Deltoid

Deltoid

Deltoid je konvexní čtyřúhelník, jež má právě dvě dvojice shodných sousedních stran.

Název

Název pochází z tvaru řeckého písmene delta. Má tvar (klasického létajícího) draka; ryze anglický termín pro deltoid je „kite“ (drak) a ryze německý výraz je „Drachenviereck“ (dračí čtyřúhelník).

Vlastnosti

Deltoid ABCD je různoběžník (žádné dvě strany nejsou rovnoběžné), má dva páry shodných stran AB = AD, CB = CD, tyto shodné strany sdílejí stejné vrcholy (A, C).

Úhlopříčky deltoidu jsou na sebe kolmé, mají různou velikost. Značíme je AC = e = d₁, BD = f = d₂. Úhlopříčka BD u deltoidu ABCD je úhlopříčkou AC půlena. Hlavní úhlopříčka AC dělí deltoid na dva shodné trojúhelníky a vedlejší na dva rovnoramenné trojúhelníky, mající tvar řeckého písmene delta, odtud název.

Deltoid je osově souměrný podle jediné hlavní úhlopříčky (AC). Spolu s identitou je to jediný jeho zákrytový pohyb, takže jeho grupa symetrie je jen Z₂ .

Deltoid má zřejmě stejný součet délek protilehlých stran, je to tedy tečnový čtyřúhelník. Lze mu tedy vždy vepsat kružnici.

Zvláštní případy

Deltoid s pravými úhly u vrcholů vedlejší úhlopříčky

Jestliže úhly u vrcholů vedlejší úhlopříčky (β, δ) jsou pravé, řadíme jej mezi dvojstředové čtyřúhelníky (lze mu opsat i vepsat kružnici).

Reuleauxovu trojúhelníku lze vepsat deltoid, jehož úhlopříčky mají stejnou délku.

Reuleauxův trojúhelník s vepsaným deltoidem

Speciální případ deltoidu je čtverec – právě když jsou všechny strany shodné AB = AD = BC = BD, všechny úhly jsou pravé a úhlopříčky AC = BD (jsou shodné); a kosočtverec – právě když jsou všechny strany shodné AB = AD = BC = BD a úhlopříčky AC = BD (jsou shodné).

Obvod a obsah

Obvod $O$ deltoidu se rovná součtu délek jeho stran $a,b,c,d$:

$O=a+b+c+d=2(a+b).$

Obsah $S$ deltoidu je roven

$S={1 \over 2}ef$,

kde $e,f$ jsou délky jeho úhlopříček. Pokud $a,b$ jsou délky různých stran a $\theta$ úhel jimi sevřený, pak

$\displaystyle S=ab\cdot \sin {\theta }.$

Podle obecného vztahu pro obsah tečnového čtyřúhelníku platí

$S=\rho (a+b)$,

kde $\rho$ je poloměr vepsané kružnice.

Související články

• Geometrický útvar
• Rovnoběžník
• Lichoběžník
• Tečnový čtyřúhelník
• Dvojstředový čtyřúhelník

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu deltoid na Wikimedia Commons

Portály: Matematika