Knuthův zápis

Knuthův zápis je způsob zápisu velkých čísel zavedený Donaldem Knuthem v roce 1976. Idea zápisu je, že násobení se může brát jako opakované sčítání, a umocňování jako opakované násobení. Pokračování tímto způsobem spěje k opakovanému umocňování (tetraci) a k dalším operacím.

Úvod

Základní matematické operace sčítání, násobení a umocňování jsou přirozeně rozšířeny do sekvence hyperoperací následujícím způsobem.

Násobení přirozeným číslem lze definovat jako opakované sčítání

$a\times b=\underbrace {a+a+\dots +a} _{b{\text{ opakování }}a}.$

Příklad:

$4\times 3=\underbrace {4+4+4} _{3{\text{ opakování }}4}=12$

Operátor umocňování

Umocňování na přirozený exponent $b$ lze definovat jako opakované násobení, což Knuth označil jednou šipkou vzhůru

$a\uparrow b=a^{b}=\underbrace {a\times a\times \dots \times a} _{b{\text{ opakování }}}.$

Tento zápis se běžně užívá k psaní mocnin v některých programovacích jazycích, případně při psaní s omezenou znakovou sadou (např. ASCII, bez možnosti sázet horní indexy) s využitím symbolu stříšky (cicumflexu) a^b.

Příklad:

$4\uparrow 3=4^{3}=\underbrace {4\times 4\times 4} _{3{\text{ opakování }}4}=64$

Operátor tetrace

Zobecněním tohoto postupu za operaci umocňování vznikne tetrace, pro kterou zavedl Knuth operátor „dvojité šipky“,

$a\uparrow \uparrow b={\ ^{b}a}=\underbrace {a^{a^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{a}}}}}}} _{b{\text{ opakování }}a}=\underbrace {a\uparrow (a\uparrow (\dots \uparrow a))} _{b{\text{ opakování }}a}.$

Zde je vhodné připomenout, že umocňování je asociativní zprava. Konkrétně to lze ilustrovat např.

$a\uparrow \uparrow 3=a^{a^{a}}=a\uparrow (a\uparrow a)\neq (a\uparrow a)\uparrow a={(a^{a})}^{a}=a^{a\cdot a}=a^{a^{2}}$

pro číslo $a\neq 2$. Stejně tak i další hyperoperace budou (v šipkovém zápisu) asociativní zprava.

Příklady:

$4\uparrow \uparrow 3={\ ^{3}4}=\underbrace {4^{4^{4}}} _{3{\text{ opakování }}4}=\underbrace {4\uparrow (4\uparrow 4)} _{3{\text{ opakování }}4}=4^{256}\approx 1,3\times 10^{154}$

$3\uparrow \uparrow 2=3^{3}=27$

$3\uparrow \uparrow 3=3^{3^{3}}=3^{27}=7\,625\,597\,484\,987$

$3\uparrow \uparrow 4=3^{3^{3^{3}}}=3^{7\,625\,597\,484\,987}$

$3\uparrow \uparrow 5=3^{3^{3^{3^{3}}}}=3^{3^{7\,625\,597\,484\,987}}$

Operátor pentace

Již „dvoušipkový“ operátor vede na velká čísla, ale Knuth notaci rozšířil. Definoval operátor „trojité šipky“ pro opakování operátoru „dvojité šipky“ neboli pentaci,

$a\uparrow \uparrow \uparrow b=\underbrace {{}^{{}^{{}^{{}^{{}^{a}\cdot }\cdot }\cdot }a}a} _{b{\text{ opakování }}a}=\underbrace {a\,\uparrow \uparrow \,(a\,\uparrow \uparrow \,(\dots \,\uparrow \uparrow \,a))} _{b{\text{ opakování }}a}.$

Příklady:

${\begin{aligned}3\uparrow \uparrow \uparrow 2&=3\uparrow \uparrow 3={}^{3}3=\\&=3\uparrow (3\uparrow 3)=3^{3^{3}}=3^{27}=7\,625\,597\,484\,987\\\end{aligned}}$

