Gaussova věta

Gaussova-Ostrogradského věta (Věta o divergenci) je věta diferenciální geometrie, která popisuje vztah mezi plošným integrálem druhého druhu vektorového pole v prostoru přes orientovanou plochu a objemovým integrálem divergence vektorového pole přes regulární oblast. Tato věta je speciálním případem tzv. zobecněné Stokesovy věty. Autorem Gaussovy-Ostrogradského věty je Johann Gauss a dokázal ji Michail Vasiljevič Ostrogradskij.

Znění věty

Oblast V ohraničená plochou S kladně orientovanou normálami n.

Je-li $\mathbf {F} (x,y,z)=[F_{x}(x,y,z),F_{y}(x,y,z),F_{z}(x,y,z)]$ vektorové pole se spojitými parciálními derivacemi prvního řádu na omezené regulární oblasti $V$ ohraničené uzavřenou jednoduše souvislou po částech hladkou kladně orientovanou plochou $S$, pak platí:

$\iint _{S}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \ \mathrm {d} S=\iiint _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)\ \mathrm {d} V=\iiint _{V}\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}\right)\ \mathrm {d} x\ \mathrm {d} y\ \mathrm {d} z$,

kde $\nabla \cdot \mathbf {F}$ je divergence vektorového pole $\mathbf {F}$.

Z fyzikálního hlediska vyjadřuje Gaussova věta skutečnost, že tok vektorového pole $\mathbf {F}$ uzavřenou plochou je roven objemovému integrálu z divergence pole $\mathbf {F}$, neboli velikosti součtu zřídel a propadů pole v oblasti plochou uzavřenou.

Související články

• Fubiniova věta

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Gaussova věta na Wikimedia Commons

Portály: Matematika

Autoritní data	PSH: 7494 GND: 4336399-4