Galoisova korespondence

Galoisova korespondence je pojem z obecné algebry a teorie množin a obvykle označuje zobrazení mezi dvěma částečně uspořádanými množinami splňující určité požadavky. Pojem Galoisova korespondence zobecňuje korespondenci mezi podgrupami a podtělesy v Galoisově teorii (pojmenované po francouzském matematikovi Évaristu Galoisovi).

Definice

Ať X a Y jsou množiny. Ať ${\mathcal {A}}:{\mathcal {P}}(X)\longrightarrow {\mathcal {P}}(Y)$ a ${\mathcal {B}}:{\mathcal {P}}(Y)\longrightarrow {\mathcal {P}}(X)$. Pak $({\mathcal {A}},{\mathcal {B}})$ nazveme Galoisovou koresponencí, platí-li:

• $A_{1}\subseteq A_{2}\in {\mathcal {P}}(X)\Rightarrow {\mathcal {A}}(A_{1})\supseteq {\mathcal {A}}(A_{2}),$
• $B_{1}\subseteq B_{2}\in {\mathcal {P}}(Y)\Rightarrow {\mathcal {B}}(B_{1})\supseteq {\mathcal {B}}(B_{2}),$
• ${\mathcal {B}}{\mathcal {A}}(A)\supseteq A$ pro $\forall A\in X,$
• ${\mathcal {A}}{\mathcal {B}}(B)\supseteq B$ pro $\forall B\in Y.$

Někdy se definuje Galoisova korespondence alternativně následujícím způsobem:

Buď $\phi \subseteq X\times Y$. Definujeme zobrazení ${\mathcal {P}}(X)\longrightarrow {\mathcal {P}}(Y)$ takto:

• $A\longmapsto A^{\rightarrow }=\lbrace b\in Y|(a,b)\in \phi ,\forall a\in A\rbrace$
• $B\longmapsto B^{\leftarrow }=\lbrace a\in Y|(a,b)\in \phi ,\forall b\in B\rbrace$.

Podotýkáme, že v anglické literatuře je pojem Galoisova korespondence^[ujasnit] vymezen pro pár vzájemně bijektivních zobrazení, zatímco Galoisově korespondenci v širším smyslu odpovídá pojem Galois connection.

Vlastnosti

Je-li $({\mathcal {A}},{\mathcal {B}})$ Galoisova korespondence množin X a Y, pak platí:

• ${\mathcal {A}}{\mathcal {B}}{\mathcal {A}}(A)={\mathcal {A}}(A)$ pro $\forall A\in X,$ a symetricky ${\mathcal {B}}{\mathcal {A}}{\mathcal {B}}(B)={\mathcal {B}}(B)$ pro $\forall B\in Y.$
• Složená zobrazení ${\mathcal {B}}{\mathcal {A}}$ a ${\mathcal {A}}{\mathcal {B}}$ jsou uzávěrovými operátory na X a Y.
• Galoisova korespondence poskytuje vzájemně inverzní bijekce ${\mathcal {A}}$ a ${\mathcal {B}}$ množin ${\mathcal {X}}=\lbrace {\mathcal {A}}(A)|A\in X\rbrace$ a ${\mathcal {Y}}=\lbrace {\mathcal {B}}(B)|B\in Y\rbrace$.

Příklady

Algebraická geometrie

Korespondence $(\mathbb {I} ,\mathbb {V} )$ mezi algebraickými množinami, tj. podmnožinami $\mathbb {A} ^{n}=K\times K\times ...\times K,$ kde $K$ je těleso, a ideály okruhu polynomů $K[x_{1},x_{2},...,x_{n}]$, taková, že

$\mathbb {I} (X)=\lbrace p\in K[x_{1},x_{2},...,x_{n}]|p(a)=0,\forall a\in X\rbrace ,$

$\mathbb {V} (S)=\lbrace a\in \mathbb {A} ^{n}|p(a)=0,\forall p\in S\rbrace ,$.

S touto Galoisovou korespondencí je těsně spjatá Hilbertova věta o nulách.

Univerzální algebra

V univerzální algebře se vyskytuje několik důležitých Galoisovych korespondencí:

Nechť $Alg$ je množina všech $\Sigma$-algeber, $Eq$ je množina všech $\Sigma$-identit, $\phi \subseteq Alg\times Eq$ je relace taková, že $({\underline {A}},s\approx t)\leftrightarrow {\underline {A}}\models s\approx t$. Pak dvojice zobrazení ${\mathcal {K}}\mapsto Id({\mathcal {K}})$ a ${\mathcal {E}}\mapsto Mod({\mathcal {E}})$, kde ${\mathcal {K}}\in Alg$ a ${\mathcal {E}}\in Eq$, je Galoisovou korespondencí indukovanou relací $\phi$.

Máme-li nějakou množinu $A$, označíme $Op(A)$ množinu všech operací na $A$, $Rel(A)$ množinu všech relací na $A$ a nechť je $\phi \subseteq Op\times Rel$ kompatibilita, tj. $(f,R)\Leftrightarrow$ $f$ je kompatibilní s $R$. Pak Galoisova korespondence indukovaná touto relací poskytuje dvojice zobrazení. Obraz množiny $F\in Op(A)$ nazýváme invariantem F a značíme $Inv(F)$, obraz $\Theta \in Rel(A)$ nazýváme polymorfismy $\Theta$ a značíme $Pol(\Theta )$.

Literatura

• Bergman C.: Universal algebra. Fundamentals and Selected Topics, CRC press, 2012.
• Fulton W.: Algebraic Curves, Addison-Wesley, 1989.