Velikost čísel roste opravdu velmi rychle

${\begin{aligned}3\uparrow \uparrow \uparrow 3&=3\uparrow \uparrow (3\uparrow \uparrow 3)={}^{{}^{3}3}3={}^{7\,625\,597\,484\,987}3=\\&=3\uparrow \uparrow (3\uparrow (3\uparrow 3))=\underbrace {3\uparrow (3\uparrow (\dots \uparrow 3))} _{3\uparrow (3\uparrow 3)=7\,625\,597\,484\,987{\text{ opakování }}3}=\underbrace {3^{3^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{3}}}}}} _{3\uparrow (3\uparrow 3){\text{ opakování }}3}\approx \exp _{10}^{7\,625\,597\,484\,987}(1.09902).\end{aligned}}$

Horní index u exponenciální funkce zde neznačí mocninu ale počet složenin, tj. $\exp _{k}^{n}(x)=\exp _{k}(\exp _{k}^{n-1}(x))=k^{\,\exp _{k}^{n-1}(x)}$.

Následující číslo má v klasickém zápisu více než 10¹⁰²¹⁸⁴ číslic

$5\uparrow \uparrow \uparrow 2=5\uparrow \uparrow 5={^{5}5}=5^{5^{5^{5^{5}}}}=5^{5^{5^{3125}}}\approx 10^{10^{10^{10^{3.33928}}}}=\exp _{10}^{4}(3.33928)$

Vyšší operátory

Dále operátor „čtyř šipek“,

$a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=\underbrace {a\,\uparrow \uparrow \uparrow \,(a\,\uparrow \uparrow \uparrow (\dots \uparrow \uparrow \uparrow \,a))} _{b{\text{ opakování }}a}$

atd. Obecně je „$n$-šipkový operátor“ sekvencí „($n-1$)-šipkových operátorů“. S využitím zápisu

$a\uparrow ^{n}b=a\,\underbrace {\uparrow \uparrow \!\!\dots \!\!\uparrow } _{n{\text{ šipek}}}\,b$

vznikne

$a\uparrow ^{n}b=a\,\underbrace {\uparrow \uparrow \!\!\dots \!\!\uparrow } _{n{\text{ šipek}}}\,b\;=\;\underbrace {a\,\underbrace {\uparrow \!\!\dots \!\!\uparrow } _{n-1}\,(a\,\underbrace {\uparrow _{}\!\!\dots \!\!\uparrow } _{n-1}\,(\dots \,\underbrace {\uparrow _{}\!\!\dots \!\!\uparrow } _{n-1}\,a))} _{b{\text{ opakování }}a}\;=\;\underbrace {a\uparrow ^{n-1}(a\uparrow ^{n-1}(\ldots \uparrow ^{n-1}a))} _{b{\text{ opakování }}a}.$

Základní operace a nevýhody značení

Základní operace lze vyjádřit pomocí Knuthova zápisu následovně:

${\begin{array}{ll}a\uparrow ^{0}b=a\times b&{\text{ (násobení),}}\\a\uparrow ^{1}b=a^{b}&{\text{ (umocňování),}}\\a\uparrow ^{2}b={}^{b}a&{\text{ (tetrace),}}\\a\uparrow ^{3}b=a\!\uparrow \uparrow \uparrow \!b&{\text{ (pentace),}}\end{array}}$

atd.

Zjevnou nevýhodou je, že pro sčítání by bylo třeba zavést symbol $\uparrow ^{-1}$ (tj. $a\uparrow ^{-1}b=a+b$), který však evokuje inverzní operaci k $\uparrow$.

S tím souvisí i posunutí názvosloví vzhledem k počtu šipek použitých k označení operátoru (tetrace, pentace, tedy čtvrtá, resp. pátá operace jsou značeny pomocí dvou, případně tří šipek).

Teoretická programátorská implementace Knuthova zápisu v jazyce JavaScript

// non-negative integers only
function Knuth(left, arrowCount, right) {
    if (arrowCount <= 0)
        return left * right;
    if (right <= 0)
        return 1;
    arrowCount--;
    right--;
    var result = left;
    for (var i = 0; i < right; i++)
        result = Knuth(left, arrowCount, result);
    return result;
}

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Knuth's up-arrow notation na anglické Wikipedii.

Portály: Matematika