Izolovaný a limitní kardinál

Izolovaný kardinál a limitní kardinál jsou pojmy z teorie množin, které rozdělují kardinální čísla na dvě disjunktní třídy podle postavení v hierarchii kardinálů.

Definice

Je-li $\lambda \,\!$ kardinál, pak množina všech větších kardinálů má vždy nejmenší prvek – označme jej $\lambda ^{+}\,\!$ a nazvěme následníkem kardinálu $\lambda \,\!$ . Kardinál $\lambda \,\!$ nazýváme předchůdcem kardinálu $\lambda ^{+}\,\!$

Řekneme, že kardinál je limitní, pokud nemá předchůdce a je neprázdný.
V opačném případě mluvíme o izolovaném kardinálu.

Poznámka: Pojmy limitní kardinál a izolovaný kardinál nesmí být zaměňovány s pojmy limitní ordinál a izolovaný ordinál. Každý nekonečný kardinál je limitním ordinálem, bez ohledu na to, zda se jedná o limitní kardinál nebo izolovaný kardinál.

Příklady

Všechna konečná ordinální čísla jsou zároveň izolované kardinály.
Množina přirozených čísel $\omega =\aleph _{0}\,\!$ je první limitní kardinál.
$\aleph _{1},\aleph _{2},\ldots \,\!$ , jsou izolované kardinály, obecně pro každý izolovaný ordinál $\alpha >0\,\!$ je $\aleph _{\alpha }\,\!$ izolovaný kardinál.
$\aleph _{\omega }\,\!$ je první nespočetný limitní kardinál, opět obecně pro každý limitní ordinál $\alpha \,\!$ je $\aleph _{\alpha }\,\!$ limitní kardinál.

Související články