Hellyho věta

Hellyho věta je základní výsledek kombinatorické geometrie. Popisuje způsob, jak se konvexní množiny protínají a jaké podmínky musí systém konvexních množin splňovat, abychom mohli zaručit, že existuje bod, který je obsažen v každé množině ze systému. Poprvé byla objevena Eduardem Hellym v roce 1913.

Znění věty

• Nechť ${\mathcal {F}}$ je konečný systém alespoň $d+1$ konvexních množin v $\mathbb {R} ^{d}$. Pokud každých $d+1$ množin z ${\mathcal {F}}$ má neprázdný průnik, potom celá ${\mathcal {F}}$ má neprázdný průnik.

• Symbolicky zapsáno:

$\left(\forall {\mathcal {F'}}\subseteq {\mathcal {F}},|{\mathcal {F'}}|=d+1:\bigcap _{M\in {\mathcal {F'}}}M\neq \emptyset \right)\Rightarrow \bigcap _{M\in {\mathcal {F}}}M\neq \emptyset$

Důkaz

Označíme ${\mathcal {F}}=\{M_{1},M_{2},\dots ,M_{n}\}$ a zafixujeme $d$. Důkaz provedeme matematickou indukcí podle $n=|{\mathcal {F}}|$ a použijeme Radonovo lemma.

$n=d+1:$ Věta platí triviálně.

$n\geq d+2:$ Definuji $x_{i}\in \bigcap _{M\in ({\mathcal {F}}\setminus \{M_{i}\})}M=\bigcap _{j\neq i}M_{j}$.

Podle indukčního předpokladu věta platí pro $n-1$, tedy body $X=\{x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\}$ jsou dobře definované.

Potom podle Radonova lemmatu lze tyto body rozdělit do množin $A,B\subset X:A\cap B=\emptyset \wedge A\cup B=X$ tak, že $\mathrm {conv} (A)\cap \mathrm {conv} (B)\neq \emptyset$.

Definuji $z\in \mathrm {conv} (A)\cap \mathrm {conv} (B)$ a tvrdím, že $z\in \bigcap _{M\in {\mathcal {F}}}M$:

Dokážu, že $\forall i\in \{1,2,\dots ,n\}:z\in M_{i}$. Nechť $i\in \{1,2,\dots ,n\}$ libovolně. Potom platí buď $x_{i}\notin A$ nebo $x_{i}\notin B$. Bez újmy na obecnosti nechť $x_{i}\notin A$. Potom každý bod z $A$ leží v $M_{i}$, protože v $M_{i}$ leží každý bod z $X$ kromě $x_{i}$. Když tam leží každý bod z $A$, určitě tam leží i jejich konvexní obal, protože $M_{i}$ je konvexní. Takže $M_{i}\supseteq \mathrm {conv} (A)$ a z definice $z$ platí $z\in \mathrm {conv} (A)$. Tedy $z\in M_{i}$.

Nekonečná verze

Věta neplatí, pokud ${\mathcal {F}}$ je nekonečná. Protipříklad v $\mathbb {R} ^{1}$ by byl například ${\mathcal {F}}=\{(0,1/n)\,|\,n\in \mathbb {N} \}$: ${\mathcal {F}}$ tvoří konvexní otevřené množiny, kde každé dvě mají neprázdný průnik, ale pro každý bod $x\in (0,1)$ bude existovat $n\in \mathbb {N} :1/n<x$.

Platí ovšem podobná věta, když budeme vyžadovat kompaktnost množin:

• Nechť ${\mathcal {F}}$ je libovolný systém alespoň $d+1$ kompaktních konvexních množin v $\mathbb {R} ^{d}$. Pokud každých $d+1$ množin z ${\mathcal {F}}$ má neprázdný průnik, potom celá ${\mathcal {F}}$ má neprázdný průnik.

Toto tvrzení lehce vyplývá z konečné verze. Podle ní každá konečná podmnožina ${\mathcal {F}}$ má neprázdný průnik. Je základní vlastností kompaktních množin, že pokud každá její konečná podmnožina má neprázdný průnik, celá množina má neprázdný průnik (princip kompaktnosti).

Literatura

• HELLY, E. Über Mengen konvexer Körper mit gemeinschaftlichen Punkten. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 1923, s. 175–176. .

Portály: Matematika