Podsvaz

Podsvaz je podmnožina svazu, která je sama také svazem.

Definice

Nechť (A,∧,∨) je svaz a B je neprázdná podmnožina A. Pak B se nazývá podsvazem svazu A, platí-li, že B je uzavřená vzhledem ke svazovým operacím „∧“ a „∨“. tedy $\forall a,b\in B:a\wedge b\in B,a\vee b\in B$

Příklad

Množina B = {1,2,3,5,6,10,15,30} všech přirozených dělitelů čísla 30 je podsvazem svazu $(\mathbb {N} ,|)$

Vlastnosti

Jestliže B je podsvaz svazu A, pak B je svazem vzhledem k indukovanému uspořádání.

Obráceně to nemusí platit. Podmnožina $B\subseteq A$ může být svazem, ale nemusí být podsvazem v A.

Konvexní podsvaz

Nechť (A,∧,∨) je svaz a B je podsvaz A. Pak B se nazývá konvexní podsvaz, je-li $\forall a,b\in B,c\in A:a\leq c\leq b\Rightarrow c\in B$

Neboli podsvaz je konvexní, když s každými dvěma prvky $a\leq b$ obsahuje i celý interval [a,b].

Odkazy

Související články