Korelace

Korelace (z lat. souvztažnost) znamená vzájemný vztah mezi dvěma náhodnými procesy nebo náhodnými veličinami. Pokud se jedna z náhodných veličin mění, mění se i druhá a naopak. Pokud se mezi dvěma náhodnými procesy identifikuje korelace, je pravděpodobné, že na sobě závisejí. Z korelovanosti náhodných procesů nebo náhodných veličin však nelze usuzovat na příčinný vztah. Tedy jeden z nich nemusí být příčinou a druhý následkem. Toto samotná korelace nedovoluje rozhodnout, jelikož korelace neimplikuje kauzalitu a ani směr kauzality.

Ve statistice se pojem korelace užívá pro vyjádření lineárního vztahu mezi náhodnými veličinami X a Y. Sílu korelace pak vyjadřuje korelační koeficient, který nabývá hodnoty −1 až +1.

Korelace ve statistice

Na obrázku je několik příkladů grafického zobrazení dat a koeficienty jejich korelace s funkcí y = x

Vztah mezi znaky či náhodnými veličinami X a Y může být kladný, pokud (přibližně) platí Y = kX, nebo záporný (Y = -kX). Hodnota korelačního koeficientu −1 značí zcela nepřímou závislost (antikorelaci), tedy čím více se zvětší hodnoty v první skupině znaků, tím více se zmenší hodnoty v druhé skupině znaků, např. vztah mezi uplynulým a zbývajícím časem. Hodnota korelačního koeficientu +1 značí zcela přímou závislost, např. vztah mezi rychlostí bicyklu a frekvencí otáček kola bicyklu. Pokud je korelační koeficient roven 0 (nekorelovanost), pak mezi znaky není žádná statisticky zjistitelná lineární závislost. Je dobré si uvědomit, že i při nulovém korelačním koeficientu na sobě veličiny mohou záviset, pouze tento vztah nelze vyjádřit lineární funkcí (např.$Y=X^{2}$ ), a to ani přibližně.

Pearsonův korelační koeficient

Pearsonův korelační koeficient je definován, pokud jsou druhé mocniny náhodných veličin X a Y $E(X^{2}),E(Y^{2})$ konečné a jejich rozptyly nenulové. Vypočte se normováním kovariance tak, že ji podělíme směrodatnými odchylkami obou proměnných na bezrozměrné číslo nabývající hodnoty -1 až 1:

$\rho _{X,Y}={\mathrm {cov} (X,Y) \over \sigma _{X}\sigma _{Y}}={E((X-\mu _{X})(Y-\mu _{Y})) \over \sigma _{X}\sigma _{Y}}$

Jelikož $\mu _{X}=E(X)$, $\sigma _{X}^{2}=E(X^{2})-E^{2}(X)$ a obdobně pro Y, lze výše uvedený vzorec upravit do přehlednějšího výpočetního tvaru:

$\rho _{X,Y}={\frac {E(XY)-E(X)E(Y)}{{\sqrt {E(X^{2})-E^{2}(X)}}~{\sqrt {E(Y^{2})-E^{2}(Y)}}}}$

Korelační koeficient nabývá hodnot z intervalu $\langle -1,1\rangle$. Při nezávislosti náhodných veličin $X$ a $Y$ je korelační koeficient roven 0. Nulový korelační koeficient však neznamená, že jsou náhodné veličiny $X$ a $Y$ nezávislé. Nulový korelační koeficient má například dvojice náhodných veličin $X$ a $Y=X^{2}$.

Tuto míru asociace jako první odvodil anglický psycholog a antropolog sir Francis Galton.

Existují nicméně i jiné koeficienty asociace, například Spearmanovo rhó či Kendallovo tau pro ordinální (pořadová) data.

Korelace v teorii signálů

Související informace naleznete také v článku korelace (zpracování signálu).

Zkrácený výraz pro korelační funkci.

Pro spojité signály $f(t)$ a $g(t)$:

$(f\star g)(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\int _{-\infty }^{\infty }f^{*}(\tau )\cdot g(t+\tau )\,{\rm {d}}\tau$

Pro diskrétní signály $f_{k}$ a $g_{k}$:

$(f\star g)_{k}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\sum _{i=-\infty }^{\infty }f_{i}^{*}\ g_{k+i}$

U komplexních signálů $f^{*}$ představuje komplexně sdružené číslo k $f$.

Velmi se podobá konvoluci. Rozdíl je hlavně v časovém překlopení druhé funkce $g$.

Autokorelací se rozumí korelace $(f\star f)$. Lze tak určit tzv. soběpodobnost signálu, tedy zda se např. signál v určitých periodách opakuje.

Související články

• Charakteristika náhodné veličiny
• Korelace neimplikuje kauzalitu
• Spearmanův koeficient pořadové korelace

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu korelace na Wikimedia Commons

Reference

Autoritní data	BNF: cb11978503n (data) GND: 4165343-9 LCCN: sh85033032 NLI: 987007567883105171

Portály: Matematika