Křivkový integrál

V matematice je křivkový integrál integrál skalárního nebo vektorového pole počítaný podél křivky zobecněním jednorozměrného integrálu. Křivkové integrály v rovině lze počítat pomocí křivkových integrálů funkcí komplexní proměnné.

Definice

Mějme orientovanou křivku $k$ , která je definována rovnicemi $x=\phi (t),y=\psi (t)$ pro $t\in \langle \alpha ,\beta \rangle$ . Na této křivce $k$ nechť je definována funkce $z=f(x,y)$ .

Křivku $k$ rozdělíme na $n$ oblouků $o_{1},o_{2},...,o_{n}$ v bodech $A_{1},A_{2},...,A_{n-1}$ s parametry $t_{1}<t_{2}<...<t_{n-1}$ . Na každém oblouku $o_{i}$ zvolíme bod $C_{i}$ o souřadnicích $[\xi _{i},\eta _{i}]$ a sestrojíme součty

S_{x}=\sum _{i=1}^{n}f(\xi _{i},\eta _{i})(x_{i}-x_{i-1})=\sum _{i=1}^{n}f(\xi _{i},\eta _{i})[\phi (t_{i})-\phi (t_{i-1})]

S_{y}=\sum _{i=1}^{n}f(\xi _{i},\eta _{i})(y_{i}-y_{i-1})=\sum _{i=1}^{n}f(\xi _{i},\eta _{i})[\psi (t_{i})-\psi (t_{i-1})]

S_{s}=\sum _{i=1}^{n}f(\xi _{i},\eta _{i})(s_{i}-s_{i-1})

kde $l_{i}=s_{i}-s_{i-1}=\int _{t_{i-1}}^{t_{i}}{\sqrt {{\phi ^{\prime }}^{2}(t)+{\psi ^{\prime }}^{2}(t)}}\mathrm {d} t$ je délka oblouku $o_{i}$ . Největší z délek $l_{k}$ při daném dělení $d$ nazveme normou dělení $d$ , tzn. $\nu (d)=\max _{d}l_{k}$ .

Pokud existuje takové číslo $I_{x}$ , resp. $I_{y}$ , resp. $I_{s}$ , že k libovolnému $\varepsilon >0$ lze najít takové $\delta >0$ , že $\left|I_{x}-S_{x}\right|<\varepsilon$ , resp. $\left|I_{y}-S_{y}\right|<\varepsilon$ , resp. $\left|I_{s}-S_{s}\right|<\varepsilon$ pro každé dělení $d$ , pro které $\nu (d)<\delta$ bez ohledu na volbu bodů $C_{k}$ na $o_{k}$ , pak říkáme, že existuje křivkový integrál funkce $f(x,y)$ po křivce $k$ vzhledem k $x$ , resp. k $y$ , resp. k $s$ , což zapisujeme vztahy

I_{x}=\int _{k}f(x,y)\mathrm {d} x=\int _{k}f(\phi (t),\psi (t))\phi ^{\prime }(t)\mathrm {d} t

I_{y}=\int _{k}f(x,y)\mathrm {d} y=\int _{k}f(\phi (t),\psi (t))\psi ^{\prime }(t)\mathrm {d} t

I_{s}=\int _{k}f(x,y)\mathrm {d} s=\int _{k}f(\phi (t),\psi (t)){\sqrt {{\phi ^{\prime }}^{2}(t)+{\psi ^{\prime }}^{2}(t)}}\mathrm {d} t

Integrál $I_{s}$ označujeme jako křivkový integrál prvního druhu, integrály $I_{x},I_{y}$ jako křivkové integrály druhého druhu. Je-li funkce $f(x,y)$ spojitá na křivce $k$ , pak uvedené integrály existují. Za integrál druhého druhu se považuje také integrál:

\int _{k}\left[f(x,y)\mathrm {d} x+g(x,y)\mathrm {d} y\right]=\int _{k}f(x,y)\mathrm {d} x+\int _{k}g(x,y)\mathrm {d} y

.

Je-li křivka $k$ uzavřená, pak k označení křivkového integrálu po této křivce užíváme integrační znak $\oint$ .

Význam křivkových integrálů je demonstrován na obrázku. Obsah plochy, která je nad křivkou $k$ ohraničena funkcí $z=f(x,y)$ , je určen křivkovým integrálem prvního druhu, tedy integrálem $I_{s}$ . Obsah (orientovaného) průmětu této plochy do roviny $xz$ , resp. $yz$ , je určen integrálem $I_{x}$ , resp. $I_{y}$ .

