Jazyk (logika)

V matematické logice se pod pojmem jazyk rozumí pevně zvolená množina symbolů, pomocí nichž se vytvářejí formule. Pojem jazyka náleží do oblasti logické syntaxe.

Definice

Každý jazyk se skládá ze symbolů dvou druhů – logických, které jsou povinně prvky každého jazyka a mimologických, které se mohou pro různé jazyky lišit.

Logické symboly jazyka

Logické symboly jazyka jsou:

spočetně mnoho symbolů pro proměnné: $v_{0},v_{1},\ldots$ (V matematické praxi se obvykle proměnné značí písmeny $x,y,z,\ldots$ , vždy to však lze chápat tak, že tato písmena jsou ve skutečnosti nějaká $\,v_{i}$ .)
symboly pro logické spojky: $\neg$ , $\Rightarrow$ (případně ještě $\vee$ , $\land$ , $\Leftrightarrow$ , tyto symboly však lze zavést také definicí)
symboly pro kvantifikátory: $\forall$ (případně $\exists$ , který lze zavést definicí)
symbol pro rovnost: $\,=$ (pokud jde o jazyk logiky s rovností)
pomocné symboly – závorky: $($ a $)$ , popřípadě i další.

Mimologické symboly jazyka

Mimologické symboly jazyka mohou být libovolné symboly různé od symbolů logických a také vzájemně po dvou různé. Může jich být libovolně (i nekonečně) mnoho. Ke každému mimologickému symbolu je zároveň přiřazen jeho druh a četnost (arita). Existují tři druhy mimologických symbolů:

Konstantní symboly
Funkční symboly
Predikátové symboly

Signatura je funkce $\,\sigma$ definovaná na množině všech mimologických symbolů přiřazující každému mimologickému symbolu S přirozené číslo $\,\sigma (S)$ nazývané četnost (arita) symbolu S tak, že $\sigma (c)=0$ pro každý konstantní symbol c. Funkční resp. predikátový symbol četnosti n se také nazývá n-ární funkční resp. predikátový symbol.

Jazyk

Jazykem rozumíme trojici $\langle LS,MLS,\sigma \rangle$ , kde LS jsou všechny logické symboly jazyka, MLS mimologické symboly a $\,\sigma$ signatura pro tyto mimologické symboly. Jazyk se obvykle zadává pouze vypsáním jeho mimologických symbolů a stanovením jejich četností, neboť logické symboly jsou společné pro všechny jazyky.

Kardinalita jazyka

Kardinalita jazyka je maximum z mohutnosti množiny jeho mimologických symbolů a kardinálu $\aleph _{0}$ (viz funkce alef).

Příklady

Jazyk, který má jediný mimologický symbol $\,\in$ , který je predikátový četnosti 2, se nazývá jazykem teorie množin. Zapisuje se často jako $\,<\in >$ . Symbol $\,\in$ popisuje relaci „být prvkem“.
Jazyk, který má jeden konstantní symbol: $\,0$ , jeden predikátový symbol: $\leq$ četnosti 2 a tři funkční symboly: $\,S$ četnosti 1, $\,+$ četnosti 2 a $\,\cdot$ četnosti 2, se nazývá jazyk aritmetiky (Symbol $\,S$ označuje operaci následníka (tj. přičtení jedničky), ostatní symboly mají klasické významy).

Související články