Kvadraturně zrcadlový filtr

Jako kvadraturně zrcadlové filtry (quadrature mirror filter, QMF) se při zpracování signálu označují dva filtry s frekvenčními charakteristikami zrcadlově symetrickými kolem čtvrtiny vzorkovací frekvence (tzn. $\pi /2$). Své užití mají zejména při výpočtu diskrétní vlnkové transformace.

Zrcadlový filtr k původnímu filtru $H_{0}(z)$ (typicky dolní propust) vytvoříme nahrazením $z$ za $-z$ v jeho přenosové charakteristice.

$H_{1}(z)=H_{0}(-z)\,$

Tím se charakteristika filtru $H_{1}$ posune vůči $H_{0}$ o $\pi$.

$|H_{1}(e^{j\omega })|=|H_{0}(e^{j(\pi -\omega )})|\,$

Impulzní charakteristiku vytvoříme tedy jako:

$h_{1}[n]=(-1)^{n}h_{0}[n]\,$ pro $0\leq n<N\,$

Ortogonální banky filtrů

Pro ortogonální v čase diskrétní vlnkovou transformaci je při konstrukci zrcadlových filtrů nutné splnit další podmínky.

Budeme potřebovat dva rozkladové filtry $H_{0}$ a $H_{1}$ a dva rekonstrukční filtry $G_{0}$ a $G_{1}$.

banka kvadraturně zrcadlových filtrů

Rozkladové filtry musejí být vzájemně komplementární (pouze jinak zapsaná podmínka perfektní rekonstrukce).

$|H_{0}(z)|^{2}+|H_{1}(z)|^{2}=konstanta\,$, za konstantu je dosazována 2

Mějme opět původní dolní propust $H_{0}$. Zrcadlovou horní propust $H_{1}$ (tzv. konjugovaný kvadraturní filtr, conjugated quadrature filter, CQF) musíme vytvořit následovně (variant je ve skutečnosti více).

$H_{1}(z)=zH_{0}(-z^{-1})\,$

Impulzní charakteristika je tedy:

$h_{1}[n]=(-1)^{n}h_{0}[N-1-n]\,$ pro $0\leq n<N\,$

Rekonstrukční filtry:

$G_{0}(z)=H_{0}(z^{-1})\,$

$G_{1}(z)=H_{1}(z^{-1})\,$

Impulzní charakteristiky jsou tedy pouze časově obrácené vzorky příslušných rozkladových filtrů.

Výstupy rozkladových filtrů je nyní možné podvzorkovat dvěma (zahodit každý lichý nebo každý sudý vzorek), protože filtry propustí polovinu frekvenčního pásma a podle Shannonova teorému je nyní potřeba pouze poloviční množství vzorků. Před rekonstrukcí se chybějící vzorky doplní nulami. Výstupy větví s dolní a horní propustí se sečtou. Výsledný signál by měl být zpožděným vstupním signálem.

Perfektní rekonstrukce

Jako perfektní rekonstrukci označujeme situaci, kdy se (zpožděný) vstupní signál rovná výstupnímu $x[n-l]={\hat {x}}[n]$.

V z-doméně:

$G_{0}(z)H_{0}(z)+G_{1}(z)H_{1}(z)=2z^{-l}\,$

$G_{0}(z)H_{0}(-z)+G_{1}(z)H_{1}(-z)=0\,$, kde $z^{-l}$ je zpoždění