Tichonovova věta

Tichonovova věta je matematické tvrzení z oblasti topologie. Říká, že libovolný součin kompaktních topologických prostorů je také kompaktní. Platnost této věty je ekvivalentní axiomu výběru. Poprvé ji dokázal roku 1929 Andrej Nikolajevič Tichonov.

Přesné znění

Za předpokladu axiomu výběru: Nechť $X_{\alpha },\;\alpha \in A$ jsou kompaktní topologické prostory, A libovolná množina. Pak součin $\prod _{\alpha \in A}X_{\alpha }$ je kompaktní.

Důkaz

K důkazu se využívá takzvané Alexandrovo lemma, které říká následující:

(Lemma Alexander) Nechť v topologickém prostoru Y existuje subbáze S taková, že z každého pokrytí prostoru Y prvky S lze vybrat konečné podpokrytí. Pak prostor Y je kompaktní.

Dále volme v součinu $\prod _{\alpha \in A}X_{\alpha }$ subbázi $S=\{\Pi _{\alpha }^{-1}(G);\;\alpha \in A,\,G$ otevřená v $\,X_{\alpha }\}$ , kde $\,\Pi _{\alpha }:\prod _{\alpha \in A}X_{\alpha }\rightarrow X_{\alpha }$ jsou kanonické projekce. Nechť je dáno pokrytí ${\mathcal {P}}$ prostoru Y prvky S. Dle Alexandrova lemmatu stačí ukázat, že z ${\mathcal {P}}$ lze vybrat konečné podpokrytí.

Volme $\,{\mathcal {P}}_{\alpha }=\{G\subseteq X_{\alpha };\;\Pi _{\alpha }^{-1}(G)\in {\mathcal {P}}\}$ pro každé $\,\alpha \in A$ . Pak zřejmě alespoň jeden ze systémů ${\mathcal {P}}_{\alpha }$ pokrývá $\,X_{\alpha }$ , neboť jinak zvolíme-li pro každé $\,\alpha \in Ax_{\alpha }$ takové, že není v žádné množině z ${\mathcal {P}}_{\alpha }$ , neleží $(x_{\alpha })_{\alpha \in A}\in \prod _{\alpha \in A}X_{\alpha }$ v žádné množině z ${\mathcal {P}}$ (to plyne triviálně z ${\mathcal {P}}\subseteq S$ ), což je spor s tím, že ${\mathcal {P}}$ je pokrytí součinu. Tedy máme $\alpha$ takové, že $\,{\mathcal {P}}_{\alpha }$ pokrývá $\,X_{\alpha }$ . Pak z kompaktnosti $\,X_{\alpha }$ existují $G_{1},\ldots ,G_{k}\in {\mathcal {P}}_{\alpha }$ , že $\bigcup _{i=1}^{k}G_{i}=X_{\alpha }$ , pak $\Pi _{\alpha }^{-1}(G_{1}),\ldots ,\Pi _{\alpha }^{-1}(G_{k})\in {\mathcal {P}}$ a zřejmě $\bigcup _{i=1}^{k}\Pi _{\alpha }^{-1}(G_{i})=\prod _{\alpha \in A}X_{\alpha }$ , tedy jsme nalezli konečné podpokrytí ${\mathcal {P}}$ , což jsme potřebovali.

Aplikace

Tichonovova věta se používá k definici Čech-Stoneovy kompaktifikace Tichonovových prostorů.
Pomocí Tichonovovy věty lze dokázat důležitou Banachovu–Alaogluovu větu z funkcionální analýzy.
V logice lze užít Tichonovovu větu k důkazu výrokové verze věty o kompaktnosti.

Reference

V češtině:

Čech, Eduard Topologické prostory, Nakladatelství Československé akademie věd, 1959.

V angličtině:

Munkres, James, Topology, 2nd edition, Prentice Hall, 2000.
A major general reference.
Johnstone, Peter T., Stone spaces, Cambridge studies in advanced mathematics 3, Cambridge University Press, 1982.
Obsahuje diskuzi o slabších verzích Tichonovovy věty, např. pro Hausdorffovy prostory a seznam další literatury.
Johnstone, Peter T., Tychonoff's theorem without the axiom of choice, Fundamenta Mathematica 113, 21--35, 1981.

V němčině:

Tychonoff, Andrey N., Über die topologische Erweiterung von Räumen, Mathematische Annalen 102, 544--561, 1929. (Původní Tichonovův článek.)