V matematice, formální derivace označuje operaci nad prvky okruhu polynomů či okruhu mocninných řad, která se chová jako derivace z diferenciálního počtu. Ačkoli vypadají obdobně, výhodou formální derivace je, že nevyžaduje k definici limitní přechod, který v některých okruzích není možno použít. Mnoho vlastností derivací z diferenciálního počtu platí i pro formální derivace, některé naopak ani nedávají smysl. Základním použitím formálních derivací je oddělení kořenů polynomu různé násobnosti.
Pro daný komutativní okruh R nechť A = R[x] je okruh polynomů nad R. Pak formální derivace je operace nad prvky okruhu A, kde pro
![{\displaystyle f(x)\,=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ee8c3a9314ea54a6f4f4ecfdc3c38a415a86350)
je formální derivace
![{\displaystyle f'(x)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{i}a_{i}x^{i-1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f65649d083c13de4714fc7a8556c0a18554139ff)
což přesně odpovídá vztahům pro polynomy nad reálnými či komplexními čísly.
(Běžně značíme součet
konstantních sčítanců
výrazem
, v tomto případě uvádíme součet abychom předešli záměně s násobením v okruhu R.)
Není těžké ověřit, že:
- Formální derivace je lineární: pro libovolné dva polynomy f(x), g(x) a prvky r, s okruhu R, platí
![{\displaystyle (r\cdot f+s\cdot g)'(x)=r\cdot f'(x)+s\cdot g'(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/212988d68ac661c685575c8ce4fe7bb97eb0c0e4)
- Formální derivace splňuje pravidlo derivace součinu:
![{\displaystyle (f\cdot g)'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/792db85cd103ebb5a60bde02676c71abbed4a425)
Vztah k derivaci z diferenciálního počtu[editovat | editovat zdroj]
Pokud je okruh R komutativní, existuje alternativní ekvivalentní definice formální derivace, která mnohem víc připomíná definici z diferenciálního počtu. Prvek Y-X okruhu R[X,Y] dělí Yn – Xn pro libovolné nezáporné celé n, a proto dělí f(Y) – f(X) pro libovolný polynom f s jednou proměnnou. Pokud označíme výsledný podíl (v R[X,Y]) pomocí g:
![{\displaystyle g(X,Y)={\frac {f(Y)-f(X)}{Y-X}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd35d29c7b1c726e5d688f49f42869849efb0aab)
pak není těžké ověřit, že g(X,X) (v R[X]) dává stejnou definici jako formální derivace f definovaná výše.
Tato formulace formální derivace je použitelná i pro mocninné řady, (za předpokladu, že okruh R skalárů je komutativní).
Definice použitelná i pro nekomutativní okruhy[editovat | editovat zdroj]
Nechť pro
je
nechť
Dodefinujme derivaci pro výrazy tak, aby
a
Je potřeba dokázat, že takto definovaná derivace dává stejné výsledky nezávisle na tom, jak spočteme daný výraz, tedy, že je kompatibilní se všemi axiomy rovnosti.
![{\displaystyle (a+b)'=a'+b'=b'+a'=(b+a)',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07f1a46b03c49d2c830a0784753fe8f3fea0cad7)
![{\displaystyle ((a+b)+c)'=(a+b)'+c'=(a'+b')+c'=a'+(b'+c')=a'+(b+c)'=(a+(b+c))',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db4fa9167b641f311315771b3d5707f45a2dd813)
![{\displaystyle (a(bc))'=a'(bc)+a(bc)'=a'bc+a(b'c+bc')=a'bc+ab'c+abc'=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ec2e36b391968db6a30cbac40630e8130b7b32c)
![{\displaystyle =(a'b+ab')c+(ab)c'=(ab)'c+(ab)c'=((ab)c)',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7123aa404c7ee08f04c1111a5bb6926475c309e)
![{\displaystyle ((a+b)c)'=(a+b)'c+(a+b)c'=(a'+b')c+(a+b)c'=(a'c+b'c)+(ac'+bc')=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e687f4f250fb37909c6ac578f9d3ae8ec44b8cc5)
![{\displaystyle =\cdots =(a'c+(b'c+ac'))+bc'=(a'c+(ac'+b'c))+bc'=\cdots =(a'c+ac')+(b'c+bc')=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11f3f2a8b7c55d897f44cbcb45725105d4a7cea4)
![{\displaystyle =(ac)'+(bc)'=(ac+bc)'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c08cdbf1f543409190e473f29c7627f2821c3f8)
a distributivita z druhé strany symetricky.
Linearita je při tomto přístupu samozřejmostí.
Vztah pro derivaci polynomu (ve standardním tvaru pro komutativní okruhy) je přímým důsledkem:
Aplikace pro separaci podpolynomů různých násobností[editovat | editovat zdroj]
Je-li polynom
možno napsat ve tvaru
, kde polynomy
jsou nesoudělné. Pak je možno polynomy
postupně od posledního najít vícenásobným použitím největšího společného dělitele polynomu s jeho formální derivací (není potřeba aby polynomy byly nad reálnými či komplexními čísly).