Diskuse s wikipedistou:Pavel Jelínek/Staveniště/Forsing

Forsing - Neformální popis

Relativní bezespornost hypotézy H (např. negace AC) se prokazuje takto:

Model

Neplatí-li H, pak podle Věty o úplnosti predikátové logiky existuje model $M_{0}$ teorie ZF, v němž neplatí (tj. např. platí AC). Jsou dvě možnosti:

• Model $M_{0}$ splňuje předpoklady Mostowského lemmatu o kolapsu. Pak toto lemma definuje množinu, která je tranzitivním modelem ZF, tj. modelem s absolutním náležením, který s každou množinou obsahuje i všechny její podmnožiny.
• Model $M_{0}$ toto neplňuje, tj. množina porušující Axiom fundovanosti v něm existuje, ovšem není množinou v rámci modelu: je podmnožinou nosné množiny $M_{0}$, ale nikoli jejím prvkem. (Aby toto bylo přesné, je nutno to formulovat s ohledem na to, že $M_{0}$ nemusí mít absolutní náležení.) Toto je podobné situaci ze Skolemova paradoxu, kdy podmnožina modelu, která není jeho prvkem, je bijekcí mezi přirozenými a reálnými čísly. Tuto situaci lze řešit technickým opatřením vycházejícím z toho, že pokud teorie ZF+H je sporná, pak je sporná i její konečná podteorie obsahující jen axiomy využité v důkazu tohoto sporu.

Booleova algebra

V tranzitivním modelu $M$ je zvolena Booleova algebra a generický ultrafiltr tak, aby v níže sestrojeném modelu $N$ platila hypotéza H.

Dále je sestrojena obrovská množina objektů, které se nazývají „jména“, a to pomocí transfinitní rekurze podobně jako kumulativní hierarchie množin. Kumulativní hierarchie v každém kroku $V_{\alpha +1}$ přidává všechny podmnožiny $V_{\alpha }$, což je logicky (i když ne technicky) totéž, jako kdyby přidávala všechna možná zobrazení $V_{\alpha }$ do dvouprvkové Booleovy algebry, jejíž hodnoty představují „náleží“ a „nenáleží“. Forsing dělá totéž, jen s větší Booleovou algebrou.

Kdyby $B$ byla (pro příklad, protože ke skutečnému forsingu se konečné $B$ nehodí) algebrou $\mathbb {B} _{2}^{4}$, tj. direktním součinem čtyř dvojprvkových Booleových algeber, které odpovídají čtyřem ročním obdobím (takže prvek $[1,0,0,1]\in \mathbb {B} _{2}^{4}$ reprezentuje, že něco platí jen na jaře a v zimě), pak:

• $V_{0}^{\mathbb {B} }$ je prázdnou množinu, stejně jako $V_{0}$
• $V_{1}^{\mathbb {B} }$ by obsahovalo jen prázdná množina jako $V_{1}$.
• Ovšem zatímco $V_{2}=\mathbb {P} (V_{1})=\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}$ je dvojprvková, $V_{2}^{\mathbb {B} }$ bude kromě obsahovat $2^{4}=16$ objektů (tj. jmen). Mezi nimi např. zobrazení $\{(\emptyset ,[1,0,0,1])\}$, které prázdné množině přiřadí $[1,0,0,1]\in \mathbb {B} _{2}^{4}$. Toto jméno lze chápat jako „množinu“, který obsahuje prázdnou množinu na jaře a v zimě, ale jindy ne.
• $V_{3}$ je čtyřprvková, zatímco $V_{3}^{\mathbb {B} }$ obsahovat $2^{16}$ nových jmen. Mezi nimi např. jméno
  

$\{$
$\quad (\quad \{(\emptyset ,[1,0,0,1]\},\quad [0,0,1,0]\,),$
$\quad (\quad \{(\emptyset ,[1,1,1,1]\},\quad [0,1,0,0]\,)$
$\}$

lze chápat jako jméno, které na podzim obsahuje výše uvedené jméno $\{(\emptyset ,[1,0,0,1])\}$ a v létě obsahuje jméno $\{\,(\emptyset ,[1,1,1,1])\}$, které vždy obsahuje prázdnou množinu.

$V^{\mathbb {B} }$ je pak sjednocením všech $V_{\alpha }^{\mathbb {B} }$.

