Nulová matice

V lineární algebře se pojmem nulová matice označuje matice, která má všechny prvky nulové. Slouží také jako neutrální prvek v aditivní grupě matic daného typu.

Příkladem nulových matic jsou

${\boldsymbol {0}}_{1,1}={\begin{pmatrix}0\end{pmatrix}},\ {\boldsymbol {0}}_{2,2}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}},\ {\boldsymbol {0}}_{2,3}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$.

Obvykle se nulová matice značí ${\boldsymbol {0}}_{m,n}$ nebo jen krátce ${\boldsymbol {0}}$, pokud je z kontextu jasné že se jedná o matici a její rozměry jsou zřejmé nebo nepodstatné.

Vlastnosti

Nulové matice jsou jediné matice hodnosti 0.

Pro determinant čtvercové nulové matice platí

$\det({\boldsymbol {0}})=0$.

Součin libovolné matice s nulovou maticí zleva či zprava dává vždy nulovou matici. Přesněji, je-li ${\boldsymbol {A}}$ typu $m\times n$, pak platí: ${\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {0}}_{n,p}={\boldsymbol {0}}_{m,p}$ a také ${\boldsymbol {0}}_{q,m}{\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {0}}_{q,n}$.

Součet libovolné matice ${\boldsymbol {A}}$ s nulovou maticí ${\boldsymbol {0}}$ stejného typu je vždy matice ${\boldsymbol {A}}$, neboli: ${\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {0}}={\boldsymbol {A}}$.

Zajímavost

Je-li dána konečná množina celočíselných matic $n\times n$, je otázkou, zdali je lze vynásobit v nějakém pořadí, případně s opakováním a získat nulovou matici. Tento mortal matrix problem je znám jako jeden z nerozhodnutelných už pro množinu šesti matic řádu 3 nebo pro dvě matice řádu 15.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Zero matrix na anglické Wikipedii.

Literatura

• BÄRTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. Praha: Academia, 2006. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. Kapitola Matice, s. 180–198.