Moivreova věta

Moivreova (čti [mwavʁova] IPA) věta říká, že pro libovolné komplexní číslo (a speciálně tedy i reálné číslo) x a libovolné celé číslo n platí:

(\cos x+i\sin x)^{n}=\cos(nx)+i\sin(nx).\,

kde i je imaginární jednotka.

Tento vztah je důležitý, neboť propojuje komplexní čísla s goniometrií.

Výraz $\cos x+i\sin x$ se někdy zkracuje na $\mathrm {cis} \ x$ .

Roznásobením levé strany a porovnáním reálných a imaginárních částí je možno odvodit vztahy pro vyjádření cos(nx) a sin(nx) pomocí cos(x) a sin(x).

Moivreovu větu lze také použít k vyjádření n-té odmocniny jedničky, tedy k nalezení takového komplexního čísla z, pro které platí zⁿ = 1.

Abraham de Moivre byl dobrým přítelem Newtona a roku 1698 dokonce napsal, že Newtonovi byl tento vzorec znám již v roce 1676.

Tato věta může být odvozena též z Eulerova vzorce e^ix = cos x + i sin x , který je ovšem historicky mladší.

Užití věty

Větu lze použít k výpočtu n-té odmocniny z komplexního čísla.

Zapíšeme-li komplexní číslo v jeho goniometrickém tvaru

$z=A(\cos x+i\sin x),\,$

pak všech jeho $n\,\!$ odmocnin $n\,\!$ -tého stupně lze zapsat jako

z^{1/n}=(A(\cos x+i\sin x))^{1/n}=\{A^{1/n}(\cos \left({\frac {x+2k\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {x+2k\pi }{n}}\right)):0\leq k\leq n-1\}

Důkaz

Uvažujme tři případy:

Pro n > 0 použijeme indukci. Pro n = 1 rovnost evidentně platí. Uvažujme indukční krok n → n₀ + 1

(\cos x+i\sin x)^{n_{0}+1}\,

=(\cos x+i\sin x)^{n_{0}}(\cos x+i\sin x)\,

=(\cos(n_{0}x)+i\sin(n_{0}x))(\cos x+i\sin x)\,

(z indukčního předpokladu)

=\cos(n_{0}x)\cos x-\sin(n_{0}x)\sin x+i(\cos(n_{0}x)\sin x+\sin(n_{0}x)\cos x)\,

Zde použijeme goniometrické součtové vzorce: sin(x + y) = sin(x)*cos(y) + cos(x)*sin(y) a cos(x + y) = cos(x)*cos(y) - sin(x)*sin(y).

=\cos((n_{0}+1)x)+i\sin((n_{0}+1)x)\,

Odvodili jsme, že rovnost platí pro n = n₀ + 1, jestliže platí pro n₀, a tedy indukcí platí pro všechna n přirozená.

Pro n = 0 rovnost platí, protože $\cos(0x)+i\sin(0x)=1+i\cdot 0=1$ a nultá mocnina z komplexního čísla je též 1.

Pro n < 0 vezměme přirozené m takové, aby n = −m. Potom

(\cos x+i\sin x)^{n}\,=(\cos x+i\sin x)^{-m}\,

={\frac {1}{(\cos x+i\sin x)^{m}}}={\frac {1}{(\cos(mx)+i\sin(mx))}}\,

(shora)

=\cos(mx)-i\sin(mx)\,

=\cos(-mx)+i\sin(-mx)\,=\cos(nx)+i\sin(nx).\,

Tvrzení tedy platí pro všechna n celá. Q.E.D.

Poznámka: Moivreova věta je ve skutečnosti trochu obecnější, pokud by z a w byla čísla komplexní, pak cos (wz) + i⋅sin (wz) je jednou z (více) možných úprav výrazu (cos z + i⋅sin z)^w.

Související články