Model (logika)

Model (také struktura) je matematický pojem z oblasti matematickologické sémantiky. Je to seskupení objektů, na němž jsou definovány nějaké vztahy (relace) a přiřazení (funkce) tak, že vytváří „realizaci“ nějaké formální teorie.

Definice

Model jazyka

Struktura pro jazyk L (také model jazyka L), který obsahuje z mimologických symbolů konstantní symboly $c_{\alpha };\alpha \in I_{K}$ , funkční symboly $\,f_{\alpha }$ četností $n_{\alpha };\alpha \in I_{F}$ a predikátové symboly $\,p_{\alpha }$ četností $n_{\alpha };\alpha \in I_{P}$ , je množina $A$ nazývaná nosič struktury spolu s konstantami $C_{\alpha }\in A;\alpha \in I_{K}$ , funkcemi $F_{\alpha }:A^{n_{\alpha }}\rightarrow A;\alpha \in I_{F}$ a relacemi $P_{\alpha }\subseteq A^{n_{\alpha }};\alpha \in I_{P}$ . Konstanta $\,C_{\alpha }$ , resp. funkce $\,F_{\alpha }$ , resp. relace $\,P_{\alpha }$ se nazývá realizací konstantního symbolu $\,c_{\alpha }$ , resp. funkčního symbolu $\,f_{\alpha }$ , resp. predikátového symbolu $\,p_{\alpha }$ v modelu $A$ a značí se $\,c_{\alpha }^{A}$ , resp. $\,f_{\alpha }^{A}$ , resp. $\,p_{\alpha }^{A}$ . Struktura s nosičem $A$ (a příslušnými realizacemi symbolů) se obvykle značí ${\mathcal {A}}$ .

Méně formálně: Jazyk L obsahuje pouze symboly pro konstanty, funkce a predikáty a arity funkcí a predikátů. Model jazyka L přidává množinu $A$ (nosič struktury, např. množinu přirozených čísel) a dodává symbolům jazyka L jejich realizace.

Tarského definice pravdy

V tomto odstavci značí ${\mathcal {A}}$ model jazyka L s mimologickými symboly popsanými výše. Ohodnocení proměnných v modelu ${\mathcal {A}}$ je každá funkce $e$ z množiny všech proměnných do nosiče $A$ . Ohodnocení, které se shoduje s ohodnocením $e$ na všech proměnných kromě $x$ a na $x$ má hodnotu $a$ , značíme $e(x/a)$ .

Realizace termu

Realizace termu $t$ jazyka L při ohodnocení proměnných $e$ v modelu $A$ , značíme $\,t^{A}\langle e\rangle$ , se definuje indukcí dle složitosti takto:

$\,t^{A}\langle e\rangle =e(x)$ , je-li $t$ proměnná $x$
$\,t^{A}\langle e\rangle =c_{\alpha }^{A}$ , je-li $t$ konstantní symbol $\,c_{\alpha }$
$t^{A}\langle e\rangle =f_{\alpha }^{A}(t_{0}^{A}\langle e\rangle ,\ldots ,t_{n_{\alpha }-1}^{A}\langle e\rangle )$ , je-li $t=f_{\alpha }(t_{0},\ldots ,t_{n_{\alpha }-1})$ a $t_{0},\ldots ,t_{n_{\alpha }-1}$ jsou termy

Platnost formule

Platnost formule $\,\varphi$ jazyka L při ohodnocení proměnných $e$ v modelu ${\mathcal {A}}$ definujeme indukcí dle složitosti takto ( $\,\varphi$ platí v ${\mathcal {A}}$ při ohodnocení $e$ značíme ${\mathcal {A}}\models \varphi \langle e\rangle$ , $\,\varphi$ neplatí v ${\mathcal {A}}$ při ohodnocení $e$ značíme ${\mathcal {A}}\not \models \varphi \langle e\rangle$ ):

Je-li $\,\varphi$ atomická formule tvaru $p_{\alpha }(t_{0},\ldots ,t_{n_{\alpha }-1})$ , pak ${\mathcal {A}}\models \varphi \langle e\rangle$ , pokud $(t_{0}^{A}\langle e\rangle ,\ldots ,t_{n_{\alpha }-1}^{A}\langle e\rangle )\in p_{\alpha }^{A}$ .
Je-li $\,\varphi$ atomická formule tvaru $\,t_{0}=t_{1}$ , pak ${\mathcal {A}}\models \varphi \langle e\rangle$ , pokud $t_{0}^{A}\langle e\rangle =t_{1}^{A}\langle e\rangle$ .
Je-li $\,\varphi$ formule tvaru $\neg \psi$ , pak ${\mathcal {A}}\models \varphi \langle e\rangle$ pokud ${\mathcal {A}}\not \models \psi \langle e\rangle$
Je-li $\,\varphi$ formule tvaru $\psi \Rightarrow \chi$ , pak ${\mathcal {A}}\models \varphi \langle e\rangle$ pokud buďto ${\mathcal {A}}\not \models \psi \langle e\rangle$ nebo ${\mathcal {A}}\models \chi \langle e\rangle$ .
Je-li $\,\varphi$ formule tvaru $(\forall x)\psi$ , pak ${\mathcal {A}}\models \varphi \langle e\rangle$ , pokud ${\mathcal {A}}\models \psi \langle e(x/a)\rangle$ pro všechna $a\in A$ .

Říkáme, že $\,\varphi$ platí v modelu ${\mathcal {A}}$ , značíme ${\mathcal {A}}\models \varphi$ , pokud ${\mathcal {A}}\models \varphi \langle e\rangle$ pro každé ohodnocení proměnných $e$ .

Model teorie

Je-li T teorie v jazyce L a ${\mathcal {A}}$ struktura pro tento jazyk, pak říkáme, že ${\mathcal {A}}$ je modelem T, značíme ${\mathcal {A}}\models T$ , pokud ${\mathcal {A}}\models \varphi$ pro každý axiom $\,\varphi$ teorie T.

Příklady

Množina přirozených čísel spolu s konstantou $\,0$ , binární relací $\,\leq$ a funkcemi $\,+$ , $\,\cdot$ a $\,S$ ( $\,S(n)=n+1$ ) tvoří model Peanovy aritmetiky. Tento model se nazývá standardní model.
Libovolná grupa je modelem axiomatické teorie grup.

Izomorfismus modelů

Izomorfismem modelů (struktur) ${\mathcal {A}},\,{\mathcal {B}}$ téhož jazyka L je taková bijekce $i:A\rightarrow B$ , která zachovává všechny symboly jazyka L, tj. splňuje:

$\,i(c^{A})=c^{B}$ pro každý konstantní symbol c jazyka L
$i(f^{A}(a_{1},\ldots ,a_{n}))=f^{B}(i(a_{1}),\ldots ,i(a_{n}))$ pro každý funkční symbol f jazyka L četnosti n.
$p^{A}(a_{1},\ldots ,a_{n})\Leftrightarrow p^{B}(i(a_{1}),\ldots ,i(a_{n}))$

Existuje-li izomorfismus modelů ${\mathcal {A}},\,{\mathcal {B}}$ , říkáme, že jsou tyto modely izomorfní.

Související články