Vlastnosti křivkových integrálů

Je-li $k$ orientovaná křivka, kterou lze rozložit na dvě souhlasně orientované křivky $k_{1},k_{2}$ , pak pro křivkové integrály druhého druhu platí

\int _{k}f(x,y)\mathrm {d} x=\int _{k_{1}}f(x,y)\mathrm {d} x+\int _{k_{2}}f(x,y)\mathrm {d} x

\int _{k}f(x,y)\mathrm {d} y=\int _{k_{1}}f(x,y)\mathrm {d} y+\int _{k_{2}}f(x,y)\mathrm {d} y

a podobně pro křivkové integrály prvního druhu

\int _{k}f(x,y)\mathrm {d} s=\int _{k_{1}}f(x,y)\mathrm {d} s+\int _{k_{2}}f(x,y)\mathrm {d} s

Jsou-li na křivce $k$ definovány funkce $f_{1}(x,y),f_{2}(x,y)$ , pak pro libovolné konstanty $c_{1},c_{2}$

\int _{k}\left[c_{1}f_{1}(x,y)+c_{2}f_{2}(x,y)\right]\mathrm {d} x=c_{1}\int _{k}f_{1}(x,y)\mathrm {d} x+c_{2}\int _{k}f_{2}(x,y)\mathrm {d} x

\int _{k}\left[c_{1}f_{1}(x,y)+c_{2}f_{2}(x,y)\right]\mathrm {d} y=c_{1}\int _{k}f_{1}(x,y)\mathrm {d} y+c_{2}\int _{k}f_{2}(x,y)\mathrm {d} y

\int _{k}\left[c_{1}f_{1}(x,y)+c_{2}f_{2}(x,y)\right]\mathrm {d} s=c_{1}\int _{k}f_{1}(x,y)\mathrm {d} s+c_{2}\int _{k}f_{2}(x,y)\mathrm {d} s

Označme jako $k^{\prime }$ křivku, která má opačnou orientaci než křivka $k$ . Při změně orientace křivky změní integrály druhého druhu své znaménko, tzn.

\int _{k^{\prime }}f(x,y)\mathrm {d} x=-\int _{k}f(x,y)\mathrm {d} x

\int _{k^{\prime }}f(x,y)\mathrm {d} y=-\int _{k}f(x,y)\mathrm {d} y

Integrály prvního druhu při změně orientace znaménko nemění, tzn.

\int _{k^{\prime }}f(x,y)\mathrm {d} s=\int _{k}f(x,y)\mathrm {d} s

Zobecnění křivkových integrálů

Zobecnění křivkových integrálů na prostorové křivky je přímočaré. Je-li na oblasti $\Omega$ definována spojitá funkce $f(x,y,z)$ a křivka $k$ zadaná parametricky vztahy $x=\phi (t),y=\psi (t),z=\omega (t)$ pro $t\in \langle \alpha ,\beta \rangle$ , pak křivkový integrál prvého druhu zapíšeme

\int _{k}f(x,y,z)\mathrm {d} s=\int _{\alpha }^{\beta }f(\phi (t),\psi (t),\omega (t)){\sqrt {{\phi ^{\prime }}^{2}(t)+{\psi ^{\prime }}^{2}(t)+{\omega ^{\prime }}^{2}(t)}}\mathrm {d} t

Křivkové integrály druhého druhu pak mají tvar

\int _{k}f(x,y,z)\mathrm {d} x=\int _{\alpha }^{\beta }f(\phi (t),\psi (t),\omega (t))\phi ^{\prime }(t)\mathrm {d} t

\int _{k}f(x,y,z)\mathrm {d} y=\int _{\alpha }^{\beta }f(\phi (t),\psi (t),\omega (t))\psi ^{\prime }(t)\mathrm {d} t

\int _{k}f(x,y,z)\mathrm {d} z=\int _{\alpha }^{\beta }f(\phi (t),\psi (t),\omega (t))\omega ^{\prime }(t)\mathrm {d} t

Užití křivkových integrálů

Křivkové integrály mají široké využití v diferenciální geometrii, např. výpočet délky křivky či obsahu plochy, a ve fyzice, např. výpočet hmotnosti, těžiště a statických momentů nebo setrvačnosti tělesa, či výpočet vykonané práce podél dráhy, rovné křivkovému integrálu vektoru síly podle dráhy.

Diferenciální geometrie

V diferenciální geometrii hrají důležitou roli integrály prvního druhu (integrály ze skalárního pole podél křivky, neorientované) a integrály druhého druhu (integrály z vektorového nebo obecně tenzorového pole podél křivky, orientované).

Integrál prvního druhu

Nechť $F:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R}$ je skalární pole podél jednoduché po částech hladké křivky $C$ parametrizované zobrazením $\mathbf {r} (t):<a,b>\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$ , pro které je $\mathbf {r'} (t)$ nenulové pro každé $t$ . Potom křivkový integrál prvního druhu píšeme následovně, přičemž integrál elementu délky křivky $\mathrm {d} s$ je roven délce křivky:

\int _{C}F\ \mathrm {d} s=\int \limits _{a}^{b}F(\mathbf {r} (t))|{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} (t)}{\mathrm {d} t}}|\mathrm {d} t\ \ \ \ \

\ \ \ \ \ \mathbf {r} (t)=[x(t),y(t),z(t)]\ \ \ \ \

\ \ \ \ \ \int _{C}\mathrm {d} s=l(C)

,

kde $\mathrm {d} s={\sqrt {(dx)^{2}+(dy)^{2}+(dz)^{2}}}={\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}+z'(t)^{2}}}\ \mathrm {d} t$ , neboť $dx=x'(t)\ \mathrm {d} t$ , $\ dy=y'(t)\ \mathrm {d} t$ , $\ dz=z'(t)\ \mathrm {d} t$ .

