Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Jako multirozklad (multiresolution analysis signálu
f
(
t
)
∈
L
2
(
R
)
{\displaystyle f(t)\in L^{2}(\mathbb {R} )}
podprostorů
V
m
{\displaystyle \mathbf {V_{m}} }
Celý prostor spojitých funkcí
L
2
(
R
)
{\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}
{
0
}
⋯
⊂
V
2
⊂
V
1
⊂
V
0
⊂
V
−
1
⊂
V
−
2
⊂
…
L
2
(
R
)
{\displaystyle \{0\}\dots \subset \mathbf {V_{2}} \subset \mathbf {V_{1}} \subset \mathbf {V_{0}} \subset \mathbf {V_{-1}} \subset \mathbf {V_{-2}} \subset \dots L^{2}(\mathbb {R} )}
V souvislosti s vlnkovou transformací tvoří systém
{
ϕ
j
,
n
}
n
∈
Z
{\displaystyle \{\phi _{j,n}\}_{n\in \mathbb {Z} }}
bázi prostoru
V
j
{\displaystyle \mathbf {V_{j}} }
ortogonálního doplňku
V
j
−
1
=
V
j
⊕
W
j
{\displaystyle \mathbf {V_{j-1}} =\mathbf {V_{j}} \oplus \mathbf {W_{j}} }
Zde systém
{
ψ
j
,
n
}
n
∈
Z
{\displaystyle \{\psi _{j,n}\}_{n\in \mathbb {Z} }}
W
j
{\displaystyle \mathbf {W_{j}} }
{
ψ
j
,
n
}
j
,
n
∈
Z
2
{\displaystyle \{\psi _{j,n}\}_{j,n\in \mathbb {Z} ^{2}}}
L
2
(
R
)
{\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}
L
2
(
R
)
=
⊕
j
=
−
∞
+
∞
W
j
{\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )=\oplus _{j=-\infty }^{+\infty }\mathbf {W_{j}} }
Pro lepší představu lze hierarchii popsat následovně.
L
2
(
R
)
=
⋯
⊕
W
2
⏟
V
1
⊕
W
1
⏟
V
0
⊕
W
0
⊕
W
−
1
⊕
W
−
2
⊕
…
{\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )=\underbrace {{\underbrace {\dots \oplus \mathbf {W_{2}} } _{\mathbf {V_{1}} }}\oplus \mathbf {W_{1}} } _{\mathbf {V_{0}} }\oplus \mathbf {W_{0}} \oplus \mathbf {W_{-1}} \oplus \mathbf {W_{-2}} \oplus \dots }
Multirozklad vyžaduje platnosti tzv. dilatačních rovnic
ϕ
(
t
)
=
2
∑
n
h
(
n
)
ϕ
(
2
t
−
n
)
ψ
(
t
)
=
2
∑
n
g
(
n
)
ϕ
(
2
t
−
n
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\phi (t)={\sqrt {2}}\sum _{n}h(n)\phi (2t-n)\\\psi (t)={\sqrt {2}}\sum _{n}g(n)\phi (2t-n)\end{aligned}}}
S jeho pomocí lze také vyjádřit vlnkové řady a diskrétní vlnkovou transformaci podle Mallatova schématu.
