Keplerův trojúhelník

Keplerův trojúhelník je pravoúhlý trojúhelník s obsahy čtverců nad odvěsnami a přeponou, které tvoří geometrickou posloupnost s kvocientem - poměrem zlatého řezu .

Keplerův trojúhelník je pravoúhlý trojúhelník s délkami stran které tvoří geometrickou posloupnost. Kvocient této posloupnosti je ${\sqrt {\varphi }}$, kde $\varphi$ je hodnota poměru zlatého řezu. Hodnota $\varphi =$${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$. Posloupnost velikostí stran lze zapsat: $1:{\sqrt {\varphi }}:\varphi$, nebo přibližně 1 : 1,272: 1,618. Obsahy čtverců nad stranami tohoto trojúhelníku tvoří také v geometrickou posloupnost s kvocientem $\varphi$ tj. poměrem zlatého řezu.

Pythagorova věta a zlatý řez v trojúhelníku

Trojúhelníky s takovými poměry jsou pojmenovány po německém matematikovi a astronomovi Johannesu Keplerovi (1571–1630), který jako první popsal, že v tomto trojúhelníku je poměr mezi jeho přeponou a kratší odvěsnou rovný zlatému řezu. Keplerův trojúhelník kombinuje Pythagorovu větu a zlatý řez. To Keplera hluboce fascinovalo, řekl:

„	Geometrie má dva poklady: Pythagorovu větu a zlatý řez. První má cenu zlata, druhý připomíná spíše drahocenný kámen.	“
— Johannes Kepler

Odvození

Skutečnost, že trojúhelník se stranami $1$, ${\sqrt {\varphi }}$ a $\varphi$, tvoří pravoúhlý trojúhelník, vyplývá přímo ze vztahu kvadratické rovnice určující hodnotu zlatého řezu $\varphi$:

$\varphi ^{2}=\varphi +1$

do podoby Pythagorovy věty:

$(\varphi )^{2}=({\sqrt {\varphi }})^{2}+(1)^{2}.$

Sestrojení Keplerova trojúhelníku

Metoda pro konstrukci Keplerova trojúhelníku pomocí zlatého obdélníku

Keplerův trojúhelník lze Eukleidovsky sestrojit, tak že nejprve vytvoříte tzv. zlatý obdélník:

1. Sestrojte čtverec o straně jednotkové velikosti.
2. Narýsujte úsečku ze středu jedné strany čtverce do protilehlého vnitřního úhlu čtverce.
3. Tuto úsečku použijte jako poloměr k nakreslení oblouku, který určí výšku obdélníku.
4. Dokončete sestrojení zlatého obdélníku.
5. Narýsujte oblouk s poloměrem delší strany zlatého obdélníku. V místě, kde protíná oblouk protilehlou stranu obdélníku, je určena přepona Keplerova trojúhelníku.

Matematická náhoda

Zajímavá matematická náhoda: Kruh a čtverec mají přibližně stejný obvod

Pokud v Keplerově trojúhelníku se stranami $1,{\sqrt {\varphi }},\varphi ,$ sestrojíme kružnici opsanou a čtverec se stranou o velikosti větší odvěsny, pak se obvody čtverce ( $4{\sqrt {\varphi }}$ ) a kruhu ( $\pi \varphi$ ) téměř shodují. Rozdíl je menší než než 0,1%.

Jedná se o matematickou náhodu (koincidenci) $\pi \approx 4\,/{\sqrt {\varphi }}$. Tento čtverec a kruh nemohou mít úplně stejný obvod, protože v takovém případě by byl člověk schopen vyřešit klasický (nemožný) problém kvadratury kruhu. Jinými slovy, $\pi \neq 4\,/{\sqrt {\varphi }}$, protože $\pi$ je transcendentální číslo.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Kepler triangle na anglické Wikipedii.

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Keplerův trojúhelník na Wikimedia Commons