

$I_{1}\subseteq \cdots I_{k-1}\subseteq I_{k}\subseteq I_{k+1}\subseteq \cdots$

existuje nějaký index n, že:

$I_{n}=I_{n+1}=I_{n+2}=\cdots$

Alternativní definice říká, že noetherovský je takový okruh, ve kterém je každý ideál konečně generovaný.

Při změně směru inkluzí v definici (tj. požadavku, že každý klesající řetězec ideálů je konečný) získáme artinovský okruh. Všechny artinovské okruhy jsou zároveň noetherovské a jejich struktura je méně různorodá než okruhů noetherovských.

Příklady

• Libovolné těleso je noetherovský okruh, protože má jen triviální ideály.
• Obor celých čísel je noetherovský.
• Libovolný obor hlavních ideálů je noetherovský.
• Libovolný okruh polynomů v konečném počtu proměnných nad noetherovským okruhem je noetherovský.

Naopak mezi noetherovské okruhy nepatří:

• Okruh polynomů v nekonečném počtu proměnných nad libovolným okruhem.
• Okruh všech algebraických čísel.