Laméovy koeficienty (křivočaré souřadnice)

Laméovy koeficienty (též Lamého koeficienty) jsou v matematice výrazy, které udávají vztah mezi i-tým bázovým vektorem ${\vec {{\boldsymbol {e}}_{i}}}$ a derivací podle i-té souřadnice $\partial {\vec {\boldsymbol {x}}}/\partial {q_{i}}$. Vyskytují se ve vzorcích pro výpočet gradientu, divergence a rotace v jiných než kartézských souřadnicích (např. křivočarých). V případě ortogonálních souřadnic jsou vektory derivace podle souřadnice $\partial {\vec {\boldsymbol {x}}}/\partial {q_{i}}$ a gradient souřadnice ${\vec {\nabla }}q_{i}$ rovnoběžné a podíl jejich délek je kvadrát odpovídajícího Lamého koeficientu. Jsou pojmenovány po Gabrielu Laméovi.

Definice

Mějme n-rozměrný afinní prostor $V$ (tedy například trojrozměrný euklidovský prostor) a na něm zavedené souřadnice $q_{i}$. Dokážeme tedy vyjádřit zobrazení $X(q_{1},...q_{n})$, které n-tici souřadnic přiřadí jim odpovídající bod z $V$. Je-li toto zobrazení diferencovatelné, Lamého koeficienty $h_{1}$ až $h_{n}$ definujeme jako:

$h_{i}(q_{1},...q_{n})={\begin{Vmatrix}{\dfrac {\partial X}{\partial q_{i}}}(q_{1},...q_{n})\end{Vmatrix}}$

Každý Lamého koeficient je tedy vlastně skalární pole. Protože závislost na konkrétních souřadnicích je zřejmá z definice, je zvykem místo $h_{i}(q_{1},...q_{n})$ psát pouze $h_{i}$.

Protože se bázové vektory ${\vec {{\boldsymbol {e}}_{i}}}$ definují jako jednotkové vektory ve směru $\partial X/\partial {q_{i}}$, platí:

${\frac {\partial X}{\partial q_{i}}}={\begin{Vmatrix}{\dfrac {\partial X}{\partial q_{i}}}\end{Vmatrix}}\;{\vec {e_{i}}}=h_{i}{\vec {e_{i}}}$

Jsou-li souřadnice $q_{i}$ navíc ortogonální, tedy platí-li ${\vec {e_{i}}}\perp {\vec {e_{j}}}$ pro každé $i\neq j$ (zde nám již nestačí afinní prostor, potřebujeme unitární prostor se skalárním součinem), potom navíc platí:

${\vec {\nabla }}q_{i}={\frac {1}{h_{i}}}{\vec {e_{i}}},\;\;\;\;\;{\frac {\partial {\vec {x}}}{\partial q_{i}}}={(h_{i})}^{2}\;{\vec {\nabla }}q_{i}$

kde ${\vec {x}}$ je polohový vektor v kartézských souřadnicích a předpokládáme, že ${\vec {x}}={\vec {x}}(q_{1},...q_{n})$ a $q_{i}=q_{i}({\vec {x}})$.

Reference

Portály: Matematika