Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Sdružený operátor nebo též adjungovaný operátor je významný pojem ve funkcionální analýze .
Jsou-li
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
K
{\displaystyle {\mathcal {K}}}
Hilbertovy prostory , pak k lineárnímu operátoru
T
:
H
→
K
{\displaystyle T:{\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {K}}}
T
∗
:
K
→
H
{\displaystyle T^{*}:{\mathcal {K}}\rightarrow {\mathcal {H}}}
⟨
T
x
,
y
⟩
=
⟨
x
,
T
∗
y
⟩
∀
x
∈
H
,
y
∈
K
.
{\displaystyle \langle Tx,y\rangle =\langle x,T^{*}y\rangle \quad \forall x\in {\mathcal {H}},y\in {\mathcal {K}}.}
Rieszova věta zaručuje existenci a jednoznačnost sdruženého operátoru.
Často se pro sdružený operátor též používá značení
A
†
{\displaystyle A^{\dagger }}
A
+
{\displaystyle A^{+}}
T
∗
∗
=
T
{\displaystyle T^{**}=T}
(
S
+
T
)
∗
=
S
∗
+
T
∗
{\displaystyle (S+T)^{*}=S^{*}+T^{*}}
(
S
T
)
∗
=
T
∗
S
∗
{\displaystyle (ST)^{*}=T^{*}S^{*}}
(
λ
T
)
∗
=
λ
¯
T
∗
{\displaystyle (\lambda T)^{*}={\overline {\lambda }}T^{*}}
Je-li
T
{\displaystyle T}
invertibilní , tak:
(
T
∗
)
−
1
=
(
T
−
1
)
∗
{\displaystyle (T^{*})^{-1}=(T^{-1})^{*}}
V prostoru konečné dimenze sdruženému operátoru odpovídá komplexně sdružená transponovaná matice, tzv. hermiteovsky sdružená neboli adjungovaná matice. Máme-li běžnou operátorovu normu
‖
T
‖
=
sup
‖
x
‖
≤
1
‖
T
x
‖
{\displaystyle \|T\|=\sup _{\|x\|\leq 1}\|Tx\|}
Tak platí:
‖
T
‖
=
‖
T
∗
‖
{\displaystyle \|T\|=\|T^{*}\|}
A navíc:
‖
T
∗
T
‖
=
‖
T
‖
2
{\displaystyle \|T^{*}T\|=\|T\|^{2}}
Jádro sdruženého operátoru je ortogonální na obraz původního operátoru, tj.:
Ker
T
∗
=
(
Im
T
)
⊥
{\displaystyle \operatorname {Ker} \ T^{*}=(\operatorname {Im} \ T)^{\bot }}
(
Ker
T
∗
)
⊥
=
Im
T
¯
{\displaystyle (\operatorname {Ker} \ T^{*})^{\bot }={\overline {\operatorname {Im} \ T}}}
Prvá rovnost platí protože:
T
∗
x
=
0
⟺
⟨
T
∗
x
,
y
⟩
=
0
∀
y
∈
H
⟺
⟨
x
,
T
y
⟩
=
0
∀
y
∈
H
⟺
x
⊥
Im
T
{\displaystyle {\begin{aligned}T^{*}x=0&\iff \langle T^{*}x,y\rangle =0\quad \forall y\in {\mathcal {H}}\\&\iff \langle x,Ty\rangle =0\quad \forall y\in {\mathcal {H}}\\&\iff x\ \bot \ \operatorname {Im} \ T\end{aligned}}}
Druhá rovnost vznikne jednoduše z první vzetím ortogonálního doplňku obou stran.
