Komplexně sdružené číslo

grafické znázornění kompl. sdružených čísel

V matematice se pojmem sdružené číslo komplexního čísla $z=a+bi=re^{i\phi }$ (kde $a$, $b$ a $\phi$ jsou reálná čísla, $r$ nezáporné) nazývá číslo ${\overline {z}}=a-bi=re^{-i\phi }$. Vznikne tedy změnou znaménka imaginární části. Většinou se označuje tak jako v předchozím příkladě, tedy přidáním pruhu nad původní číslo a často také pomocí hvězdičky, například:
${\overline {3-2i}}=(3-2i)^{*}=3+2i$
${\overline {i}}=i^{*}=-i$
${\overline {7}}=7^{*}=7$

Geometricky je sdružené číslo obrazem daného komplexního v osové souměrnosti podle reálné osy v Gaussově rovině.

Vlastnosti

Následující vlastnosti platí pro všechna komplexní čísla z a w, není-li uvedeno jinak.

${\overline {z}}={\overline {w}}$, právě tehdy když $z=w$

${\overline {({\overline {z}})}}=z$

${\overline {z+w}}={\overline {z}}+{\overline {w}}$

${\overline {zw}}={\overline {z}}\ {\overline {w}}$

${\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}}={\frac {\overline {z}}{\overline {w}}}$ pro w nenulové

${\overline {z}}=z$ právě když je z reálné číslo

$\left|{\overline {z}}\right|=\left|z\right|$

${\left|z\right|}^{2}=z{\overline {z}}$

$z^{-1}={\frac {\overline {z}}{{\left|z\right|}^{2}}}$ pro z nenulové

První čtyři vlastnosti znamenají, že unární operace sdružení je involutorní automorfismus tělesa komplexních čísel.

Komplexní sdružení matice

Komplexním sdružením matice je formálně značeno takto

${\overline {\;\cdot \;}}:M_{n\times m}(\mathbb {C} )\to M_{n\times m}(\mathbb {C} )$

takže dle dané matice $A$

$A=(a_{ij})\mapsto {\overline {A}}=({\overline {a_{ij}}})$.

Příklad

$A={\begin{bmatrix}2+3i&1-2i&-1+2i\\0&-2&3+2i\\-i&2-i&2+i\end{bmatrix}}\mapsto {\overline {A}}={\begin{bmatrix}2-3i&1+2i&-1-2i\\0&-2&3-2i\\i&2+i&2-i\end{bmatrix}}$

Odkazy

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu komplexně sdružené číslo na Wikimedia Commons

Související články

• Komplexní číslo
• Matice
• Hermitovské sdružení

Portály: Matematika