Výsledná hodnota integrálu nezávisí na parametrizaci, ale pouze na křivce, podél které se integruje. Integrál skalárního pole po křivce vzniklé napojením dvou křivek v jednom bodě je součtem jednotlivých integrálů podél napojených křivek. Hodnota integrálu nezávisí na směru integrace (orientaci křivky).

Integrál druhého druhu

Nechť $\mathbf {F} :\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$ je vektorové pole podél jednoduché po částech hladké křivky $C$ parametrizované zobrazením $\mathbf {r} (t):<a,b>\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$ , pro které je $\mathbf {r'} (t)$ nenulové pro každé $t$ . Potom křivkový integrál druhého druhu píšeme následovně:

\int _{C}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =\int \limits _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} (t)}{\mathrm {d} t}}\mathrm {d} t

,

kde $\mathrm {d} \mathbf {r} =(dx,dy,dz)$ .

Výsledná hodnota integrálu nezávisí na parametrizaci, ale pouze na orientaci křivky, podél které se integruje. Integrál vektorového pole po křivce vzniklé napojením dvou stejně orientovaných křivek v jednom bodě je součtem jednotlivých integrálů podél napojených křivek. Hodnota integrálu při změně směru integrace (orientace křivky) změní znaménko.

Transformace integrálu II. druhu

Integrál 2. druhu lze vždy převést na integrál 1. druhu pomocí skalárního součinu vektorového pole a tečného vektoru křivky:

\int _{C}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =\int _{C}\mathbf {F} \cdot (\mathbf {\tau } \mathrm {d} s)=\int _{C}(\mathbf {F} \cdot \mathbf {\tau } )\mathrm {d} s=\int _{C}F_{t}\ \mathrm {d} s

.

Počítáme-li křivkový integrál 2. druhu z konzervativního pole (nevírového), které je gradientem funkce $F$ (potenciálu), na křivce s počátečním bodem A a koncovým bodem B, lze psát:

\int _{C}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =\int _{C}\mathbf {grad} \ F\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =\int \limits _{A}^{B}dF=F(B)-F(A)

,

kde $dF$ je totální diferenciál funkce $F$ , integrál pak nezávisí na cestě (křivce), ale jen na hodnotách potenciálu počátečního a koncového bodu.

Počítáme-li křivkový integrál 2. druhu z nekonzervativního pole (vírového) po uzavřené křivce (tzv. cirkulaci), můžeme použít klasickou Stokesovu větu:

\oint _{C}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =\iint _{S}\mathbf {rot} \ \mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S}

.

Komplexní analýza

V komplexní analýze se operuje s křivkovými integrály z funkce komplexní proměnné přes křivky v komplexní rovině. Křivkový integrál z holomorfní funkce $f(z)$ po křivce $C(t)$ , kde $t$ je její parametr probíhající interval $<a,b>$ :

\int _{C}f(z)\,\mathrm {d} z=\int \limits _{a}^{b}f(z(t)){\frac {\mathrm {d} z(t)}{\mathrm {d} t}}\,\mathrm {d} t

,

kde se integruje zvlášť reálná a imaginární část. Jde-li o uzavřenou křivku, potom se používá značení:

\oint _{C}f(z)\,\mathrm {d} z

.

Komplexní křivkové integrály lze zpravidla snadno počítat pomocí primitivní funkce, jako (reálné) křivkové integrály II. druhu, pomocí Greenovy věty, Cauchyovy věty, reziduové věty, nebo pomocí Cauchyova vzorce. Pokud integrační křivka splývá na některém svém úseku s reálnou osou, lze v určitých případech pomocí komplexních integrálů počítat integrály reálné.

Příklad

Mějme funkci $f(z)=1/z$ a křivku $C$ definovanou jako jednotkovou kladně orientovanou kružnici se středem v počátku, která je parametrizována jako $e^{it}$ , kde parametr $t$ probíhá interval $<0,2\pi >$ :

\oint _{C}f(z)\,\mathrm {d} z=\int \limits _{0}^{2\pi }{1 \over e^{it}}ie^{it}\,\mathrm {d} t=\int \limits _{0}^{2\pi }i\,\mathrm {d} t=2\pi i

,

což lze rovněž ověřit Cauchyovým vzorcem.

Související články

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématu křivkový integrál na Wikimedia Commons
Kniha Integrování/Výpočet reálných integrálů pomocí reziduové věty ve Wikiknihách
STRMISKA, Martin. Aplikace křivkového integrálu. Zlín: Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně, 2015, 75s. Dostupné také z: http://hdl.handle.net/10563/34231. Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně. Fakulta aplikované informatiky, Ústav automatizace a řídicí techniky.