Laplaceova metoda je technika pro asymptotické aproximace Laplaceových integrálů, tedy přibližný výpočet integrálů ve tvaru
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)e^{-ng(t)}\mathrm {d} t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a168011ae0939ddfc6d822571efb917f35d24f78)
Meze
a
mohou nabývat hodnot
.
Čím větší je
tím je aproximace přesnější. Speciálním případem těchto integrálů je Laplaceova transformace. Metoda je pojmenována podle francouzského matematika Pierra-Simona Laplaceho, který ji publikoval v roce 1774.[1]
Zobecněním metody na komplexní čísla je metoda největšího spádu.
Nechť
a existuje ostré minimum
(tedy
a
). Dále platí
. Pak platí
![{\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }{\frac {\int _{a}^{b}f(t)e^{-ng(t)}\mathrm {d} t}{e^{-ng(t_{0})}f(t_{0}){\sqrt {\frac {2\pi }{ng''(t_{0})}}}}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f70d598ddf993864180b8f61f1b65354b8cda3b)
nebo v terminologii asymptotické analýzy
.
Základní myšlenka je následující:[2]
Největší příspěvek k hodnotě integrálu pochází z bodů v okolí
.
Za předpokladu, že
je velmi velké, můžeme integrál vyjádřit takto:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(t)e^{-ng(t)}\mathrm {d} t&=e^{-ng(t_{0})}\int _{a}^{b}f(t)e^{-n\left[g(t)-g(t_{0})\right]}\mathrm {d} t\\&\approx e^{-ng(t_{0})}f(t_{0})\int _{t_{0}-\varepsilon }^{t_{0}+\varepsilon }e^{-n\left[g(t)-g(t_{0})\right]}\mathrm {d} t\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf02758cba233624afc9ec7041db4db22f22139c)
Funkci
v bodě
vyjádříme pomocí Taylorova rozvoje:
![{\displaystyle g(t)=g(t_{0})+g'(t_{0})(t-t_{0})+{\frac {1}{2}}g''(t_{0})(t-t_{0})^{2}+{\mathcal {O}}((t-t_{0})^{3})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d4a71e8bbc469a8a5cbd6dd167d348f3ff9a3e6)
Tedy můžeme aproximovat
![{\displaystyle {\begin{aligned}g(t)-g(t_{0})&\approx g'(t_{0})(t-t_{0})+{\frac {1}{2}}g''(t_{0})(t-t_{0})^{2}\\&={\frac {1}{2}}g''(t_{0})(t-t_{0})^{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf23f201cf5532ed0e20746a63771a2c4a8c451e)
Odtud plyne
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)e^{-ng(t)}\mathrm {d} t\approx e^{-ng(t_{0})}f(t_{0})\int _{t_{0}-\varepsilon }^{t_{0}+\varepsilon }e^{-{\frac {n}{2}}g''(t_{0})(t-t_{0})^{2}}\mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d744f2f0520aca1236a501481a041b0ddcda2efc)
Pokud by v integrálu na pravé straně byly integrační meze
šlo by o Gaussův integrál; díky tomu, že hodnota exponenciální funkce při odchýlení od
klesá velmi rychle, můžeme použít jeho hodnotu:
![{\displaystyle {\begin{aligned}e^{-ng(t_{0})}f(t_{0})\int _{t_{0}-\varepsilon }^{t_{0}+\varepsilon }e^{-{\frac {n}{2}}g''(t_{0})(t-t_{0})^{2}}\mathrm {d} t&\approx f(t_{0})e^{-ng(t_{0})}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{\frac {n}{2}}g''(t_{0})(t-t_{0})^{2}}\mathrm {d} t\\&=f(t_{0})e^{-ng(t_{0})}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{\frac {n}{2}}g''(t_{0})s^{2}}\mathrm {d} s\\&=f(t_{0})e^{-ng(t_{0})}{\sqrt {\frac {2\pi }{ng''(t_{0})}}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0c58cd218493407d1a846ec78fa06658940442d)
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Methode von Laplace na německé Wikipedii.
- ↑ LAPLACE, Pierre-Simon. Mémoires de Mathématique et de Physique, Tome Sixième [online]. Institute of Mathematical Statistics [cit. 2021-05-21]. Dostupné online.
- ↑ COHN, Steve. Integral Asymptotics: Laplace’s Method [online]. University of Nebraska-Lincoln. Dostupné online.