Singulární ordinál

Singulární ordinál (resp. singulární kardinál) je matematický pojem z oblasti teorie množin (ordinální aritmetiky).

Definice

Limitní ordinál $\gamma$ je singulární, je-li ostře větší než jeho kofinalita (ekvivalentně – není-li regulární). Je-li $\gamma$ zároveň kardinální číslo, nazývá se singulární kardinál.

Příklad

Kardinální číslo $\aleph _{\omega }$ je singulární, neboť pro jeho kofinál platí $cf(\aleph _{\omega })=\ \aleph _{0}<\aleph _{\omega }$ .
(Stačí si uvědomit, že $\{\aleph _{0},\aleph _{1},\aleph _{2},\ldots \}=\{\aleph _{\alpha }:\alpha <\omega \}$ je kofinální podmnožina množiny $\aleph _{\omega }$ .)

Vlastnosti

Moti Gitik roku 1979 ukázal, že tvrzení „Každý nespočetný kardinál je singulární“ je bezesporné s axiomy Zermelo-Fraenkelovy teorie množin.

Související články