Symplektická grupa

Symplektická grupa je pojem z matematiky, přesněji z lineární algebry, Lieových grup a matematické teorie mechaniky.

Definice

Symplektická grupa je množina všech invertibilních lineárních zobrazení prostoru V do sebe, které zachovávají nějakou nedegenerovanou antisymetrickou bilineární formu $\omega$. Tedy $Sp(V,\omega )=\{A\in End(V),\forall \mathbf {v} ,\mathbf {w} \quad \omega (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=\omega (A\mathbf {v} ,A\mathbf {w} )\}.$

Pro různá $\omega$ jsou grupy $Sp(V,\omega )$ izomorfní, značí se tedy častěji jako $Sp(V)$. Pokud je V reálný dimenze $2n$, značíme příslušnou grupu $Sp(2n,\mathbb {R} )$, pro komplexní V značíme $Sp(2n,\mathbb {C} )$.

Kromě toho se obvykle definuje tzv. kvaternionická symplektická grupa $Sp(n)$, která je definována jako množina všech invertibilních lineárních zobrazení prostoru $\mathbb {H} ^{n}$ nad tělesem kvaternionů. Tato grupa je kompaktní a dá se reprezentovat pomocí komplexních matic dimenze 2n jako

$Sp(n)=Sp(2n,\mathbb {C} )\cap U(2n)$

kde U(2n) je unitární grupa. Kvaternionická symplektická grupa se někdy značí také USp(n).

Příklad

Pokud V je reálný vektorový prostor dimenze 2, je Sp(V) izomorfní SL(2,R), tzv. reálné unimodulární grupě. Odtud snadno plyne, že elementy Sp(V) v tomto případě jsou složení rotací, spc. zkosení a spc. dilatací, generující všechna lineární izovolumina.

Pro kvaternionickou symplektickou grupu dimenze 1 platí

$Sp(1)\simeq SU(2)\simeq S^{3}$

kde SU(2) je speciální unitární grupa a $S^{3}$ grupa jednotkových kvaternionů.

Tvrzení

Pokud V je komplexní nebo reálný vektorový dimenze 2n, je symplektická grupa Sp(V) nekompaktní souvislou Lieovou grupou komplexní nebo reálné dimenze n(2n+1) .

Pokud V je reálný, je první homotopická grupa Sp(V) izomorfní Z, tj. homotopického typu kružnice. Pokud V je komplexní, je Sp(V) jednoduše souvislá.

Pokud A in Sp(V), pak det(A) = 1. Pro V komplexní nebo reálný, je Sp(V) tzv. jednoduchá Lieova grupa.

Aplikace

Symplektická grupa Sp(V) je grupou všech lineárních kanonických transformací lib. Hamiltonova systému na V.

Symplektická grupa je užívána v teorii Eisensteinových řad.

Autoritní data	NDL: 00571095