Formální zápis právě popsané konstrukce $V^{\mathbb {B} }$ se podobná definici Von Neumannovy kumulativní hierarchie a kromě druhé odrážky je dokonce shodný:

• $V_{0}^{\mathbb {B} }=\emptyset$
• $V_{\alpha +1}^{\mathbb {B} }=\mathbb {P} (V_{\alpha }\times \mathbb {B} )$ – tj. pro každý izolovaný ordinál (tj. takový, který se rovná $\alpha +1$ pro nějaké $\alpha$) obsahuje $V_{\alpha +1}^{\mathbb {B} }$ všechna zobrazení, které každému jménu z $V_{\alpha }^{\mathbb {B} }$ přiřadí nějaký prvek $\mathbb {B}$. ($\mathbb {P}$ zde značí potenci a $\times$ kartézský součin.)
• $V_{\alpha }^{\mathbb {B} }=\cup _{\beta <\alpha }$ pro limitní $\alpha$.
• $V^{\mathbb {B} }=\bigcup _{\alpha \in O_{n}}V_{\alpha }^{\mathbb {B} }$ – tj. sjednocení přes všechna ordinální čísla.

Faktorizace dle ultrafiltru

Ultrafiltr nad Booleovou algebrou $\mathbb {B}$ je, volně řečeno, jakékoli ohodnocení každého prvku $B$ jako „pravdivý“ či „nepravdivý“, které zachovává logiku booleovských operací – například je-li prvek $a\in \mathbb {B}$ ohodnocen jako nepravdivý, musí být nepravdivý i $a\land b$ pro každé $b\in \mathbb {B}$. Na rozdíl od filtru zajišťuje i to, že vždy je pravdivý výrok $a$ nebo jeho negace.

(Pojem „ultrafiltr" lze definovat na každé částečně uspořádané množině, tedy i $\mathbb {B}$ uspořádané vztahem $a\leq _{B}b$ právě když $a\land b=a$. Tato situace nese značnou podobnost s ultrafitry na potenčních algebrách, protože operace průnik na nich má podobné vlastnosti, jako operace průsek v Booleových algebrách. Tato podobnost vynikne, pokud $\mathbb {B}$ je přímo potenční algebrou, tj. potencí nějaké množiny $X$.)

Nad konečnou algebrou $\mathbb {B}$ neexistují jiné ultrafiltry kromě triviálních, generovaných jednoprvkovou množinou. V $\mathbb {B} _{2}^{4}$ tedy existují čtyři; například ultrafiltr generovaný „létem“ (který lze neformálně chápat jako „nezajímá nás žádné období kromě léta“) obsahuje z 16 prvků $\mathbb {B} _{2}^{4}$ těch osm, které na druhé pozici mají jedničku.

Ultrafiltr $U$ nad množinou všech jmen definuje binární relaci „jména jsou si podobná“, jejíž myšlenka je tato:

• Jméno „obsahuji prázdnou množinu v pátek“ je podobné jménu „obsahuji prázdnou množinu v pátek a sobotu“, protože rozhoduje pouze pátek.
• Tato podobnost se pomocí pomocí transfinitní rekurze přenáší o úroveň výš: jméno „obsahuji v pátek a sobotu množinu, která prázdnou množinu obsahuje ve čtvrtek“ je podobné jménu „vždy obsahuji množinu, která prázdnou množinu obsahuje ve středu a pátek“, protože „podobným“ způsobem obsahuje „podobné“ podmnožiny.

Tato faktormnožina je modelem jazyka ZF (i když ne nutně modelem ZF, tj. jeho aximomů), protože na ní lze zavést náležení (opět principem „rozhoduje jen pátek“).

Generický ultrafiltr

Aby bylo možné konstrukci provádět uvnitř tranzitivního modelu $M$, musí Booleova algebra $\mathbb {B}$ být jeho prvkem (a tím i jeho podmnožinou). Pak $U\subset \mathbb {B}$ je také podmnožinou $M$, ale kdyby byl i jeho prvkem, pak by výsledný model $N$ byl shodný (izomorfní) s $M$, protože „rozhoduje jen středa“.

Ultrafiltr se nazývá generický, pokud splňuje jisté vlastnosti vůči modelu $M$. V takovém případě výsledná faktor-množina $N$ je modelem nejen jazyka ZF, ale i jeho axiomů.

Pro mnoho hypotéz H lze vhodnou volbou $\mathbb {B}$ a $U$ vynutit (anglicky „force“, odtud anglický název „forcing“), aby výsledný model $N$, značený též $M[U]$, měl vlastnost H. Tím je pak dokázána relativní bezespornost H vůči ZF.