Zjemnění rozkladu je matematický pojem z oboru teorie množin, který umožňuje uspořádání množiny všech rozkladů určité pevně dané množiny.
Předpokládejme, že jsou 
a 
dva rozklady množiny 
(množina podmnožin množiny je rozklad, pokud její sjednocení je rovno a každé dva její prvky jsou disjunktní množiny).
Řekneme, že rozklad je zjemněním rozkladu , pokud vznikl z rozdělením některých jeho množin na podmnožiny. Přesněji zapsáno
Tuto skutečnost zapisujeme symbolem 
.
Uvažujme o rozkladech množiny 
všech přirozených čísel.
- Rozklad na všechny jednoprvkové podmnožiny
je nejjemnější rozklad množiny – pro každý jiný rozklad 
platí
.
- Rozklad množiny na jednu jedinou množinu obsahující všechny prvky , značenou
, je nejhrubší rozklad množiny – pro každý jiný rozklad platí
.
- Je-li
rozklad na zbytkové třídy po dělení číslem n (tj. například 
), pak platí, že 
, právě když b dělí a. Například 
nebo 
.
Dá se poměrně snadno ověřit, že relace 
je neostré uspořádání množiny 
všech možných rozkladů množiny . Určitě se ale nejedná o lineární uspořádání – pokud se vrátíme k předchozímu příkladu, tak neplatí ani 
, ani 
.
Uvažujme o tříprvkové množině 
. Tato množina má celkem pět rozkladů 
, kde
Je vidět, že
nelze porovnat
Jak je uvedeno v článku Ekvivalence (matematika), odpovídá každý rozklad na množině vzájemně jednoznačně nějaké ekvivalenci na množině .
Je-li rozklad a 
jemu odpovídající ekvivalence, potom R je shodný s množinou tříd ekvivalence a naopak – lze definovat pomocí rozkladu takto:
Lidsky: dva prvky jsou ekvivalentní, pokud náleží do stejné množiny v rozkladu
Označme 
množinu všech možných ekvivalencí na množině .
Dá se ukázat, že relace 
(tj. "být podmnožinou) se chová na množině úplně stejně, jako relace na množině , jinými slovy:
Množina při uspořádání je izomorfní s množinou při uspořádání .
Vraťme se k tříprvkové množině a spočítejme všechny ekvivalence, které na ní lze vytvořit. Žádný div, že jich je zase pět:
![{\displaystyle E_{a}=\{[1,1],[2,2],[3,3]\}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1bd95ddcf5eedae3825bc0a0c9e004459945d50)
![{\displaystyle E_{b}=\{[1,1],[2,2],[3,3],[1,2],[2,1]\}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28321012592b82eba46f68ef853ac63892a9c746)
![{\displaystyle E_{c}=\{[1,1],[2,2],[3,3],[1,3],[3,1]\}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d96a77e098e8f48951c429cd203508aba608154b)
![{\displaystyle E_{d}=\{[1,1],[2,2],[3,3],[2,3],[3,2]\}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a81cdd8a9a39b6a6fb8f1df365681bb1029ccaf7)
![{\displaystyle E_{e}=\{[1,1],[2,2],[3,3],[1,2],[2,1],[1,3],[3,1],[2,3],[3,2]\}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63d6cf3f8d90b2a03991612ec9e2eef175f2d4cc)
Není ani příliš překvapivé, že mezi těmito ekvivalencemi platí stejné vztahy, jako mezi rozklady – tak už to u izomorfních struktur chodí:
nelze porovnat
Na závěr ještě podotkněme, že množina všech rozkladů s uspořádáním pomocí zjemnění tvoří algebraickou strukturu nazývanou úplný svaz – lze na ní tedy zavést operace součtu a součinu a s rozklady počítat podobně, jako by to byla čísla.
